「勻速圓周運動」的典型例題
【例1】如圖所示的傳動裝置中，a、b兩輪同軸轉動．a、b、c三輪的半徑大小的關係是ra=rc=2rb．當皮帶不打滑時，三輪的角速度之比、三輪邊緣的線速度大小之比、三輪邊緣的向心加速度大小之比分別為多少？
【例2】一圓盤可繞一通過圓盤中心o且垂直於盤面的豎直軸轉動．在圓盤上放置一木塊，當圓盤勻速轉動時，木塊隨圓盤一起運動（見圖），那麼
[ ]a．木塊受到圓盤對它的摩擦力，方向背離圓盤中心
b．木塊受到圓盤對它的摩擦力，方向指向圓盤中心
c．因為木塊隨圓盤一起運動，所以木塊受到圓盤對它的摩擦力，方向與木塊的運動方向相同
d．因為摩擦力總是阻礙物體運動，所以木塊所受圓盤對它的摩擦力的方向與木塊的運動方向相反
e．因為二者是相對靜止的，圓盤與木塊之間無摩擦力
【例3】在乙個水平轉台上放有a、b、c三個物體，它們跟檯面間的摩擦因數相同．a的質量為2m，b、c各為m．a、b離轉軸均為r，c為2r．則
[ ]a．若a、b、c三物體隨轉台一起轉動未發生滑動，a、c的向心加速度比b大
b．若a、b、c三物體隨轉台一起轉動未發生滑動，b所受的靜摩擦力最小
c．當轉台轉速增加時，c最先發生滑動
d．當轉台轉速繼續增加時，a比b先滑動
【例4】如圖，光滑的水平桌面上釘有兩枚鐵釘a、b，相距l0=0.1m．長l=1m的柔軟細線一端拴在a上，另一端拴住乙個質量為500g的小球．小球的初始位置在ab連線上a的一側．把細線拉直，給小球以2m／s的垂直細線方向的水平速度，使它做圓周運動．由於釘子b的存在，使細線逐步纏在a、b上．
若細線能承受的最大張力tm=7n，則從開始運動到細線斷裂歷時多長？
【說明】圓周運動的顯著特點是它的週期性．通過對運動規律的研究，用遞推法則寫出解答結果的通式（一般表示式）有很重要的意義．對本題，還應該熟練掌握數列求和方法．
如果題中的細線始終不會斷裂，有興趣的同學還可計算一下，從小球開始運動到細線完全繞在a、b兩釘子上，共需多少時間？
【例5】如圖(a)所示，在光滑的圓錐頂用長為l的細線懸掛一質量為m的小球，圓錐頂角為2θ，當圓錐和球一起以角速度ω勻速轉動時，球壓緊錐面．此時繩的張力是多少？若要小球離開錐面，則小球的角速度至少為多少？
【說明】本題是屬於二維的牛頓第二定律問題，解題時，一般可以物體為座標原點，建立xoy直角座標，然後沿x軸和y軸兩個方向，列出牛頓第二定律的方程，其中乙個方程是向心力和向心加速度的關係，最後解聯立方程即可。
【例6】雜技節目中的「水流星」表演，用一根繩子兩端各拴乙個盛水的杯子，演員掄起杯子在豎直面上做圓周運動，在最高點杯口朝下，但水不會流下，如下圖所示，這是為什麼？
【例7】如下圖所示，自行車和人的總質量為m，在一水平地面運動．若自行車以速度v轉過半徑為r的彎道．（1）求自行車的傾角應多大？（2）自行車所受的地面的摩擦力多大？
【例8】用長l1=4m和長為l2=3m的兩根細線，拴一質量m=2kg的小球a，l1和l2的另兩端點分別系在一豎直杆的o1，o2處，已知o1o2=5m如下圖（g＝10m·s-2）
（1）當豎直桿以的角速度ω勻速轉動時，o2a線剛好伸直且不受拉力．求此時角速度ω1．
（2）當o1a線所受力為100n時，求此時的角速度ω2．
【說明】向心力是一種效果力，在本題中o2a受力與否決定於物體a做圓周運動時角速度的臨界值．在這種題目中找好臨界值是關鍵．
[例9]一輛實驗小車可沿水平地面（圖中紙面）上的長直軌道勻速向右運動，有一台發出細光束的雷射器裝在小轉台m上，到軌道的距離mn為d=10m，如圖所示。轉台勻速轉動，使雷射束在水平面內掃瞄，掃瞄一周的時間為t=60s，光束轉動方向如圖箭頭所示。當光束與mn的夾角為45°時，光束正好射到小車上，如果再經過△t=2.
