課時作業(五十六)
(第二次作業)
1．如右圖所示，在稜長為2的正方體abcd－a1b1c1d1中，o是底面abcd的中心，e、f分別是cc1、ad的中點，那麼異面直線oe和fd1所成的角的余弦值等於
ab.c. d.
答案 b
解析本題考查空間向量的運算．設正方體的邊長為2，建立如右圖所示的座標系，o(1,1,0)，e(0,2,1)，f(1,0,0)，d1(0,0,2)，∴＝(－1,0,2)，
＝(－1,1,1)．
∴cos ， ＝＝＝.
2.以等腰rt△abc的斜邊bc上的高ad為摺痕，將△abc折起(如圖)，使折起後的△abc恰好為等邊三角形．m為高ad的中點，則直線ab與cm所成角的余弦值為
a. b.
c. d．－
答案 c
解析 設直角邊ab＝ac＝2，則bc＝2.
取bd中點n，連線mn，
則mn∥ab，所以∠nmc即為所求．
∵mn＝ab＝1，mc＝＝nc，
在△ncm中，由餘弦定理可得cos∠nmc＝.
3．正方體abcd－a1b1c1d1中，e、f分別是正方形add1a1和abcd的中心，g是cc1的中點，設gf、c1e與ab所成的角分別為α、β，則α＋β等於( )
a．120° b．60°
c．75° d．90°
答案 d
解析建立如圖座標系，設正方體稜長為2.
b(2,0,0)，a(2,2,0)，g(0,0,1)，f(1,1,0)，c1(0,0,2)，e(1,2,1)．
則＝(0,2,0)，＝(1,1，－1)，＝(1,2，－1)．
∴cos〈，〉＝，cos〈，〉＝.
∴cosα＝，cosβ＝，sinβ＝，∴α＋β＝90°，故選d.
4．如圖所示，已知點p在正方體abcd－a′b′c′d′的對角線bd′上，∠pda＝60°.
(1)求dp與cc′所成角的大小；
(2)求dp與平面aa′d′d所成角的大小．
解析如圖所示，以d為原點，da為單位長度建立空間直角座標系d－xyz.
則＝(1,0,0)，＝(0,0,1)．
連線bd，b′d′.
在平面bb′d′d中，延長dp交b′d′於h.
設＝(m，m,1)(m>0)，由已知〈，〉＝60°，由
·＝||||cos〈，〉，
可得2m＝.
解得m＝，所以＝(，，1)．
(1)因為cos〈，〉＝＝，
所以〈，〉＝45°，即dp與cc′所成的角為45°.
(2)∵abcd－a′b′c′d′為正方體，
∴cd⊥平面ad′.
∴為平面ad′的乙個法向量，＝(0，－1,0)．
又∵＝(，，1)，
∴cos〈，〉＝＝－.
∴dp與平面aa′d′d所成角為30°.
5.已知長方體abcd－a1b1c1d1，ab＝2，aa1＝1，直線bd與平面aa1b1b所成的角為30°，ae垂直bd於點e，f為a1b1的中點．
(1)求異面直線ae與bf所成角的余弦值；
(2)求平面bdf與平面aa1b所成二面角(銳角)的余弦值．
解析 (1)分別以ab，ad，aa1為x，y，z軸建系．
∵ad⊥平面abb1a1，bd與平面aa1b1b夾角為30°，
∴∠dba＝30°.∵ae⊥bd，
∴e(，，0)，b(2,0,0)，f(1,0,1)．
∴＝(，，0)，＝(－1,0,1)，cos〈·〉＝－.
∴ae與bf所成角的余弦值為.
(2)＝(－1,0,1)，＝(－2，，0)，
平面bdf法向量a＝(1，，1)，
平面aa1b法向量b＝(0,1,0)，
∴cos〈a，b〉＝.
∴平面bdf與平面aa1b所成二面角的余弦值為.
6．(2013·石家莊質檢)四稜錐a—bcde的正檢視和俯檢視如下，其中俯檢視是直角梯形．
(1)若正檢視是等邊三角形，f為ac的中點，當點m在稜ad上移動時，是否總有bf⊥cm，請說明理由；
(2)若平面abc與平面ade所成的銳二面角為45°.求直線ad與平面abe所成角的正弦值．
解析 (1)由俯檢視可知平面abc⊥平面ebcd.
又bc＝2，o為bc中點，be＝1，cd＝2.
∵△abc為等邊三角形，f為ac中點，
∴bf⊥ac.
又平面abc⊥平面ebcd，且dc⊥bc，
∴dc⊥平面abc，∴dc⊥bf.
又ac∩cd＝c，∴bf⊥平面acd.
∴bf⊥cm.
(2)以o為原點，為x軸，為z軸建系．
b(－1,0,0)，c(1,0,0)，e(－1,1,0)，d(1,2,0)．
設a(0,0，a), 由題意可知平面abc的法向量為(0,1,0)．
設平面ade法向量n＝(x，y，z)．
＝(2,1,0)，＝(1，－1，a)，
∴令x＝1，y＝－2，z＝.
∴n＝(1，－2，－)．
∴＝|cosθ|＝，解得a＝.
由線面角向量知識，可得sinθ＝.
7．(2011·全國新課標理)如圖，四稜錐p－abcd中，底面abcd為平行四邊形，∠dab＝60°，ab＝2ad，pd⊥底面abcd.
(1)證明：pa⊥bd；
(2)若pd＝ad，求二面角a－pb－c的余弦值．
解析 (1)因為∠dab＝60°，ab＝2ad，
由餘弦定理，得bd＝ad.
從而bd2＋ad2＝ab2，故bd⊥ad.
又pd⊥底面abcd，可得bd⊥pd.
所以bd⊥平面pad.故pa⊥bd.
(2)如圖，以d為座標原點，ad的長為單位長，射線da為x軸的正半軸建立空間直角座標系d－xyz，則
a(1,0,0)，b(0，，0)，c(－1，，0)，p(0,0,1)．
＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)．
設平面pab的法向量n＝(x，y，z)，
則即因此可取n＝(，1，)．
設平面pbc的法向量為m，則
可取m＝(0，－1，－)，則cos〈m，n〉＝＝－.
故二面角a－pb－c的余弦值為－.
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