課時作業(七十五)
1．在(ax－1)7展開式中含x4項的係數為－35，則a為
a．±1 b．－1
c．－ d．±
答案 a
解析由通項公式可得c (ax)4(－1)3＝－35x4，
∴ca4(－1)3＝－35，∴a4＝1，∴a＝±1.
2．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展開式中，x4的係數是通項公式為an＝3n－5的數列的
a．第20項 b．第18項
c．第11項 d．第3項
答案 a
解析 ∵x4的係數是
c＋c＋c＝c＋c＋c＝5＋15＋35＝55，
則由an＝55，即3n－5＝55，解得n＝20.
3．在(x＋1)(2x＋1)…(nx＋1)(n∈n*)的展開式中一次項係數為 ( )
a．c b．c
c．c d. c
答案 b
解析 1＋2＋3＋…＋n＝＝c.
4．設(5x－)n的展開式的各項係數之和為m，二項式係數之和為n，m－n＝240，則展開式中x3項的係數為
a．500 b．－500
c．150 d．－150
答案 c
解析 n＝2n，令x＝1，則m＝(5－1)n＝4n＝(2n)2.
∴(2n)2－2n＝240,2n＝16，n＝4.
展開式中第r＋1項tr＋1＝c·(5x)4－r·(－)r
＝(－1)r·c·54－r·x .
令4－＝3，即r＝2，此時c·52·(－1)2＝150.
5．(2012·天津)在(2x2－)5的二項展開式中，x的係數為 ( )
a．10 b．－10
c．40 d．－40
答案 d
解析因為二項式(2x2－)5展開式的第r＋1項為tr＋1＝c (2x2)5－r(－)r＝c·25－r×(－1)rx10－3r，當r＝3時，含有x，其係數為c×22×(－1)3＝－40.
6．(2011·陝西理)(4x－2－x)6，(x∈r)展開式中的常數項是 ( )
a．－20 b．－15
c．15 d．20
答案 c
解析 tr＋1＝c (22x)6－r(－2－x)r＝(－1)rc (2x)12－3r，r＝4時，12－3r＝0，故第5項是常數項，t5＝(－1)4c＝15.
7．已知(1－)10＝a＋b(a，b為有理數)，則a2－2b2＝ ( )
a．(1－)20 b．0
c．－1 d．1
答案 d
解析在二項式(a＋b)n與(a－b)n的展開式中，奇數項是完全相同的，偶數項互為相反數，根據這個特點，當(1－)10＝a＋b時，必有(1＋)10＝a－b，故a2－2b2＝(a＋b)(a－b)＝(1－)10(1＋)10＝1.
8．(2013·南昌一模)若(x＋y)9按x的降冪排列的展開式中，第二項不大於第三項，且x＋y＝1，xy<0，則x的取值範圍是
ab．[，＋∞)
cd．(1，＋∞)
答案 d
解析二項式(x＋y)9的展開式的通項是tr＋1＝c·x9－r·yr.
依題意有由此得
由此解得x>1，即x的取值範圍是(1，＋∞)．
9．(2013·北京西城區)若(x2－)n展開式中的所有二項式係數之和為512，則該展開式中的常數項為
a．－84 b．84
c．－36 d．36
答案 b
解析二項展開式的二項式係數和為2n＝512，所以n＝9.二項展開式的第k＋1項為tk＋1＝c (x2)9－k(－x－1)k＝cx18－2k(－1)kx－k＝cx18－3k(－1)k，令18－3k＝0，得k＝6，所以常數項為t7＝c (－1)6＝84，選b.
10．(2013·湖北黃岡)設(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋…＋a2nx2n，則a2＋a4＋…＋a2n的值為
a．3n b．3n－2
c. d.
答案 c
解析令x＝0，得a0＝1
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n＝1
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝3n
②＋③，得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝3n＋1.
故a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝.
再由①得a2＋a4＋…＋a2n＝.
11．(x＋2)10(x2－1)的展開式中x10的係數為________．
答案 179
解析 (x＋2)10(x2－1)＝x2(x＋2)10－(x＋2)10.
本題求x10的係數，只要求(x＋2)10展開式中x8及x10的係數tr＋1＝cx10－r· 2r.
取r＝2，r＝0，得x8的係數為c×22＝180；
x10的係數為c＝1，
∴所求係數為180－1＝179.
12．設an(n＝2,3,4，…)是(3－)n的展開式中x的一次項的係數，則＋＋…＋的值為
答案 17
解析由通項c3n－r(－1)rx 知，展開式中x的一次項的係數為an＝c3n－2，所以＋＋…＋＝32(＋＋＋…＋)＝17.
