課時作業(四十六)
1．函式y＝f(x)在(0,2)上是增函式，函式y＝f(x＋2)是偶數，則f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小關係是
a．f(2.5)b．f(2.5)>f(1)>f(3.5)
c．f(3.5)>f(2.5)>f(1)
d．f(1)>f(3.5)>f(2.5)
答案 b
解析函式y＝f(x＋2)是偶函式，∴y＝f(x)關於x＝2對稱．又∵函式y＝f(x)在(0,2)上單增，∴在(2,4)上單減．
∴f(1)＝f(3)，∴f(2.5)>f(3)>f(3.5)．∴選b.
2．用反證法證明命題：若整係數一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理數根，則a，b，c中至少有乙個是偶數時，下列假設中正確的是 ( )
a．假設a，b，c都是偶數
b．假設a，b，c都不是偶數
c．假設a，b，c至多有乙個偶數
d．假設a，b，c至多有兩個偶數
答案 b
解析 a，b，c都不是偶數，是對a，b，c至少有乙個偶數的否定．
3．若a>0，b>0，且a＋b＝4，則下列不等式中恆成立的是 ( )
a. >b.＋≤1
c.≥2 d.≤
答案 d
解析 ∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝16.
∴a2＋b2≥8，∴≤.
4．若<<0，則下列不等式：①a＋b|b|；③a2中，正確的不等式是
a．①② b．②③
c．①④ d．③④
答案 c
解析 a＋b<0∵>0， >0，a≠b，
∴＋>2＝2，∴＋>2.
5．已知函式f(x)滿足：f(a＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2，則
a．4 b．8
c．12 d．16
答案 d
解析根據f(a＋b)＝f(a)·f(b)，得f(2n)＝f2(n)．
又f(1)＝2，則＝2.
由＋＋＋＝＋＋＋＝16.
6．已知a>0，b>0，如果不等式＋≥恆成立，那麼m的最大值等於
a．10 b．9
c．8 d．7
答案 b
解析 ∵a>0，b>0，∴2a＋b>0.
∴不等式可化為m≤(＋)(2a＋b)＝5＋2(＋)．
∵5＋2(＋)≥5＋4＝9，即其最小值為9，
∴m≤9，即m的最大值等於9.
7．若a＋b>a＋b，則a，b應滿足的條件是________．
答案 a≥0，b≥0且a≠b
解析 ∵a＋b>a＋b(－)2(＋)>0a≥0，b≥0且a≠b.
8．已知函式y＝f(x)是r上的偶函式，對於x∈r都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，當x1，x3∈[0,3]，且x1≠x2時，都有》0，給出下列命題：
①f(3)＝0；
②直線x＝－6是函式y＝f(x)的影象的一條對稱軸；
③函式y＝f(x)在[－9，－6]上為增函式；
④函式y＝f(x)在[－9,9]上有四個零點．
其中所有正確命題的序號為把所有正確命題的序號都填上)
答案 ①②④
解析 ∵x1≠x2時，都有》0，
∴f(x)在[0,3]上遞增．
∵f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，
令x＝－3，得f(3)＝f(－3)＋f(3)．
∴f(－3)＝f(3)＝0.①對．
∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)週期為6，畫出示意圖如下：
由影象知，②④正確，③不正確，故填 ①②④.
9．給出下列四個命題：
①若a－1，則≥；③若正整數m和n滿足m0，且x≠1，則lnx＋≥2.
其中真命題的序號是請把真命題的序號都填上)
答案 ②③
解析對於①，a＝－2b2，故①錯．
對於④，lnx不一定為正數，
故0x>1時，lnx＋≥2，故④不正確．
10．已知a，b，c為互不相等的非負數．
求證：a2＋b2＋c2> (＋＋)．
證明 ∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，
又∵a，b，c為互不相等的非負數，
∴上面三個式子中都不能取「＝」．
∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.
∵ab＋bc≥2，bc＋ac≥2，
ab＋ac≥2，
又a，b，c為互不相等的非負數，
∴ab＋bc＋ac> (＋＋)．
∴a2＋b2＋c2> (＋＋)．
11．(1)設x是正實數，求證：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3.
(2)若x∈r，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請舉出乙個使它不成立的x的值．
解析 (1)證明：x是正實數，由均值不等式，得
x＋1≥2，x2＋1≥2x，x3＋1≥2.
故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2·2x·2＝8x3(當且僅當x＝1時等號成立)．
(2)解：若x∈r，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立．
由(1)知，當x>0時，不等式成立；
當x≤0時，8x3≤0，
而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1)
＝(x＋1)2(x2＋1)[(x－)2＋]≥0，
此時不等式仍然成立．
12．已知等比數列的前n項和為sn，若am，am＋2，am＋1(m∈n*)成等差數列，試判斷**，**＋2，**＋1是否成等差數列，並證明你的結論．
解析設等比數列的首項為a1，公比為q(a1≠0，q≠0)，
若am，am＋2，am＋1成等差數列，則2am＋2＝am＋am＋1.
∴2a1qm＋1＝a1qm－1＋a1qm.
∵a1≠0，q≠0，∴2q2－q－1＝0.
解得q＝1或q＝－.
當q＝1時，∵**＝ma1，**＋1＝(m＋1)a1，
**＋2＝(m＋2)a1，∴2**＋2≠**＋**＋1.
∴當q＝1時，**，**＋2，**＋1不成等差數列．
當q＝－時，**，**＋2，**＋1成等差數列．
下面給出證明：
證法一：∵(**＋**＋1)－2**＋2
＝(**＋**＋am＋1)－2(**＋am＋1＋am＋2)
＝－am＋1－2am＋2
＝－am＋1－2am＋1q
＝－am＋1－2am＋1(－)
＝0，∴2**＋2＝**＋**＋1.
∴當q＝－時，**，**＋2，**＋1成等差數列．
證法二：∵2**＋2＝
＝a1[1－(－)m＋2]，
又**＋**＋1
＝＋＝a1[2－(－)m－(－)m＋1]
＝a1[2－4(－)m＋2＋2(－)m＋2]
＝a1[1－(－)m＋2]，
∴2**＋2＝**＋**＋1.
∴當q＝－時，**，**＋2，**＋1成等差數列．
13．已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＋c＝0，f(x)在[－1,1]上的最大值為2，最小值為－.求證：a≠0且||<2.
思路先反設，即假設a＝0或||≥2，再分兩種情況一一推出矛盾即可．
解析假設a＝0或||≥2.
(1)當a＝0時，由a＋c＝0，得f(x)＝bx，顯然b≠0.
由題意，得f(x)＝bx在[－1,1]上是單調函式，所以f(x)的最大值為|b|，最小值為－|b|.由已知條件，得|b|＋(－|b|)＝2－＝－，這與|b|＋(－|b|)＝0相矛盾，所以a≠0.
(2)當||≥2時，由二次函式的對稱軸為直線x＝－，知f(x)在[－1,1]上是單調函式，故其最值在區間的端點處取得．
所以或又a＋c＝0，則此時b無解，所以||<2.
由(1)(2)，得a≠0且||<2.
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