課時作業(九十四)
1．若a，b，c∈r＋，且a＋b＋c＝1，則＋＋的最大值為 ( )
a．1b.
c. d．2
答案 c
解析方法一 (＋＋)2＝a＋b＋c＋2＋2＋2≤a＋b＋c＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3.
當且僅當a＝b＝c時取等號成立．
方法二柯西不等式：(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.
2．設a，b∈r，若a2＋b2＝5，則a＋2b的最大值為 ( )
a．2 b．3
c．4 d．5
答案 d
解析方法一設a＋2b＝t，
則a＝t－2b，代入a2＋b2＝5.
得(t－2b)2＋b2＝5.
∴5b2－4tb＋t2－5＝0.
由δ＝16t2－20(t2－5)≥0，
得t2≤25，∴t≤5.
方法二由柯西不等式，得
(a2＋b2)(12＋22)≥(a＋2b)2.
因為a2＋b2＝5，
所以(a＋2b)2≤25，
即－5≤a＋2b≤5.
當且僅當b＝2a且a2＋b2＝5時等號成立，故選d.
3．已知關於x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恆成立，則實數a的最小值為________．
答案 解析 2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2＋2a＝2a＋4≥7，∴a≥.
4．若不等式|a－1|≥x＋2y＋2z，對滿足x2＋y2＋z2＝1的一切實數x、y、z恆成立，則實數a的取值範圍是________．
答案 a≥4或a≤－2
解析由柯西不等式，得(x＋2y＋2z)2≤(12＋22＋22)(x2＋y2＋z2)＝9，由題意|a－1|≥3，
∴a≥4或a≤－2.
5．把一條長是m的繩子裁成三段，各圍成乙個正方形，則這三個正方形的面積和的最小值為________．
答案 解析設三段的長度分別為x，y，z，則x＋y＋z＝m，三個正方形的面積和為s＝()2＋()2＋()2＝(x2＋y2＋z2)．
因為(x2＋y2＋z2)(12＋12＋12)≥(x＋y＋z)2＝m2，
當且僅當x＝y＝z＝時等號成立．
所以x2＋y2＋z2有最小值，從而s有最小值.
6．設a，b，c為正數，且a＋b＋c＝1，則ab2c＋abc2的最大值為________．
答案 解析 ab2c＋abc2＝abc(b＋c)＝(3a)(2b)(2c)·(b＋c)≤4＝.
當且僅當a＝，b＝c＝時取等號．
7．若logxy＝－2，求x＋y的最小值．
解析由logxy＝－2，得y＝.
而x＋y＝x＋＝＋＋≥3＝3＝，當且僅當＝即x＝時取等號．所以x＋y的最小值為.
8．已知實數a、b、c、d滿足a2＋b2＝1，c2＋d2＝2，求ac＋bd的最大值．
解析 ∵(ac＋bd)2＝(ac)2＋(bd)2＋2abcd
≤(ac)2＋(bd)2＋(ad)2＋(bc)2＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝2，
∴|ac＋ad|≤，即－≤ac＋bd≤.
9．已知x，y，z均為正數．求證：＋＋≥＋＋.
證明因為x，y，z均為正數，所以＋＝(＋)≥，同理可得＋≥，＋≥，當且僅當x＝y＝z時，以上三式等號都成立，將上述三個不等式兩邊分別相加，並除以2，得＋＋≥＋＋.
10．已知實數x、y、z滿足x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，且x＋y＋z的最大值是1，求a的值．
解析由柯西不等式，得
[x2＋(2y)2＋(3z)2][12＋()2＋()2]≥(x＋×2y＋×3z)2(當且僅當x＝4y＝9z時取等號)．
因為x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，
所以a≥(x＋y＋z)2，即－≤x＋y＋z≤.
因為x＋y＋z的最大值是1，所以＝1，a＝.
所以當x＝，y＝，z＝時，x＋y＋z取最大值1.
所以a的值為.
11．(2013·衡水調研卷)已知實數m，n>0.
(1)求證：＋≥；
(2)求函式y＝＋〔x∈(0，)〕的最小值．
(1)證明因為m，n>0，利用柯西不等式，
得(m＋n)(＋)≥(a＋b)2，
所以＋≥.
(2)解析由(1)，函式y＝＋＝＋≥＝25，
所以函式y＝＋〔x∈(0，)〕的最小值為25，當且僅當x＝時取得．
12．已知實數a，b，c，d滿足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，試求a的最值．
解析由柯西不等式，得
(2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2，
即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2，由條件，
可得5－a2≥(3－a)2，
解得1≤a≤2，當且僅當＝＝時等號成立，
即當b＝，c＝，d＝，amax＝2；b＝1，c＝，d＝時，amin＝1.
13．(2012·福建理)已知函式f(x)＝m－|x－2|，m∈r，且f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c∈r，且＋＋＝m，求證：a＋2b＋3c≥9.
解析 (1)因為f(x＋2)＝m－|x|，所以f(x＋2)≥0等價於|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集為
．又f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]，故m＝1.
(2)由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈r＋，由柯西不等式，得
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c2＝9.
2019高考調研理科數學課時作業講解 課時作業
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