13．(2012·浙江)若將函式f(x)＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實數，則a3
答案 10
解析不妨設1＋x＝t，則x＝t－1，因此有(t－1)5＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，則a3＝c (－1)2＝10.
14．(2012·大綱全國)若(x＋)n的展開式中第3項與第7項的二項式係數相等，則該展開式中的係數為________．
答案 56
解析由c＝c可知n＝8，所以(x＋)8的展開式的通項公式為tr＋1＝cx8－r()r＝cx8－2r，所以8－2r＝－2r＝5，所以的係數為c＝56.
15．設(2x－1)5＋(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則|a0|＋|a2|＋|a4
答案 110
解析令x＝0，得a0＝－1＋24＝15；c (2x)2(－1)3＋cx222＝－16x2，所以a2＝－16；c (2x)4(－1)1＋cx420＝－79x4，所以a4＝－79，故|a0|＋|a2|＋|a4|＝110.
16．(2012·衡水調研)若(2x－)9的展開式的第7項為，則x
答案 －
解析 t7＝t6＋1＝c (2x)3(－)6＝，
即·23x·＝，
所以23x－1＝2－2，因此有3x－1＝－2，即x＝－.
17．設f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展開式中x的係數是19(m，n∈n*)．
(1)求f(x)展開式中x2的係數的最小值；
(2)對f(x)展開式中x2的係數取最小值時m，n，求f(x)展開式中x7的係數．
解析 (1)由題意知c＋c＝19，
∴m＋n＝19，∴m＝19－n.
x2的係數為c＋c＝c＋c
＝(19－n)(18－n)＋n(n－1)
＝n2－19n＋171
＝(n－)2＋，
∵n∈n*，∴n＝9或n＝10時，x2的係數取最小值()2＋＝81.
1．(2012·洛陽市高三統一考試)在二項式(－)6的展開式中，x的指數是整數的項共有________項．
答案 3
解析 tr＋1＝c ()6－r·(－)r＝(－1)rcx ，要使指數為整數，r為3的倍數，則r可取0,3,6，故指數是整數的項共有3項．
2．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，則a1＋a3＋a5＋a7的值為________．
答案 －1 094
解析令x＝1，則a0＋a1＋…＋a7＝－1，令x＝－1，則
a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝2 187，於是a1＋a3＋a5＋a7＝－1 094.故填－1 094.
3．求(1＋x＋x2)8展開式中x5的係數．
解析方法一 (通項公式法)(1＋x＋x2)8＝[1＋(x＋x2)]8展開後的通式公式是tr＋1＝c (x＋x2)r，則x5的係數由(x＋x2)r決定，而(x＋x2)r的展開通項公式是t′k＋1＝cxr－kx2k＝cxr＋k，所以(1＋x＋x2)8展開式的通項公式是ccxr＋k，其中0≤k≤r≤8，r＋k＝5，r、k∈n.
由此解得或或
故含x5的係數為cc＋cc＋cc＝504.
方法二 (逐項研究法)(1＋x＋x2)8＝[(1＋x)＋x2]8＝
c (1＋x)8＋c (1＋x)7·x2＋c (1＋x)6·(x2)2＋c (1＋x)5·(x2)3＋…＋c (1＋x)0·(x2)8，則展開式中含x5的係數為cc＋cc＋cc＝504.
方法三 (基本原理法)將(1＋x＋x2)8寫成八個因式乘積的形式(1＋x＋x2)8＝(1＋x＋x2)·(1＋x＋x2)·(1＋x＋x2)·…·(1＋x＋x2)(共8個)．
這八個因式中乘積展開式中形式x5的**有三：①有兩個括號各出乙個x2，其餘六個括號中恰有乙個括號出乙個x，這種方式共有cc種；②有乙個括號出乙個x2，其餘七個括號中恰有三個括號各出乙個x，共有cc種；③沒有乙個括號出乙個x2，恰有五個括號各出乙個x，共有c種．
故x5的係數是cc＋cc＋c＝504.
4．設(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100求下列各式的值：
(1)a0；
(2)a1＋a2＋…＋a100；
(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；
(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.
解析 (1)(2－x)100展開式中的常數項為
c·2100，即a0＝2100，或令x＝0，
則展開式可化為a0＝2100.
(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100
∴a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.
(3)令x＝－1，
可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100
與x＝1所得到的①聯立相減可得
a1＋a3＋…＋a99＝.
(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]
＝(a0＋a1＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)
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