測量工作中，儘管觀測者按照規定的操作要求認真進行觀測，但在同一量的各觀測值之間，或在各觀測值與其理論值之間仍存在差異。例如，對某一三角形的三個內角進行觀測，其和不等於180°；又如所測閉合水準路線的高差閉合差不等於零等，這說明觀測值中包含有觀測誤差。研究測量誤差的**、性質及其產生和傳播的規律，就可以採取各種措施消除或減小其誤差影響，是測量工作者的一項主要任務。
將解決測量工作中遇到的實際問題而建立起來的概念和原理的體系稱為測量誤差理論。
第一節測量誤差的**及分類
一、觀測誤差產生的原因主要有以下三個方面
1．觀測者
由於觀測者感覺器官鑑別能力有一定的侷限性，在儀器安置、照准、整平、讀數等方面都產生誤差。同時觀測者的技術水平、工作態度及狀態都對測量成果的質量有直接影響。
2．測量儀器
每種儀器有一定限度的精密程度，因而觀測值的精確度也必然受到一定的限度。同時儀器本身在設計、製造、安裝、校正等方面也存在一定的誤差，如鋼尺的刻劃誤差、度盤的偏心等。
3．外界條件
觀測時所處的外界條件，如溫度、濕度、大氣折光等因素都會對觀測結果產生一定的影響。外界條件發生變化，觀測成果將隨之變化。
上述三方面的因素是引起觀測誤差的主要**，因此把這三方面因素綜合起來稱為觀測條件。觀測條件的好壞與觀測成果的質量有著密切的聯絡，觀測條件相同的各次觀測，稱為等精度觀測；觀測條件不同的各次觀測，稱為非等精度觀測。
二、測量誤差的分類
觀測誤差按其對觀測成果的影響性質，可分為系統誤差和偶然誤差兩種。
（一）系統誤差
在相同的觀測條件下，對某量作一系列的觀測，若誤差出現的大小保持為常數，符號相同，或按一定的規律變化，那麼這類誤差稱為系統誤差。例如，用一把名義為30m長、而實際長度為30.02m的鋼尺丈量距離，每量一尺段就要少量2cm，該2cm誤差在數值上和符號上都是固定的，且隨著尺段的倍數呈累積性。
系統誤差對測量成果影響較大，且一般具有累積性，應盡可能消除或限制到最小程度，其常用的處理方法有：
1．檢校儀器，把系統誤差降低到最小程度。
2．加改正數，在觀測結果中加入系統誤差改正數，如尺長改正等。
3．採用適當的觀測方法，使系統誤差相互抵消或減弱，如測水平角時採用盤左、盤右現在每個測回起始方向上改變度盤的配置等。
（二）偶然誤差
在相同的觀測條件下，對某量作一系列的觀測，若誤差在符號和大小都沒有表現出一致的傾向，即從單個誤差來看，該誤差的大小及符號沒有規律，但從大量誤差的總體來看，具有一定的統計規律，這類誤差稱為偶然誤差或隨機誤差。例如用經緯儀測角時，測角誤差實際上是許多微小誤差項的總和，而每項微小誤差隨著偶然因素影響不斷變化，因而測角誤差也表現出偶然性。對同一角度的若干次觀測，其值不盡相同，觀測結果中不可避免地存在著偶然誤差的影響。
除上述兩類誤差之外，還可能發生錯誤，也稱粗差，如讀錯、記錯等。這主要是由於粗心大意而引起。一般粗差值大大超過系統誤差或偶然誤差。
粗差不屬於誤差範疇，不僅大大影內測量成果的可靠性，甚至造成返工。因此必須採取適當的方法和措施，杜絕錯誤發生。
（三）偶然誤差特性
偶然誤差是由多種因素綜合影響產生的，觀測結果中不可避免地存在偶然誤差，因而偶然誤差是誤差理論主要研究的物件。由上節知，就單個偶然誤差而言，其大小和符號都沒有規律性，呈現出隨機性，但就其總體而言卻呈現出一定的統計規律性，並且是服從正態分佈的隨機變數。即在相同觀測條件下，大量偶然誤差分布表現出一定的統計規律性。
例如：在相同觀測條件下，觀測了168個三角形的全部內角，三角形內角觀測值之和不等於真值180°，其差值δ稱為真誤差，可由下式計算，式中x表示真值。
5-1）
由上式計算出168個真誤差，按其絕對值的大小和正負，分區間統計相應真誤差的個數，列在表5-1中。
表5-1誤差個性統計表
由上表及大量的觀測統計資料結果表明，偶然誤差具有如下特性：
1．有限性在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度，
2．居中性絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的可能性大，
3．對稱性絕對值相等的正誤差與負誤差出現的機會相等，
4．抵消性當觀測次數無限增多時，偶然誤差的算術平均值趨近於零。即
5-2）
上述第四個特性說明，偶然誤差具有抵償性，它是由第三個特性匯出的。
從圖5-1，圖5-2中看出偶然誤差的分布情況。圖中橫座標表示誤差的大小，縱座標表示各區間誤差出現的頻率除以區間的間隔值。當誤差個數足夠多時，如果將誤差的區間間隔無限縮小，則圖中各長方形頂邊所形成的折線將變成一條光滑的曲線，稱為誤差分布曲線。
在概率論中，把這種誤差分布稱為正態分佈。
掌握了偶然誤差的特性，就能根據帶有偶然誤差的觀測值求出未知量的最可靠值，並衡量其精度。同時，也可應用誤差理論來研究最合理的測量工作方案和觀測方法。
圖5-1 頻率直方圖圖5-2 正態分佈圖
（四）幾個重要概念
1．觀測值：測量的結果
2．誤差：測量（儀器、過程、方法），人，自然條件。
3．真值：也叫理論值（找不到的測量物件理論值）
4．觀測條件：觀測者、測量儀器和觀測時的外界條件是引起觀測誤差的主要因素（觀測條件相同的各次觀測，稱為等精度觀測。觀測條件不同的各次觀測，稱為非等精度觀測）
5．真誤差：觀測值和真值之間的差值
第二節衡量精度的標準
衡量觀測值精度的常用標準有以下幾種
一、中誤差
在等精度觀測列中，各真誤差平方的平均數的平方根，稱為中誤差，也稱均方誤差，即
5-3）
【例】 設有兩組等精度觀測，其真誤差分別為
第一組 -3″、+3″、-1″、-3″、+4″、+2″、-1″、-4″；
第二組 +1″、-5″、-1″、+6″、-4″、0″、+3″、-1″。
試求這兩組觀測值的中誤差。
解： =2.8〞
=3.3〞
比較m1和m2可知，第一組觀測值的精度要比第二組高。
必須指出，在相同的觀測條件下所進行的一組觀測，由於它們對應著同一種誤差分布，因此，對於這一組中的每乙個觀測值，雖然各真誤差彼此並不相等，有的甚至相差很大，但它們的精度均相同，即都為同精度觀測值。
二、極限誤差
在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定限值，這個限值就是容許誤差或稱極限誤差。此限值有多大呢？根據誤差理論和大量的實踐證明，在一系列的同精度觀測誤差中，真誤差絕對值大於中誤差的概率約為32%；大於2倍中誤差的概率約為5%；大於3倍中誤差的概率約為0.
