本章要點
1、測量誤差概念（重點）
2、評定精度的標準（重點）
3、誤差傳播定律（重點）
4、等精度直接觀測平差（難點）
在測量工作中,當對某一未知量進行多次觀測,不論測量儀器多麼精密,觀測進行的多麼仔細,所得的觀測值之間總是不盡相同。這種差異就是測量中存在誤差的緣故。
§5-1 測量誤差概述
一、測量誤差及其**
誤差存在的現象:觀測值與理論值不符，如高差閉合差fh。
測量誤差：觀測值與相應真值之差。
觀測值: 測量所獲得的數值。
真誤差(△)關係式：真誤差 =觀測值l –真值x ，
即 = l – x或= x – l
觀測誤差**：**於以下三個方面：
1）觀測者的視覺器官的鑑別能力和技術水平；
2）儀器；
3）工具的精密程度；觀測時外界條件的好壞。
l、觀測條件
觀測條件：觀測者的技術水平、儀器的精度和外界條件的變化這三個方面綜合起來稱為觀測條件。
2、觀測條件與觀測成果精度的關係：
1）若觀測條件好，則測量誤差小，測量的精度就高；
2）若觀測條件不好，則測量誤差大，精度就低；
3）若觀測條件相同，則可認為觀測精度相同。
3、等精度觀測：在相同觀測條件下進行的一系列觀測。
不等精度觀測:在不同觀測條件下進行的一系列觀測。
4、研究誤差理論的目的：
由於在測量的結果中有誤差是不可避免的，研究誤差理論不是為了去消滅誤差，而是要對誤差**、性質及其產生和傳播的規律進行研究，以便解決測量工作中遇到的一些實際問題。
5、研究誤差理論所解決的問題：
（1）在一系列的觀測值中，確定觀測量的最可靠值；
（2）如何來評定測量成果的精度，以及如何確定誤差的限度等；
（3）根據精度要求，確定測量方案（選用測量儀器和確定測量方法）。
5.1.2、 測量誤差的分類
測量誤差按其性質可分為：系統誤差；偶然誤差。
一、系統誤差
1、系統誤差：在相同的觀測條件下，對某一未知量進行一
系列觀測，若誤差的大小和符號保持不變，或按照一定的規律變化，這種誤差稱為系統誤差。
2、系統誤差產生的原因：儀器工具上的某些缺陷；觀測者
的某些習慣的影響；外界環境的影響。
3、系統誤差的特點：具有累積性，對測量結果影響較大，
應盡量設法消除或減弱它對測量成果的影響。
例：水準測量中ll//cc產生的i角誤差對尺讀數的影響：
即 = a – a = s tgi
隨著s 的增長而加大----系統誤差
系統誤差對觀測值的準確度（偏離真值的程度）影響很大，必須消除。
4、系統誤差消減方法
1）在觀測方法和觀測程式上採取一定的措施;
例：前後視距相等——水準測量中i角誤差對h的影響、地球氣差對h的影響及調焦所產生的影響。
盤左盤右取均值——經緯儀的cc不垂直於hh；hh不垂直於vv；度盤偏心差、豎盤指標差對測角的影響。
水準測量往返觀測取均值——儀器和尺墊下沉對h的影響。
2）找出產生的原因和規律，對測量結果加改正數。
例：光電測距中的氣象、加常數、乘常數與傾斜改正數等。
3）仔細檢校儀器。
例：經緯儀的ll不垂直於vv對測角的影響。
二、偶然誤差
1、偶然誤差：在相同的觀測條件下，對某一未知量進行一系列觀測，如果觀測誤差的大小和符號沒有明顯的規律性，即從表面上看，誤差的大小和符號均呈現偶然性，這種誤差稱為 ～。
2、產生偶然誤差的原因： 主要是由於儀器或人的感覺器官能力的限制，如觀測者的估讀誤差、照准誤差等，以及環境中不能控制的因素(如不斷變化著的溫度、風力等外界環境)所造成。
3、偶然誤差的規律：偶然誤差在測量過程中是不可避免的，從單個誤差來看，其大小和符號沒有一定的規律性，但對大量的偶然誤差進行統計分析，就能發現在觀測值內部卻隱藏著統計規律。