5s光束又射到小車上，則小車的速度為多少？（結果保留二位數字）
[例10]圖所示為測量子彈速度的裝置，一根水平轉軸的端部焊接乙個半徑為r的薄壁圓筒（圖為其橫截面），轉軸的轉速是每分鐘n轉，一顆子彈沿圓筒的水平直徑由a點射入圓筒，在圓筒轉過不到半圓時從b點穿出，假設子彈穿壁時速度大小不變，並在飛行中保持水平方向，測量出a、b兩點間的孤長為l，寫出子彈速度的表示式。
[說明]
解題過程中，物理過程示意圖，是常用的方法，它可以使抽象的物理過程具體形象化，便於從圖中找出各物理量之間關係，以幫助建立物理方程，最後求出答案。
典型例題答案
【例1】【分析】皮帶不打滑，表示輪子邊緣在某段時間內轉過的弧長總是跟皮帶移動的距離相等，也就是說，用皮帶直接相連的兩輪邊緣各處的線速度大小相等．根據這個特點，結合線速度、角速度、向心加速度的公式即可得解．
【解】由於皮帶不打滑，因此，b、c兩輪邊緣線速度大小相等，設vb=vc=v．由v=ωr得兩輪角速度大小的關係
ωb∶ωc=rc∶rb=2∶1．
因a、b兩輪同軸轉動，角速度相等，即ωa=ωb，所以a、b、c三輪角速度之比
ωa∶ωb∶ωc=2∶2∶1．
因a輪邊緣的線速度
va=ωara=2ωbrb=2vb，
所以a、b、c三輪邊緣線速度之比
va∶vb∶vc=2∶1∶1．
根據向心加速度公式a=ω2r，所以a、b、c三輪邊緣向心加速度之比
=8∶4∶2=4∶2∶1．
【例2】【分析】由於木塊隨圓盤一起作勻速圓周運動，時刻存在著乙個沿半徑指向圓心的向心加速度，因此，它必然會受到乙個沿半徑指向中心、產生向心加速度的力——向心力．
以木塊為研究物件進行受力分析：在豎直方向受到重力和盤面的支援力，它處於力平衡狀態．在盤面方向，可能受到的力只有來自盤面的摩擦力（靜摩擦力），木塊正是依靠盤面的摩擦力作為向心力使它隨圓盤一起勻速轉動．所以，這個摩擦力的方向必沿半徑指向中心
【答】b．
【說明】常有些同學認為，靜摩擦力的方向與物體間相對滑動的趨勢方向相反，木塊隨圓盤一起勻速轉動時，時時有沿切線方向飛出的趨勢，因此靜摩擦力的方向應與木塊的這種運動趨勢方向相反，似乎應該選d．這是一種極普遍的錯誤認識，其原因是忘記了研究運動時所相對的參照系．通常說做圓運動的物體有沿線速度方向飛出的趨勢，是指以地球為參照系而言的．而靜摩擦力的方向總是跟相對運動趨勢的方向相反，應該是指相互接觸的兩個相關物體來說的，即是對盤面參照系．也就是說，對站在盤上跟盤一起轉動的觀察者，木塊時刻有沿半徑向外滑出的趨勢，所以，木塊受到盤面的摩擦力方向應該沿半徑指向中心
【例3】【分析】a、 b、 c三物體隨轉台一起轉動時，它們的角速度都等於轉台的角速度，設為ω．根據向心加速度的公式an=ω2r，已知ra=rb＜rc，所以三物體向心加速度的大小關係為aa=ab＜ac．
a錯．三物體隨轉台一起轉動時，由轉台的靜摩擦力提供向心力，即f =fn=mω2r，所以三物體受到的靜摩擦力的大小分別為
fa=maω2ra=2mω2r，
fb=mbω2rb=mω2r，
fc=mcω2rc =mω2·2r=2mω2r．
即物體b所受靜摩擦力最小．b正確．
由於轉台對物體的靜摩擦力有乙個最大值，設相互間摩擦因數為μ，靜摩擦力的最大值可認為是fm=μmg．由fm=fn，即
得不發生滑動的最大角速度為
即離轉台中心越遠的物體，使它不發生滑動時轉台的最大角速度越小．
由於rc＞ra=rb，所以當轉台的轉速逐漸增加時，物體c最先發生滑動．轉速繼續增加時，物體a、b將同時發生滑動．c正確，d錯．
【答】b、c．
【例4】【分析】小球轉動時，由於細線逐步繞在a、b兩釘上，小球的轉動半徑會逐漸變小，但小球轉動的線速度大小保持不變．
【解】小球交替地繞a、b作勻速圓周運動，因線速度不變，隨著轉動半徑的減小，線中張力t不斷增大，每轉半圈的時間t不斷減小．
令tn=tm=7n，得n=8，所以經歷的時間為
