《結構動力學》習題答案1~15
1． 1簡述求多自由度體系時程反應的振型疊加法的主要步驟
答1）建立多自由度體系的運動方程
2）進行振型和頻率分析
對無阻尼自由振動，這個矩陣方程能歸結為特徵問題
由此確定振型矩陣和頻率向量
3）求廣義質量和荷載
依次取每乙個振型向量，計算每乙個振型的廣義質量和廣義荷載
4）求非耦合運動方程
用每個振型的廣義質量、廣義力、振型頻率和給定的振型阻尼比就能寫出每乙個振型的運動方程
5）求對荷載的振型反應
根據荷載型別，用適當的方法解這些單自由度方程，每乙個振型的一般動力反應表示式用積分給出
寫出標準積分形式
式中6）振型自由振動
每乙個振型有阻尼自由振動反應的通式為
7）求在幾何座標中的位移反應
通過正規座標變換求幾何座標表示的位移式
顯然，它反映了各個振型貢獻的疊加。因此命名為振型疊加法。
8）彈性力反應
抵抗結構變形的彈性力
當頻率、振型從柔度形式的特徵方程中求出時，可以採用另一種彈性力的表示式。按振型的貢獻寫出式
用矩陣表示
1． 2簡述振型疊加發與逐步積分法各自的優點及應用範圍。
答：1）振型疊加法只能用於線性系統。
其優點是：對多自由度體系，只需考慮少數幾個振型或引申的向量就是對動力反應進行恰當的估計。
2）逐步積分法可適用於線性或非線性系統
非線性分析可近似為一系列依次變化的線性體系進行分析，為了避免在自由度很多的體系中對於系統特徵向量的大量計算，用直接積分法比用振型疊加法更好一些，困難是必須直接定義阻尼矩陣，而不用振型阻尼比
。3．橋梁工程中常用橋梁某一方向的基頻來評價橋梁在這個方向的剛度。試從振型廣義質量與廣義剛度的關係來說明之。（可以橫向剛度為例）
解：以圖示典型剛體集合為例，其運動方程為
其中ei(x)xl
若不考慮阻尼，用廣義質量廣義剛度表示的振動頻率為
若設型函式，均勻質量，均勻剛度。
當n=1, ,且是最小頻（基頻）。
顯然，基頻即反映了橋梁的剛度，而且此時用rayleigh法計算也十分方便。
4．設某多自由度體系的[k],[m]陣已知，並已求出該系統體系的前m階頻率與振型｛｝。試問如何驗證已求出的與｛｝的正確，給出有關驗算式並說明
解：（利用振型正交性驗算）
對頻率採用下式驗算
＝0 ＝k-,
另外各振型之間還必須對質量矩陣[m]和剛度矩陣[k]滿足正交性
即 [m]=0 [k]=0
用無量綱振型向量表示為： [m]＝0
[k]＝0
5．試證明矩陣疊代法求體系自振特性的疊代過程收斂於體系的基本頻率和振型a1
證明：對n個自由度體系，任意的假設振型u0可看作各振型的線性組合（振型疊代法已經說明），即
u0ai為體系的第i個振型, ci為係數)
設體系的所有特徵值各不相同， 則
第一次疊代後 a1u1 sai= （
第二次疊代後
同理第k次疊代後
顯然，雖著迭代次數的增加，對應於得項愈來愈為主要項（因最大），因此， 將愈來愈接近於（即收斂於）基本振型。
6．設保守體系的動能t和勢能v分別為， ，試由座標變換及第二類拉格朗日方程演證體系自由振動為其n個主振動的疊加。並說明：什麼是正規座標？什麼是主振動？體系有幾個自由度。
證明：又題設知
式中：且,均為對稱陣
對作線性變換：，
這裡則式（1）變為
其中因，均為對稱陣，故，的轉置矩陣為
，所以，，也為對稱陣。
則用適當的滿秩線性變換，，可將
，為平方和
式中： ，
為簡化在作滿秩線性變換
代入（6）得
這裡，。新座標使動勢能變換為上式平方和，這樣的座標稱為體系的正規座標。由乙個正規座標的變換所確定的體系振動，叫主振動。體系有個自由度。
綜上所述，座標變換為新座標
式 （7）代入拉格朗日方程後得
其解為 ，， 由初始條件定， 。
因正規座標的變化互不相關的，若使，則，
則體系的振動位移
上式說明廣義座標以及由它們所確定的體系各點的位移都按同樣的諧振規律變化，具有一樣的自振頻率。
在一般情況下，個自由度由個頻率，由個獨立得主諧振動，每個主諧振動對應有一定的頻率及乙個變為的正規座標，根據式（8），體系在一般情況下自由微振動座標為
可見，個自由度體系在其穩定平衡位置附近的自由振動是個主諧振動的線性和（迭加）。
7. 設在建築物基礎與地面間安置彈簧隔層，彈簧剛度係數為k，粘滯阻尼係數為c，**引起的地面豎向運動為，建築物總質量為m，如圖所示。試求**引起的建築物豎向穩態振幅。
8.構造乙個合適的形狀函式，用rayleigh法計算等截面均質兩端固支梁的基頻近似值。