偶然誤差就單個而言具有隨機性，但在總體上具有一定的統計規律，是服從於正態分佈的隨機變數。
三、偶然誤差分布的表示方法
1、**法
2、直方圖法
3、誤差概率分布曲線----正態分佈曲線
1、**法
例如：在相同觀測條件下觀測了217個三角形
（見圖5-j1）的內角，每乙個三角形內角和的
真誤差為三內角觀測值的和減去180°，
即：δ=α+β+γ-180°。
將所有三角形內角和的誤差範圍分成若干小的區間d△（如表5-1中的3″）；
統計出每乙個小區間出現的誤差個數k及頻率，
頻率 = 個數k/總數n（n=217），得出統計表。
表5-1 三角形內角和真誤差統計表
從表5-1中可以看出，該組誤差的分布表現出如下規律：
1）小誤差出現的個數比大誤差多；
2）絕對值相等的正、負誤差出現的個數和頻率大致相等；
3）最大誤差不超過27″。
2、直方圖法
橫座標—以偶然誤差為橫座標，縱座標—以頻率 d△(頻率/組距)為縱座標，在每乙個區間上根據相應的縱座標值畫出一矩形，各矩形的面積 = 誤差出現在該區間的頻率(k n )，所有區間的矩形構成了直方圖，如圖5-1所示統計表和直方圖是偶然誤差的實際分布。3、誤差概率分布曲線----正態分佈曲線。
3、誤差概率分布曲線
當直方圖中：n →∞，d△各區間的頻率也就趨於乙個完全確定的數值——概率。若d△ → 0時，則直方圖成為誤差概率曲線——正態分佈曲線。它服從於正態分佈。
正態分佈曲線的方程式為：
式中：△為偶然誤差；σ（>0）稱為標準差，是與觀測條件有關的乙個引數。它的大小可以反映觀測精度的高低。
四、偶然誤差的四個特性
1、有限性：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值；
2、集中性：即絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現的概率大；
3、對稱性：絕對值相等的正誤差和負誤差出現的概率相同；
4、抵償性：當觀測次數無限增多時，偶然誤差的算術平均值趨近於零。即:
在數理統計中，(5-5)式也稱偶然誤差的數學期望為零，用公式表示： e(△)=0.
上式是兩誤差分布曲線的峰值。其中曲線ⅰ的峰值較曲線ⅱ的高，即σ1<σ2 ，故第ⅰ組觀測的小誤差出現的概率較第ⅱ組的大。由於誤差分布曲線到橫座標軸之間的面積恆等於1，所以當小誤差出現的概率較大時，大誤差出現的概率必然要小。
曲線i表現為較陡峭，即分布比較集中，或稱離散度較小，因而觀測精度較高。曲線ii相對來說較為平緩，即離散度較大，因而觀測精度較低。
六、錯誤
1、測量成果中除了系統誤差和偶然誤差以外，還可能出現錯誤（有時也稱之為粗差）。
2、錯誤產生的原因較多，可能由作業人員疏忽大意、失職而引起，如大數讀錯、讀數被記錄員記錯、照錯了目標等；也可能是儀器自身或受外界干擾發生故障引起；還有可能是容許誤差取值過小造成的。錯誤對觀測成果的影響極大，所以在測量成果中絕對不允許有錯誤存在。
3、發現錯誤的方法：進行必要的重複觀測，通過多餘觀測條件，進行檢核驗算；嚴格按照國家有關部門制定的各種測量規範進行作業等。
七、誤差理論研究的主要物件——偶然誤差
在測量的成果中：錯誤可以發現並剔除，系統誤差能夠加以改正，偶然誤差是不可避免的，它在測量成果中佔主導地位，測量誤差理論主要是處理偶然誤差的影響。
§5-2 評定精度的指標
一、精度——是指一組觀測值的密集與離散程度，也可說是一組觀測值的誤差的密集與離散程度。
例:對a邊三次丈量值為56.882, 56.
