勻速圓周運動典型問題剖析
勻速圓周運動問題是學習的難點，也是高考的熱點，同時它又容易和很多知識綜合在一起，形成能力性很強的題目，如除力學部分外，電學中「粒子在磁場中的運動」涉及的很多問題仍然要用到勻速圓周運動的知識，對勻速圓周運動的學習可重點從兩個方面掌握其特點，首先是勻速圓周運動的運動學規律，其次是其動力學規律，現就各部分涉及的典型問題作點滴說明。
（一）運動學特徵及應用
勻速圓周運動的加速度、線速度的大小不變，而方向都是時刻變化的，因此勻速圓周運動是典型的變加速曲線運動。為了描述其運動的特殊性，又引入週期（t）、頻率（f）、角速度（）等物理量，涉及的物理量及公式較多。因此，熟練理解、掌握這些概念、公式，並加以靈活選擇運用，是我們學習的重點。
1. 基本概念、公式的理解和運用
[例1] 關於勻速圓周運動，下列說法正確的是（ ）
a. 線速度不變 b. 角速度不變 c. 加速度為零 d. 週期不變
解析：勻速圓周運動的角速度和週期是不變的；線速度的大小不變，但方向時刻變化，故勻速圓周運動的線速度是變化的，加速度不為零，答案為b、d。
[例2] 在繞豎直軸勻速轉動的圓環上有a、b兩點，如圖1所示，過a、b的半徑與豎直軸的夾角分別為30°和60°，則a、b兩點的線速度之比為 ；向心加速度之比為 。
圖1解析：a、b兩點做圓周運動的半徑分別為
它們的角速度相同，所以線速度之比
加速度之比
2. 傳動帶傳動問題
[例3] 如圖2所示，a、b兩輪靠皮帶傳動，a、b分別為兩輪邊緣上的點，c與a同在a輪上，已知，，在傳動時，皮帶不打滑。求：
（1） ；（23） 。
圖2解析：a、c兩點在同一皮帶輪上，它們的角速度相等，即，由於皮帶不打滑，所以a、b兩點的線速度大小相等，即。
（1）根據知
（2）根據知
（3）根據知
點評：共軸轉動的物體上各點的角速度相同，不打滑的皮帶傳動的兩輪邊緣上各點線速度大小相等，這樣通過「角速度」或「線速度」將比較「遙遠」的兩個質點的運動學特點聯絡在一起。
（二）動力學特徵及應用
物體做勻速圓周運動時，由合力提供圓周運動的向心力
且有方向始終指向圓心
1. 基本概念及規律的應用
[例4] 如圖3所示，質量相等的小球a、b分別固定在輕杆的中點和端點，當桿在光滑水平面上繞o點勻速轉動時求杆oa和ab段對球a的拉力之比。
解析：隔離a、b球進行受力分析，如圖3所示。因a、b兩球角速度相同，設為，選用公式，並取指向圓心方向為正方向，則
對a球： ①
對b球： ②
①②兩式聯立解得
圖3點評：向心力是指做勻速圓周運動物體受到的合力，而不一定是某乙個力，要對物體進行正確的受力分析。
[例5] 如圖4所示，乙個內壁光滑的圓錐筒的軸線垂直於水平面，圓錐筒固定不動，有兩個質量相同的小球a和b緊貼著內壁分別在圖中所示的水平面內作勻速圓周運動，則下列說法正確的是（ ）
a. 球a的線速度必定大於球b的線速度
b. 球a的角速度必定小於球b的角速度
c. 球a的運動週期必定小於球b的運動週期
d. 球a對筒壁的壓力必定大於球b對筒壁的壓力
圖4解析：對小球a、b受力分析，兩球的向心力都**於重力mg和支援力的合力，其合成如圖4所示，故兩球的向心力
比較線速度時，選用分析得r大，v一定大，a答案正確。
比較角速度時，選用分析得r大，一定小，b答案正確。
比較週期時，選用分析得r大，t一定大，c答案不正確。
小球a和b受到的支援力都等於，d答案不正確。
點評：①「向心力始終指向圓心」可以幫助我們合理處理物體的受力；② 根據問題討論需要，解題時要合理選擇向心力公式。