解：設梁的形狀函式為正弦曲線
則應變能最大值
最大動能
由得9．單自由度體系在已知荷載作用下的振動方程是
令， (1) 匯出動力放大係數d的表示式。
(2) 共振反應峰值的精確表示式與近似計算式。
解：（1）.若暫不考慮外力，則振動方程的有阻尼自由振動反應為
對應題目所給荷載，其特解為
因阻尼體系的反應一般並不與荷載同相，因此式中必須包括第二項，將式（3）代入式（1），並把的因子分離出來得
（這裡，）
整理的要是上式成立，只有
用去除上式，並引入得
即聯立求解的反應振幅係數
將代回特解，並與補解聯合得通解
上式第一項表示瞬態反應，第二項為荷載作用下得穩態反應，將它用向量表示，則有
其中為穩態反應振幅，
動力放大係數現，與，的變化有關，
（當時， ）
(2). 當時，結構將發生共振。
此時近似峰值）
對有阻尼體系來說，它並不是最大反應，式（9）對求導，並令其為0，
可得此時，反應峰值的精確放大係數為
精確峰值為
為阻尼自振頻率。
10. 如圖表示乙個無阻尼彈簧質量系統，
1) 取3個質量各自偏離平衡位置的位移為廣義座標，用任一種方法求出系統的質量矩陣與剛度矩陣；
2) 驗證是該系統的固有圓頻率(單位，rad/s)
3) 求出各固有頻率對應的主振型向量；
4) 驗證各振型之間的對質量矩陣與剛度矩陣的正交性；
5) 按廣義質量等於1的條件將主振型化為正則振型；
6) 如改變廣義座標的取法(例如，取為質量2相對於質量1的位移，等等)，系統的固有頻率是否會改變？系統的主振型向量是否有變化？如有變化，其物理意義如何？
解：1）用剛度整合法求
體系運動方程為
其中2).由運動方程得頻率方程為
則將代入上式得
滿足要求，故為其固有圓頻率，同理可證。
3）.對第一振型
13. 如圖所示常量軸心壓力作用的壓桿的中點固連一重量為的質體c，桿件兩端簡支，單位長度質量為，在鉛垂平面內的彎曲剛度為，座標布置如圖。試由勢能駐值原理，建立該壓桿在鉛垂平面內自振動的基本圓頻率計算式。
計算時可設:.
解： 由題設得
總勢能將代入， 則有上式
14．已知保守體系微振動動能t和勢能v的計算式分別為
; v =
上式中，，
試由座標q的線性變換，演證n個自由度體系的自由微振動為n個主諧振動的線性和。
證明：對作線性變換，
這裡則動、勢能變為
其中因，均為對稱陣，故，的轉置矩陣為
故，，也為對稱陣。
適當選取矩陣，可使矩陣的非對角線元素為0，則可將，為
平方和為簡化取
代入（3）得
經上述變換，座標變換為新座標
將式 （4）代入拉格朗日方程後得
其解為因正規座標的變化互不相關的，若使，則，
則體系的振動位移
上式說明廣義座標以及由它們所確定的體系各點的位移都按同樣的諧振規律變化，具有一樣的自振頻率。
一般情況下，個自由度由個頻率，由個獨立得主諧振動，每個主諧振動對應有一定的頻率及乙個變為的正規座標，根據式（5），體系在一般情況下自由微振動座標為
可見，其自由振動為個主諧振動迭加。
15．如圖簡支梁在靜止狀態受到階躍荷載作用後在鉛垂平面內振動。梁單位長度質量為，豎向彎曲剛度為ei。忽略阻尼。試由勢能駐值原理，計算該梁豎向振動響應v(x,t)。計算時可設
(x,t) = =
解：設梁的豎向振動位移為廣義座標。
由題設得
，總勢能慣性勢能） （應變能） （外力勢能）
結構動力學試卷
試卷號 pb060032 一 本大題15分 圖示體系 不計杆質量 試求其自振頻率 二 本大題15分 求圖示體系支座彎矩的最大值 荷載 三 本大題20分 求圖示體系的自振頻率和主振型 並作出振型圖 已知 ei 常數 四 本大題20分 試作圖示體系的動力彎矩圖。柱高均為，柱剛度常數 五 本大題30分 求...
結構動力學心得
結構動力學學習 總結通過對本課程的學習，感受頗深。我談一下自己對這門課的理解 一 結構動力學的基本概念和研究內容 隨著經濟的飛速發展，工程界對結構系統進行動力分析的要求日益提高。我國是個多 的國家，保證多荷載作用下結構的安全 經濟適用，是我們結構工程專業人員的基本任務。結構動力學研究結構系統在動力荷...
結構動力學總結
動力特性 天生就有的，爹媽給的，不隨外界任何事物改變 自振頻率 初速度或初位移引起自由振動的圓頻率 振型 結構按照某自振頻率振動的位移形態 阻尼 振動過程中的能量耗散 主要由結構內部的特徵決定的 動力作用 週期荷載 衝擊荷載 隨機荷載 動力反應 響應 動內力 動荷載 速度 加速度 結構動力學是研究動...