課時作業(三十九)
1．等差數列中，a3＋a11＝8，數列是等比數列，且b7＝a7，則b6·b8的值為
a．2 b．4
c．8 d．16
答案 d
解析 ∵為等差數列，∴a7＝＝4＝b7.
又為等比數列，b6·b8＝b＝16，故選d.
2．已知等比數列中的各項都是正數，且a1， a3,2a2成等差數列，則等於
a．1＋ b．1－
c．3＋2 d．3－2
答案 c
解析記等比數列的公比為q，其中q>0，
則有a3＝a1＋2a2，
即a1q2＝a1＋2a1q，q2－2q－1＝0，q＝1±.
又q>0，因此q＝1＋.
所以＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
選c.3．(2011·天津)已知為等差數列，其公差為－2，且a7是a3與a9的等比中項，sn為的前n項和，n∈n*，則s10的值為 ( )
a．－110 b．－90
c．90 d．110
答案 d
解析因為a7是a3與a9的等比中項，所以a＝a3a9，又因為公差為－2，所以(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20，通項公式為an＝20＋(n－1)(－2)＝22－2n，所以s10＝＝5(20＋2)＝110，故選擇d.
4．(2013·江蘇常州)已知數列的通項公式an＝3n2－(9＋a)n＋6＋2a(其中a為常數)，若a6與a7兩項中至少有一項是an的最小值，則實數a的取值範圍是
( )
a．[24,36] b．[27,33]
c． d．
答案 a
解析當a6為an的最小值時，由題意得a5≥a6且a7≥a6，∴解得24≤a≤30；
當a7為an的最小值時，由題意，a6≥a7且a8≥a7，解得30≤a≤36，∴24≤a≤36.
5．在如圖的**中，每格填上乙個數字後，使每一橫行成等差數列，每一縱列成等比數列，則a＋b＋c的值為
a.1 b．2
c．3 d．4
答案 a
解析由題意知，a＝，b＝，c＝.故a＋b＋c＝1，故選a.
6．乙個數字生成器，生成規則如下：第1次生成乙個數x，以後每次生成的結果可將上一次生成的每乙個數x生成兩個數，乙個是－x，另乙個是x＋3.設第n次生成的數的個數為an，則數列的前n項和sn若x＝1，前n次生成的所有數中不同的數的個數為tn，則t4
答案 2n－1 10
解析由題意可知，依次生成的數字個數是首項為1，公比為2的等比數列，故sn＝＝2n－1.
當x＝1時，第1次生成的數為1，第2次生成的數為－1、4，第3次生成的數為1、2，－4、7，第4次生成的數為－1、4，－2、5,4、－1，－7、10.故t4＝10.
7．數列是等差數列，若a1，a3，a4是等比數列中的連續三項，則數列的公比為________．
答案或1
解析設數列的公差為d，由題可知，a＝a1·a4，可得(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，整理得(a1＋4d)d＝0，解得d＝0或a1＝－4d.當d＝0時，等比數列的公比為1；當a1＝－4d時，a1、a3、a4分別為－4d、－2d、－d，所以等比數列的公比為.
8．等比數列的前n項和為sn，已知s1,2s2,3s3成等差數列，則等比數列的公比為________．
答案 解析設等比數列的公比為q(q≠0)，由4s2＝s1＋3s3，得4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，即3q2－q＝0.∴q＝.
9．(2012·海淀區)設關於x的不等式x2－x<2nx(n∈n*)的解集中整數的個數為an，數列的前n項和為sn，則s100的值為________．
答案 10 100
解析由x2－x<2nx(n∈n*)，得010．等差數列的公差和等比數列的公比都是d(d≠1)，且a1＝b1，a4＝b4，a10＝b10.
(1)求實數a1和d的值．
(2)b16是不是中的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由．
答案 (1)a1＝，d＝－
(2)b16為中的第34項
解析 (1)依題意知an＝a1＋(n－1)d，
bn＝b1·qn－1＝a1·dn－1.
由得即3d＝a1(d3－1)，9d＝a1(d9－1)，
以上兩式相除並整理得d6＋d3－2＝0.
解得d3＝1，或d3＝－2.
∵d≠1，∴d3＝－2，d＝－，代入原方程解得a1＝.
故a1＝，d＝－.
(2)由(1)得，數列，的通項分別為
an＝(2－n)，bn＝－(－)n.
故b16＝－(－)16＝－32.
