課時作業(二十七)
1．(2013·北京西城期末)已知△abc中，a＝1，b＝，b＝45°，則a等於( )
a．150b．90°
c．60° d．30°
答案 d
解析由正弦定理，得＝，得sina＝.
又a2．在△abc中，角a、b、c的對邊分別為a、b、c，已知a＝，a＝，b＝1，則c等於
a．1 b．2
c.－1 d.
答案 b
解析由正弦定理＝，可得＝.
∴sinb＝，故∠b＝30°或150°.由a>b，
得∠a>∠b，∴∠b＝30°.
故∠c＝90°，由勾股定理得c＝2.
3．在△abc中，a2＝b2＋c2＋bc，則∠a＝ ( )
a．60° b．45°
c．120° d．30°
答案 c
解析 cosa＝＝＝－，∴∠a＝120°.
4．在△abc中，a＝15，b＝10，a＝60°，則cosb＝ ( )
a．－ b.
c．－ d.
答案 d
解析根據正弦定理＝，可得＝，解得sinb＝，又因為b5．(2012·天津理)在△abc中，內角a，b，c所對的邊分別是a，b，c.已知8b＝5c，c＝2b，則cosc
a. b．－
c．± d.
答案 a
解析因為8b＝5c，則由c＝2b，得sinc＝sin2b＝2sinbcosb，由正弦定理，得cosb＝＝＝，所以cosc＝cos2b＝2cos2b－1＝2×()2－1＝，故選a.
6．(2012·湖南文)在△abc中，ac＝，bc＝2，b＝60°，則bc邊上的高等於
a. b.
c. d.
答案 b
解析由餘弦定理，得()2＝22＋ab2－2×2abcos60°，即ab2－2ab－3＝0，得ab＝3，故bc邊上的高是absin60°＝.選b.
7．(2012·陝西理)在△abc中，角a，b，c所對邊的長分別為a，b，c，若a2＋b2＝2c2，則cosc的最小值為
a. b.
c. d．－
答案 c
解析由餘弦定理，得a2＋b2－c2＝2abcosc，又c2＝(a2＋b2)，得2abcosc＝(a2＋b2)，即cosc＝≥＝.所以選c.
8．△abc的內角a、b、c的對邊分別為a、b、c.若a、b、c成等比數列，且c＝2a，則cosb等於
a. b.
c. d.
答案 b
解析 ∵a、b、c成等比數列，∴b2＝ac.
∴cosb＝＝＝.
9．在△abc中，cos2b>cos2a是a>b的 ( )
a．充分而不必要條件 b．必要而不充分條件
c．充要條件 d．既不充分也不必要條件
答案 c
解析由cos2b>cos2a，得sin2a>sin2b.
∵sina>0，sinb>0，∴sina>sinb.
∴>，∴a>b.
又上述過程可逆，故選c.
10．在△abc中，三內角a、b、c分別對三邊a、b、c，tanc＝，c＝8，則△abc外接圓半徑r為
a．10 b．8
c．6 d．5
答案 d
解析本題考查解三角形．由題可知應用正弦定理，
由tanc＝，得sinc＝.
則2r＝＝＝10，故外接圓半徑為5.
11．在△abc中，ab＝，ac＝1，b＝30°，則△abc的面積為( )
a. b.
c.或 d.或
答案 d
解析如圖，由正弦定理，得
sinc＝＝，而c>b，
∴c＝60°或c＝120°.
∴a＝90°或a＝30°.
∴s△abc＝bcsina＝或.
12．在△abc中，若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab且sinc＝2sinacosb，則△abc是
a．等邊三角形
b．等腰三角形，但不是等邊三角形
c．等腰直角三角形
d．直角三角形，但不是等腰三角形
答案 a
解析 ∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
即a2＋b2－c2＝ab，
∴cosc＝＝，∴c＝60°.
又sinc＝2sinacosb，
由sinc＝2sina·cosb，得c＝2a·.
∴a2＝b2，∴a＝b.∴△abc為等邊三角形．
13．(2011·北京)在△abc中，若b＝5，∠b＝，tana＝2，則sinaa
答案 2
解析因為△abc中，tana＝2，所以a是銳角，且＝2，sin2a＋cos2a＝1，聯立解得sina＝，再由正弦定理，得＝，代入資料解得a＝2.
14．在△abc中，內角a，b，c的對邊分別是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinc＝2sinb，則角a的大小為________．
答案 解析因為sinc＝2sinb，所以c＝2b.
於是cosa＝＝＝.
又a是三角形的內角，所以a＝.