3%。也就是說，大於3倍中誤差的真誤差實際上是不可能出現的。因此，通常以3倍中誤差作為偶然誤差的極限值。
在測量工作中一般取2倍中誤差作為觀測值的容許誤差，即
容=2m5-4）
圖5-3 不同精度的誤差分布曲線
當某觀測值的誤差超過了容許的2倍中誤差時，將認為該觀測值含有粗差，而應捨去不用或重測。
常以兩倍或三倍的中誤差為作為偶然誤差的容許值。
5-5）
三、相對誤差
相對誤差k是中誤差的絕對值與相應觀測值之比。
對於某些觀測結果，有時單靠中誤差還不能完全反映觀測精度的高低。例如，分別丈量了100m和200m兩段距離，中誤差均為±0.02m。
雖然兩者的中誤差相同，但就單位長度而言，兩者精度並不相同，後者顯然優於前者。為了客觀反映實際精度，常採用相對誤差。
觀測值中誤差m的絕對值與相應觀測值s的比值稱為相對中誤差。它是乙個無名數，常用分子為1的分數表示，即
5-6）
上例中前者的相對中誤差為，後者為，表明後者精度高於前者。
與相對誤差對應，真誤差、中誤差、容許誤差都是絕對誤差。
第三節算術平均值及其中誤差
一、算術平均值
設在相同的觀測條件下對某量進行了n次等精度觀測，觀測值為1、2、…、n，其真值為x，真誤差為δ1、δ2、…、δn。算術平均值為
5-7）
觀測值的真誤差公式為
（i=1,2,…,n）
將上式相加後，得
上式等號兩端除以n，得
將式（5-7）代入，得
上式右邊第一項是真誤差的算術平均值。由偶然誤差的第四特性可知，當觀測次數n無限增多時， ，則，即算術平均值就是觀測量的真值。
在實際測量中，觀測次數總是有限的。根據有限個觀測值求出的算術平均值l與其真值僅差一微小量。故算術平均值是觀測量的最可靠值，通常也稱為最或是值（most probable value）。
由於觀測值的真值x一般無法知道，故真誤差δ也無法求得。所以不能直接求觀測值的中誤差，而是利用觀測值的最或是值與各觀測值之差v來計算中誤差，v被稱為改正數，即
5-8）
實際工作中利用改正數計算觀測值中誤差的實用公式稱為白塞爾公式，即
5-9）
二、算術平均值中誤差的計算公式
在求出觀測值的中誤差m後，就可應用誤差傳播定律（見本章第四節）求觀測值算術平均值的中誤差，推導如下：
算術平均值
測量學教案第五章測量誤差的基本知識
本章要點 1 測量誤差概念 重點 2 評定精度的標準 重點 3 誤差傳播定律 重點 4 等精度直接觀測平差 難點 在測量工作中,當對某一未知量進行多次觀測,不論測量儀器多麼精密,觀測進行的多麼仔細,所得的觀測值之間總是不盡相同。這種差異就是測量中存在誤差的緣故。5 1 測量誤差概述 一 測量誤差及其...
第六章測量誤差的基本知識習題課
1 鋼尺量距中，下列幾種情況使量得的結果產生誤差，試分別判定誤差的性質及符號。1 尺長不準確 2 尺不水平 3 估讀不準確 4 尺垂曲 5 尺端偏離直線方向 2 水準測量中，下列幾種情況使得水準尺讀數帶有誤差，試分別判定誤差的性質及符號。1 視准軸與水準軸不平行 2 儀器下沉 3 讀數不正確 4 水...
測量的基本知識
一 誤差的基本知識 1 測量 測量是人們定量認識客觀量值的唯一手段,是人類從事科學研究活動的基礎，沒有測量就沒有科學。我們在進行物理實驗時，不僅要對實驗現象進行定性的觀察，還要對物理量進行定量的研究，這就需要進行針對不同物理量的測量活動。所謂測量就是以確定 被測量物件的 量值為目的的一組操作 被測量...