由(2－n)＝－32，解得n＝34.
故b16為中的第34項．
11．已知等差數列的前n項和為sn，等比數列的各項均為正數，公比是q，且滿足：a1＝3，b1＝1，b2＋s2＝12，s2＝b2q.
(1)求an與bn；
(2)設**＝3bn－λ·2 (a∈r)，若數列是遞增數列，求λ的取值範圍．
答案 (1)an＝3n，bn＝3n－1 (2)λ<3
解析 (1)由已知可得
∴q2＋q－12＝0.
解得q＝3或q＝－4(舍)．
從而a2＝6.
∴an＝3n，bn＝3n－1.
(2)由(1)知**＝3bn－λ·2＝3n－λ·2n，
由數列是遞增數列可得：
**＋1>**對任意的n∈n*恆成立，
即3n＋1－λ·2n＋1>3n－λ·2n恆成立，
亦即λ·2n<2·3n恆成立，
即λ<2·()n恆成立．
由於函式y＝()n是增函式，
∴[2·()n]min＝2·＝3，∴λ<3.
12．已知某地今年年初擁有居民住房的總面積為a(單位：m2)，其中有部分舊住房需要拆除．當地有關部門決定每年以當年年初住房面積的10%建設新住房，同時也拆除面積為b(單位：m2)的舊住房．
(1)分別寫出第一年末和第二年末的實際住房面積的表示式；
(2)如果第五年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了30%，那麼每年拆除的舊住房面積b是多少？(計算時取 1.15＝1.6)
解析 (1)第1年末的住房面積a·－b＝1.1a－b(m2)，
第2年末的住房面積(a·－b)·－b＝a·()2－b(1＋)＝1.21a－2.1b(m2)．
(2)第3年末的住房面積[a·()2－b(1＋)]－b＝a·()3－b[1＋＋()2]，
第4年末住房面積為a·()4－b[1＋＋()2＋()3]，
第5年末住房面積為a·()5－b[1＋＋()2＋()3＋()4]＝1.15a－b＝1.6a－6b.
依題意可知，1.6a－6b＝1.3a，解得b＝.
所以每年拆除的舊房面積為(m2)．
13．(2012·福建)在等差數列和等比數列中，a1＝b1＝1，b4＝8.的前10項和s10＝55.
(1)求an和bn；
(2)現分別從和的前3項中各隨機抽取一項，寫出相應的基本事件，並求這兩項的值相等的概率．
解析 (1)設的公差為d，的公比為q.依題意得
s10＝10＋d＝55，b4＝q3＝8，
解得d＝1，q＝2，所以an＝n，bn＝2n－1.
(2)分別從和的前3項中各隨機抽取一項，得到的基本事件有9個：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合題意的基本事件有2個：(1,1)，(2,2)．
故所求的概率p＝.
14．(2012·浙江)已知數列的前n項和為sn，且sn＝2n2＋n，n∈n*，數列滿足an＝4log2bn＋3，n∈n*.
(1)求an，bn；
(2)求數列的前n項和t n.
解析 (1)由sn＝2n2＋n，得當n＝1時，a1＝s1＝3；
當n≥2時，an＝sn－sn－1＝4n－1，所以an＝4n－1，n∈n*.
由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈n*.
(2)由(1)知an·bn＝(4n－1)·2n－1，n∈n*，
所以tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1.
2tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n.
所以2tn－tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5.
故tn＝(4n－5)2n＋5，n∈n*.
1．(2011·江蘇)設1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數列，a2，a4，a6成公差為1的等差數列，則q的最小值是________．
答案 解析設a2＝t，則1≤t≤q≤t＋1≤q2≤t＋2≤q3，由於t≥1，所以q≥max，故q的最小值是.
2．(2011·陝西理)植樹節某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10公尺．開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊．使每位同學從各自樹坑出發前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為________(公尺)．
答案 2 000
解析當放在最左側坑時，路程和為2×(0＋10＋20＋…＋190)；當放在左側第2個坑時，路程和為2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(減少了360公尺)；當放在左側第3個坑時，路程和為2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(減少了320公尺)；依次進行，顯然當放在中間的第10、11個坑時，路程和最小，為2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2 000公尺．
3．在數列中，設a1為首項，其前n項和為**，若對任意的正整數m、n都有不等式s2m＋s2n<2**＋n(m≠n)恆成立，且2s6>s3.
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