課題第三章證明(三)
2. 特殊平行四邊形(一)
教學目標
(一)教學知識點
1.能用綜合法來證明矩形的性質定理和判定定理以及相關結論.
2.能運用矩形的性質定理和判定定理解決實際問題
(二)能力訓練要求
1.經歷探索、猜想、證明的過程,進一步發展推理論證能力.
2.能夠用綜合法證明矩形的性質定理和判定定理以及相關結論.
3.進一步體會證明的必要性以及計算與證明在解決問題中的作用.
(三)情感與價值觀要求
通過學習矩形的性質及判定方法,讓學生用模擬方法體會矩形與平行四邊形的區別與聯絡中,體會特殊與一般的關係,滲透集合的思想,培養學生的辯證唯物主義觀念.
教學重點
能夠運用綜合法證明矩形的性質定理與判定定理及相關結論
教學難點
運用矩形的性質定理和判定定理解決實際問題
教學過程一。 解決問題:
二.回顧與引入
[師]大家想不想解決這個問題呢?想的話,跟著我一起來吧。很顯然這節課的主題是矩形,那它和我們前兩節**的平行四邊形有什麼聯絡與區別嗎?
[生]:矩形是特殊的平行四邊形[師]平行四邊形的定義是什麼?那麼矩形呢?
[生]有乙個角是直角的平行四邊形是矩形;
[師]它既然是平行四邊形,就具有平行四邊形的性質.又因為它是特殊的平行四邊形,所以它又具有各自的獨特性質.
今天我們先來研究矩形的特殊性質.
[師]前面我們已**過矩形的性質,還記得嗎?
[生]矩形的四個角都是直角;矩形的對角線相等.
[師]很好,那你能證明它們嗎?
[生]能.
[師]好,大家先來獨自證明,然後與同伴交流你的證明思路.
[生甲]已知四邊形abcd是矩形.
求證:∠a=∠b=∠c=∠d=90°.
證明:∵四邊形abcd是平行四邊形,
∴∠a=90°,四邊形abcd是.
∴∠a=∠c,∠b=∠d.
∠a+∠d=180°.
∴∠b=∠c:∠d=∠a=90°.
[生乙]已知矩形abcd,求證:ac=db.
證明:在矩形abcd中,
∵∠abc=∠dcb=90°,(矩形的四個角都是直角)
ab=dc,(平行四邊形的對邊相等)
bc=cb,
∴△abc≌dcb.
∴ac=db.
[師]很好,我們證明矩形的第乙個性質時,用到了矩形的定義及平行四邊形的性質;證明第二個性質時,用到了矩形的第乙個性質、平行四邊形的性質及全等三角形.我們通過邏輯推理證得了矩形的這兩個性質,把它們稱為定理.即
定理:矩形的四個角都是直角.
∵矩形abcd,
∴∠a=∠b=∠c=∠d=90°.
定理:矩形的對角線相等.
∵四邊形abcd是矩形,
∴ac=db.
[師]接下來,我們來想一想,議一議.
如圖,設矩形的對角線ac與bd的交點為e,那麼be是rt△abc中一條怎樣的特殊線段?它與ac有什麼大小關係?為什麼?
[生]因為四邊形abcd是矩形,所以四邊形abcd也是平行四邊形.因此,對角線ac與bd互相平分.即ae=ec,be=de.又因為四邊形abcd是矩形,所以ac=bd,因此be= bd=ac.故be是rt△abc的斜邊ac上的中線,它與ac的大小關係為be=ac.
[師]很好,那你能用一句話概括你所得到的結論嗎?
[生]直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半.
[師]這個結論是由矩形的性質得到的,因此我們可以把它稱之為推論.那你能用推理的方法來證明它嗎?
[生]能.
如圖,已知be是rt△abc的斜邊ac上的中線.
求證:be=ac.
分析:要證明這個結論,可構造輔助圖形——矩形,所以可以過點a作bc的平行線,也可以延長be到d,使de=be,然後證明四邊形abcd是矩形.再利用「矩形的對角線相等且互相平分」即可證明結論.
證明:過點a作bc的平行線與be的延長線交於點d,連線cd.(如圖)
則∠dae=∠bce.
∵be是rt△abc的斜邊ac上的中線,
∴ae=ec.
又∵∠aed=∠ceb,
∴△aed≌△ceb.
∴ad=bc.
∵ad//bc.∠abc=90°,
∴四邊形abcd是矩形.
∴ac=bd,be=ed=bd.
∴be=ac.
[師]我們通過推理進一步得證了這個結論是正確的.那麼我們以後就可直接應用了.
∵be是rt△abc的ac上的中線,
∴be=ac.
那這個定理能反過來嗎?
如果乙個三角形一邊上的中線等於這邊的一半,那麼這個三角形是直角三角形.在家能證明嗎?已知be是△abc的斜邊ac上的中線.且be=ac.