【例5】【分析】小球在水平面內做勻速圓周運動，由繩子的張力和錐面的支援力兩者的合力提供向心力，在豎直方向則合外力為零。由此根據牛頓第二定律列方程，即可求得解答。
【解】對小球進行受力分析如圖(b)所示，根據牛頓第二定律，向心方向上有
t·sinθ-n·cosθ=mω2r ①
y方向上應有
n·sinθ+t·cosθ-g=0 ②
∵r = l·sinθ ③
由①、②、③式可得
t = mgcosθ+mω2lsinθ
當小球剛好離開錐面時n=0（臨界條件）
則有tsinθ=mω2r ④
t·cosθ-g=0 ⑤
【例6】【分析】水和杯子一起在豎直麵內做圓周運動，需要提供乙個向心力。當水杯在最低點時，水做圓周運動的向心力由杯底的支援力提供，當水杯在最高點時，水做圓周運動的向心力由重力和杯底的壓力共同提供。只要做圓周運動的速度足夠快，所需向心力足夠大，水杯在最高點時，水就不會流下來。
【解】以杯中之水為研究物件，進行受力分析，根據牛頓第二定律
【例7】【分析】騎車拐彎時不摔倒必須將身體向內側傾斜．從圖中可知，當騎車人拐彎而使身體偏離豎直方向α角時，從而使靜摩擦力f與地面支援力n的合力q通過共同的質心o，合力q與重力的合力f是維持自行車作勻速圓周運動所需要的向心力．
【解】（1）由圖可知，向心力f=mgtgα，由牛頓第二定律有：
（2）由圖可知，向心力f可看做合力q在水平方向的分力，而q又是水平方向的靜摩擦力f和支援力n的合力，所以靜摩擦力f在數值上就等於向心力f，即
f = mgtgα
【例8】【分析】小球做圓周運動所需的向心力由兩條細線的拉力提供，當小球的運動速度不同時，所受拉力就不同。
【解】（1）當o2a線剛伸直而不受力時，受力如圖所示。
則f1cosθ=mg ①
f1sinθ=mrω12 ②
由幾何知識知
∴r=2.4m θ=37°
代入式③ω1=1.77（rad/s）
（2）當o1a受力為100n時，由（1）式
f1cosθ=100×0.8=80（n）＞mg
由此知o2a受拉力f2。則對a受力分析得
f1cosθ-f2sinθ-mg=0 ④
f1sinθ+f2cosθ= mrω22 ⑤
由式（4）（5）得
【例9】[分析]雷射器掃瞄一周的時間t=60s，那麼光束在△t=2.5s時間內轉過的角度
雷射束在豎直平面內的勻速轉動，但在水平方向上光點的掃瞄速度是變化的，這個速度是沿經向方向速度與沿切向方向速度的合速度。
當小車正向n點接近時，在△t內光束與mn的夾角由45°變為30°
隨著θ減小，v掃在減小若45°時，光照在小車上，此時v掃＞v車時，此後光點將照到車前但v掃↓v車不變，當v車＞v掃時，它們的距離在縮小。
[解]在△t內，光束轉過角度
如圖，有兩種可能
（1）光束照射小車時，小車正在接近n點，△t內光束與mn的夾角從45°變為30°，小車走過l1，速度應為
由圖可知
l1=d(tg45°- tg30°)③
圓周運動典型例題及答案詳解
勻速圓周運動 的典型例題 例1 如圖所示的傳動裝置中，a b兩輪同軸轉動 a b c三輪的半徑大小的關係是ra rc 2rb 當皮帶不打滑時，三輪的角速度之比 三輪邊緣的線速度大小之比 三輪邊緣的向心加速度大小之比分別為多少？例2 一圓盤可繞一通過圓盤中心o且垂直於盤面的豎直軸轉動 在圓盤上放置一木...
圓周運動典型問題剖析
勻速圓周運動問題是學習的難點，也是高考的熱點，同時它又容易和很多知識綜合在一起，形成能力性很強的題目，如除力學部分外，電學中 粒子在磁場中的運動 涉及的很多問題仍然要用到勻速圓周運動的知識，對勻速圓周運動的學習可重點從兩個方面掌握其特點，首先是勻速圓周運動的運動學規律，其次是其動力學規律，現就各部分...
7圓周運動典型問題分析
三圓周運動 知識要點 一 一般曲線運動 合力的切向分力提高加速度改變速度的大小,合力的法向分力提供向心力改變速度的方向.二 一般圓周運動 區別於勻速圓周運動 切向分力不為0，一次速度的大小和方向均變化。三 勻速圓周運動 在相同的時間內通過的弧長都相等 在相同的時間物體與圓心的連線轉過的角度都相等 合...