885, 56.884 後對a邊丈量了三次為56.882, 56.
883, 56.883，可以看出：前者離散度大,精度低;後者離散度小，精度高。
但為了準確評定觀測結果的精度，需要有一些確定的指標。
二、評定精度的指標:中誤差、相對誤差、極限誤差和容許誤差
1、中誤差
式（5-3）定義的標準差是衡量精度的一種指標，是理論上的表示式。在測量實踐中觀測次數不可能無限多，因此實際應用中，以有限次觀測個數n計算出標準差的估值定義為中誤差m，作為衡量精度的一種標準，計算公式為：
注意：在一組同精度的觀測值中，儘管各觀測值的真誤差出現的大小和符號各異，而觀測值的中誤差卻是相同的，因為中誤差反映觀測的精度：只要觀測條件相同，則中誤差不變中誤差代表的是一組觀測值的誤差分布。
【例5-1】
有甲、乙兩組各自用相同的條件觀測了六個三角形的內角，得三角形的閉合差（即三角形內角和的真誤差）分別為：
甲：+3″、+1″、-2″、-1″、0″、-3″；
乙：+6″、-5″、+1″、-4″、-3″、+5″。
試分析兩組的觀測精度。
【 解 】用中誤差公式（5-6）計算得：
從上述兩組結果中可以看出，甲組的中誤差較小（2.0），所以觀測精度高於乙組（ 4.3）。
而直接從觀測誤差的分布來看，也可看出甲組觀測的小誤差比較集中，離散度較小，因而觀測精度高於乙組。在測量工作中，普遍採用中誤差來評定測量成果的精度。
2、相對誤差
絕對誤差：有符號，並且有與觀測值相同的單位的誤差，被稱為絕對誤差。（如真誤差和中誤差）用於衡量其誤差與觀測值大小無關的觀測值的精度。（如角度、方向等）
相對誤差：在某些測量工作中，絕對誤差不能完全反映出觀測的質量。
相對誤差「k 」—— 等於誤差的絕對值與相應觀測值的比值。它是乙個不名數，常用分子為1的分式表示，即：
相對中誤差：當誤差的絕對值為中誤差m 的絕對值時，k稱為～ 。
相對較差：在距離測量中還常用往返測量結果的
相對較差來進行檢核。
相對較差定義為：
相對較差是相對真誤差，它反映的只是往返測的符合程度，顯然，相對較差愈小，觀測結果愈可靠。
三、極限誤差和容許誤差
1．極限誤差
l 在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。這個限值就是極限誤差。
在一組等精度觀測值中， （ —中誤差）
絕對值大於的偶然誤差，其出現的概率為31.7%；
絕對值大於2 的偶然誤差，其出現的概率為4.5%；
第五章心理測量學知識
第一單元測量與測量量表 一 什麼是測量 測量就是依據一定的法則用數字對事物加以確定。該定義的三個元素 事物 數字 法則 所謂 法則 是測量所依據的規則和方法。心理測量的法則 心理學理論 二 測量要素 1.參照點 計算的起點。絕對零點 輕重 長度 相對零點 海拔高度 溫度 2.單位 單位是測量的基本要...
測量誤差的基本知識
測量工作中，儘管觀測者按照規定的操作要求認真進行觀測，但在同一量的各觀測值之間，或在各觀測值與其理論值之間仍存在差異。例如，對某一三角形的三個內角進行觀測，其和不等於180 又如所測閉合水準路線的高差閉合差不等於零等，這說明觀測值中包含有觀測誤差。研究測量誤差的 性質及其產生和傳播的規律，就可以採取...
5第五章心理測量學知識
第一節一 測量 就是依據一定的法則用數字對事物加以確定。測量三元素 1 事物 2 數字 具有自然數的特點 1 區分性 2 序列或等級性 3 等距性 4 可加性。3 法則 測量的要素 一 參照點 為計算事物的量而設定的計算的起點。1 絕對零點 2 相對零點 二 單位 1 要有明確的意義 2 要有相同的...