15．對於△abc，有如下命題：①若sin2a＝sin2b，則△abc為等腰三角形；②若sina＝cosb，則△abc為直角三角形；③若sin2a＋sin2b＋cos2c<1，則△abc為鈍角三角形．其中正確命題的序號是把你認為所有正確的都填上)
答案 ③
解析 ①sin2a＝sin2b，
∴a＝b△abc是等腰三角形，或2a＋2b＝πa＋b＝，即△abc是直角三角形．故①不對．
②sina＝cosb，∴a－b＝或a＋b＝.
∴△abc不一定是直角三角形．
③sin2a＋sin2b<1－cos2c＝sin2c，
∴a2＋b2∴△abc為鈍角三角形．
16．(2012·福建理)已知△abc的三邊長成公比為的等比數列，則其最大角的余弦值為________．
答案 －
解析依題意得，△abc的三邊長分別為a， a,2a(a>0)，則最大邊2a所對的角的余弦值為＝－.
17．(2012·北京理)在△abc中，若a＝2，b＋c＝7，cosb＝－，則b
答案 4
解析由餘弦定理，得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×(－)，解得b＝4.
18．已知△abc中，∠b＝45°，ac＝，cosc＝.
(1)求bc邊的長；
(2)記ab的中點為d，求中線cd的長．
答案 (1)3 (2)
解析 (1)由cosc＝，得sinc＝.
sina＝sin(180°－45°－c)
＝(cosc＋sinc)＝.
由正弦定理知
bc＝·sina＝·＝3.
(2)ab＝·sinc＝·＝2.
bd＝ab＝1.由餘弦定理知
cd＝＝＝.
講評解斜三角形的關鍵在於靈活地運用正弦定理和餘弦定理，熟練掌握用正弦定理和餘弦定理解決問題，要注意由正弦定理＝求b時，應對解的個數進行討論；已知a，b，a，求c時，除用正弦定理＝外，也可用餘弦定理a2＝b2＋c2－2abcosa求解．
19．(2012·安徽文)設△abc的內角a，b，c所對邊的長分別為a，b，c，且有2sinbcosa＝sinacosc＋cosasinc.
(1)求角a的大小；
(2)若b＝2，c＝1，d為bc的中點，求ad的長．
解析 (1)方法一由題設知，2sinbcosa＝sin(a＋c)＝sinb，
因為sinb≠0，所以cosa＝.
由於0方法二由題設可知，2b·＝a·＋c·，於是b2＋c2－a2＝bc，所以cosa＝＝.
由於0(2)方法一因為2＝()2＝(2＋2＋2·)＝(1＋4＋2×1×2×cos)＝，
所以||＝，從而ad＝.
方法二因為a2＝b2＋c2－2bccosa＝4＋1－2×2×1×＝3，
所以a2＋c2＝b2，b＝.
因為bd＝，ab＝1，所以ad＝＝.
20．(2012·浙江理)在△abc中，內角a，b，c的對邊分別為a，b，c.已知cosa＝，sinb＝cosc.
(1)求tanc的值；
(2)若a＝，求△abc的面積．
解析 (1)因為0sina＝＝.
又cosc＝sinb＝sin(a＋c)
＝sinacosc＋cosasinc
＝cosc＋sinc，
所以tanc＝.
(2)由tanc＝，得sinc＝，cosc＝.
於是sinb＝cosc＝.
由a＝及正弦定理＝，得c＝.
設△abc的面積為s，則s＝acsinb＝.
1．(2011·安徽理)已知△abc的乙個內角為120°，並且三邊長構成公差為4的等差數列，則△abc的面積為________．
答案 15
解析不妨設角a＝120°，c2．(2012·陝西文)在△abc中，角a，b，c所對邊的長分別為a，b，c.若a＝2，b＝，c＝2，則b
答案 2
解析由餘弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosb＝4＋12－2×2×2×＝4，解得b＝2.
3．(2012·大綱全國)△abc中b＝60°，ac＝，則ab＋2bc最大值________．
答案 2
解析 ∵2r＝＝＝2，
∴ab＝2sinc，bc＝2sina.
∴ab＋2bc＝2sinc＋4sina＝2sinc＋4sin(－c)
＝2sin(c＋φ)．
∴最大值為2.
4．(2012·浙江文)在△abc中，內角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且bsina＝acosb.
(1)求角b的大小；
(2)若b＝3，sinc＝2sina，求a，c的值．
解析 (1)由bsina＝acosb及正弦定理＝，得
sinb＝cosb，所以tanb＝，所以b＝.
(2)由sinc＝2sina及＝，得c＝2a.
由b＝3及餘弦定理b2＝a2＋c2－2accosb，得9＝a2＋c2－ac.
所以a＝，c＝2.
5．(2012·天津文)在△abc中，內角a，b，c所對的邊分別是a，b，c.已知a＝2，c＝，cosa＝－.
(1)求sinc和b的值；
(2)求cos(2a＋)的值．
解析 (1)在△abc中，由cosa＝－，可得sina＝.
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