2. 軌跡圓（圓心、半徑）的確定
[例6] 甲、乙兩名滑冰運動員，，，面對面拉著彈簧秤做勻速圓周運動的滑冰表演，如圖5所示，兩人相距0.9m，彈簧秤的示數為9.2n，下列判斷中正確的是（ ）
a. 兩人的線速度相同，約為40m/s
b. 兩人的角速度相同，為6rad/s
c. 兩人的運動半徑相同，都是0.45m
d. 兩人的運動半徑不同，甲為0.3m，乙為0.6m
圖5解析：甲、乙兩人做圓周運動的角速度相同，向心力大小都是彈簧的彈力，則有即且，，解得，
由於所以
而，r不同，v不同。所以答案選d。
點評：有些勻速圓周運動的軌跡圓是比較「隱蔽」的，一旦理解錯誤，就會給解題帶來麻煩，如本題中兩人做勻速圓周運動的半徑並不是兩人的間距，例2中a、b做圓周運動的圓心並不是圓環的中心o等。
3. 聯絡實際問題
[例7] 司機開著汽車在一寬闊的馬路上勻速行駛突然發現前方有一堵牆，他是剎車好還是轉彎好？（設轉彎時汽車做勻速圓周運動，最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等。）
解析：設汽車質量為m，車輪與地面的動摩擦因數為，剎車時車速為，此時車離牆距離為，為方便起見，設車是沿牆底線的中垂線運動。若司機採用剎車，車向前滑行的距離設為s，則常數，若司採取急轉彎法，則（r是最小轉彎半徑），。
討論：（1）若，則急剎車或急轉彎均可以；
（2）若，則急剎車會平安無事，汽車能否急轉彎與牆的長度和位置有關，如圖6所示，質點p表示汽車，ab表示牆，若牆長度，如圖6，，則牆在ab和cd之間任一位置上，汽車轉彎同樣平安無事；
（3）若，則不能急剎車，但由（2）知若牆長和位置符合一定條件，汽車照樣可以轉彎。
點評：利用基本知識解決實際問題的關鍵是看能否將實際問題轉化為合理的物理模型。
圖6三. 勻速圓周運動的例項變形
課文中的圓周運動只有汽車過橋和火車轉彎兩個例項，而從這兩個例項可以變化出很多模型。試分析如下：
（一）汽車過橋
原型：汽車過凸橋
如圖1所示，汽車受到重力g和支援力fn，合力提供汽車過橋所需的向心力。
假設汽車過橋的速度為v，質量為m，橋的半徑為r，。
圖1分析：當支援力為零時，只有重力提供汽車所需的向心力，即，
1. 當汽車的速度，汽車所受的重力g小於過橋所需的向心力，汽車過橋時就會離開橋面飛起來。
2. 當汽車的速度，汽車所受的重力g恰好等於過橋需要的向心力，汽車恰好通過橋面的最高點。
3. 當汽車的速度，汽車所受的重力g大於所需的向心力，此時需要的向心力要由重力和支援力的合力共同來提供。
因此，汽車過凸橋的最大速度為。
模型一：繩拉小球在豎直平面內過最高點的運動。
如圖2所示，小球所受的重力和繩的拉力的合力提供小球所需的向心力，即。
圖2分析：當繩的拉力為零時，只有重力提供小球所需的向心力，即，
1. 當小球的速度，物體所受的重力g已不足以提供物體所需的向心力。不足的部分將由小球所受的繩的拉力來提供，只要不超過繩的承受力，已知物體的速度，就可求出對應的拉力。
2. 當小球的速度，物體所受的重力g剛好提供物體所需的向心力。
3. 當小球的速度，物體所受的重力g大於所需的向心力，此時小球將上不到最高點。
因此，繩拉小球在豎直平面內過最高點時的最小速度為。
例項：翻轉過山車
如圖3所示：由於過山車在軌道最高點所受的力為重力和軌道的支援力，故分析方法與模型一類似。請同學們自己分析一下。
圖3模型二：一輕杆固定一小球在豎直平面內過最高點的運動。
如圖4所示，物體所受的重力和杆對球的彈力的合力提供物體所需的向心力，即