求證:△abc是rt△
(學生證明)
下面我們來通過乙個例題進一步熟悉掌握矩形的性質
[例題]如圖,矩形abcd的兩條對角線相交於點o,已知∠aod=120°,ab=2.5 cm.求矩形對角線的長.
分析:欲求對角線的長,由於∠bad=90°或∠abc=90°,ab=4 cm,則只要再找出rt△abd中一條直角邊或乙個銳角的度數,再從已知條件∠aod=120°出發,應用矩形的性質可知
∠adb=30°,這樣即可求出對角線的長.
解:∵四邊形abcd是矩形,
∴ac=bd,且oa=oc=ac,
ob=od=bd,(矩形的對角線相等且互相平分)
∴oa=od.
∵∠aod=120°,
∴∠oad=∠oda==30°.
∵∠dab=90°.(矩形的四個角都是直角)
∴bd=2ab=2×2.5=5(cm).[**:學。科。網]
故這個矩形的對角線的長為5 cm.
[師]同學們來想一想,還有沒有其他的方法來解這個題呢?
[師]小明認為,這個題還可以這樣想:
∠aod=120°→∠aob=60°→oa=ob=ab→ac=20a=2×2.5=5(cm).
[師]你能幫小明寫出完整的解題過程嗎?
[生]解:∵四邊形abcd是矩形,
∴ac=bd,且oa=oc=ac,
ob=od=bd.(矩形的對角線相等且互相平分)
∴oa=ob.
∵∠aod=120°,
∴aob=60°.
∴oa=ob=ab.
∴ac=2oa=2×2.5=5(cm).
[師]已知乙個四邊形是矩形,那麼就會得到一些相應的性質,如果要判定乙個四邊形是矩形,那除了根據定義判定外,還有沒有其他的方法呢?
下面我們通過做練習來證明矩形的判定定理.
定理:有三個角是直角的四邊形是矩形
已知:四邊形abcd中,∠a=∠b=∠c=90.求證:四邊形abcd是矩形
定理:對角線相等的平行四邊形是矩形
已知:平行四邊形abcd的對角線ac=bd
求證:平行四邊形abcd是矩形
(學生證明並投放)
證明之後,回到我們最初的問題上,如何驗證四邊形是矩形呢?
1. 先量得兩組對邊是否相等,肯定是否為平行四邊行,然後再量對角線長,看能否滿足勾股定理
2. 先量得兩組對邊是否相等,肯定是否為平行四邊行,再量得兩條對角線是否相等
3. 對角線是否相等且相互平分
二.課時小結
我們這節課主要研究了矩形的性質,現在來歸納:
對邊平行且相等
1.矩形四個角都是直角
對角線互相平分且相等
2.直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半.
乙個角是直角的平行四邊形
3.有三個角是直角的四邊形是矩形
對角線相等的平行四邊形
三.聯絡拓展
四.作業1,2
板書設計
2. 特殊平行四邊形(一)
1.定理:矩形的四個角都是直角.
定理:矩形的對角線相等.
證明:2.議一議:
推論:直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半.
4.例題:
備課資料
[例]摺疊矩形紙片abcd,先折出摺痕bd,再摺疊使ad邊與對角線bd重合,得摺痕dg,如圖,若ab=2,bc=1,求ag.
分析:摺疊性問題主要是要明確摺疊後的對稱關係,從中找出相等的條件.才能把未知逐漸轉化為已知.本題由題意可知ge=ag,de=ad=1.因為摺疊後出現了直角,所以利用勾股定理即可求出ag.
解:由題意知ge=ag,de=ad=1,
∵ab=2,bc=1,
∴bd=
∴be= -1. 設ag為x,則gb=2-x. 在rt△geb中,gb2=be2+ge2,
(2-x)2=(-1)2+x2.
解得x=
因而ag的長為
平行四邊形及特殊平行四邊形
一 平行四邊形 知識梳理 1 掌握平行四邊形的概念和性質 2 四邊形的不穩定性 3 掌握平行四邊形有關性質和四邊形是平行四邊形的條件 4 能用平行四邊形的相關性質和判定進行簡單的邏輯推理證明 例題精講 例題1.下列命題中錯誤的是 a 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 b 對角線相等的平行四邊形是...
特殊平行四邊形教案
注 此表用作每次課的教學設計方案 要點 考點聚焦 一 幾種特殊平行四邊形的性質邊角對角線 二 幾種特殊平行四邊形的常用判定方法 1.矩形 1 有三個角是直角 2 是平行四邊形,並且有乙個角是直角 3 是平行四邊形,並且兩條對角線相等 2.菱形 1 四條邊相等 2 是平行四邊形,並且有一組鄰邊相等 3...
特殊平行四邊形教案
教學目標 1.通過學生手抄報的製作 展示 評價,對本章知識進行梳理,並形成知識體系。2.針對學生在本章當中的困惑,進行有針對性的學習,總結方法,積累經驗。3.啟發學生認識到解決平行線 三角形 軸對稱 平行四邊形 特殊平行四邊形問題的關鍵是等線段和等角。4.通過對學生作品的使用及評價,提高學生自信和學...