圖4分析：當桿對球的彈力為零時，只有重力提供小球所需的向心力，即
， 1. 當小球的速度，物體所受的重力g已不足以提供物體所需的向心力。不足的部分將由小球所受的杆的拉力來提供。
（此時杆對小球的彈力為向下的拉力，參考圖3）。已知物體的速度，就可求出對應的拉力。
2. 當小球的速度，物體所受的重力g剛好提供物體所需的向心力。
3. 當小球的速度，物體所受的重力g大於所需的向心力，多餘的部分將由杆對小球的支援力來抵消。（此時杆對小球的彈力為向上的支援力）。
4. 當小球的速度，物體所受的重力g等於杆對小球的支援力。
因此，一輕杆固定一小球在豎直平面內過最高點的最小速度為0。
（二）火車轉彎
原型：火車轉彎
如圖5所示，火車在平直的軌道上轉彎，將擠壓外軌，由外軌給火車的彈力提供火車轉彎所需的向心力，這樣久而久之，將損壞外軌。
圖5故火車轉彎處使外軌略高於內軌，火車駛過轉彎處時，鐵軌對火車的支援力fn的方向不再是豎直的，而是斜向彎道的內側，它與重力的合力指向圓心，提供火車轉彎所需的向心力（如圖6所示）。這就減輕了輪緣與外軌的擠壓。
圖6分析：當火車的速度為時，火車所需的向心力全部由重力和支援力的合力來提供，即，。
1. 若火車的速度，將擠壓外軌；
2. 若火車的速度，將擠壓內軌。
模型一：圓錐擺
小球所需的向心力由重力和繩的拉力的合力來提供（如圖7所示）
圖7模型二：小球在漏斗中的轉動
小球所需的向心力由重力和漏斗的支援力的合力來提供（如圖8所示）
圖8四. 勻速圓周運動的多解問題
勻速圓周運動的多解問題常涉及兩個物體的兩種不同的運動，其中乙個做勻速圓周運動，另乙個做其他形式的運動。由於這兩種運動是同時進行的，因此，依據等時性建立等式來解待求量是解答此類問題的基本思路。特別需要提醒同學們注意的是，因勻速圓周運動具有週期性，使得前乙個週期中發生的事件在後乙個週期中同樣可能發生，這就要求我們在表達做勻速圓周運動物體的運動時間時，必須把各種可能都考慮進去，以下幾例運算結果中的自然數「n」正是這一考慮的數學化。
[例1] 如圖1所示，直徑為d的圓筒繞中心軸做勻速圓周運動，槍口發射的子彈速度為v，並沿直徑勻速穿過圓筒。若子彈穿出後在圓筒上只留下乙個彈孔，則圓筒運動的角速度為多少？
圖1解析：子彈穿過圓筒後做勻速直線運動，當它再次到達圓筒壁時，若原來的彈孔也恰好運動到此處。則圓筒上只留下乙個彈孔，在子彈運動位移為d的時間內，圓筒轉過的角度為，其中，即。
解得角速度的值，
[例2] 質點p以o為圓心做半徑為r的勻速圓周運動，如圖2所示，週期為t。當p經過圖中d點時，有一質量為m的另一質點q受到力f的作用從靜止開始做勻加速直線運動。為使p、q兩質點在某時刻的速度相同，則f的大小應滿足什麼條件？
圖2解析：速度相同包括大小相等和方向相同，由質點p的旋轉情況可知，只有當p運動到圓周上的c點時p、q速度方向才相同，即質點p轉過周經歷的時間①
質點p的速率 ②
在同樣的時間內，質點q做勻加速直線運動，速度應達到v，由牛頓第二定律及速度公式得 ③
全冊總複習 圓周運動典型問題剖析
勻速圓周運動典型問題剖析 1.基本概念 公式的理解和運用 例1 關於勻速圓周運動，下列說法正確的是 a.線速度不變 b.角速度不變 c.加速度為零 d.週期不變 例2 在繞豎直軸勻速轉動的圓環上有a b兩點，如圖1所示，過a b的半徑與豎直軸的夾角分別為30 和60 則a b兩點的線速度之比為 向心...
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