第九節函式與方程
1．函式的零點
(1)定義：對於函式y＝f(x)(x∈d)，把使f(x)＝0成立的實數x叫做函式y＝f(x)(x∈d)的零點．
(2)函式的零點與相應方程的根、函式的圖象與x軸交點間的關係：
方程f(x)＝0有實數根函式y＝f(x)的圖象與x軸有交點函式y＝f(x)有零點．
(3)函式零點的判定(零點存在性定理)：
如果函式y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，並且有f(a)·f(b)<0，那麼，函式y＝f(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函式y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點的關係
3.二分法
對於在區間[a，b]上連續不斷且f(a)·f(b)<0的函式y＝f(x)，通過不斷地把函式f(x)的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．
課前熱身
1．下列圖象表示的函式中能用二分法求零點的是
2．若函式f(x)＝ax＋b有乙個零點是2，那麼函式g(x)＝bx2－ax的零點是
a．0,2 b．0c．0d．2，－
3．根據**中的資料，可以判定方程ex－x－2＝0的乙個根所在的區間為
a.(－1,0b．(0,1c．(1,2d．(2,3)
4．用二分法求函式y＝f(x)在區間(2,4)上的近似解，驗證f(2)·f(4)<0，給定精確度ε＝0.01，取區間(2,4)的中點x1＝＝3，計算得f(2)·f(x1)<0，則此時零點x0填區間)．
5．已知函式f(x)＝x2＋x＋a在區間(0,1)上有零點，則實數a的取值範圍是________
小結 1.函式的零點不是點：
函式y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數根，也就是函式y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫座標，所以函式的零點是乙個數，而不是乙個點．在寫函式零點時，所寫的一定是乙個數字，而不是乙個座標．
2．對函式零點存在的判斷中，必須強調：
(1)f(x)在[a，b]上連續；(2)f(a)·f(b)<0；(3)在(a，b)內存在零點．這是零點存在的乙個充分條件，但不必要．
3．對於定義域內連續不斷的函式，其相鄰兩個零點之間的所有函式值保持同號．
確定函式零點所在的區間
[例1] 設f(x)＝ex＋x－4，則函式f(x)的零點位於區間
a．(－1,0) b．(0,1c．(1,2d．(2,3)
由題悟法
利用函式零點的存在性定理判斷零點所在的區間時，首先看函式y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是否連續不斷，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函式y＝f(x)在區間(a，b)內必有零點．
以題試法
1．設函式y＝x3與y＝的圖象交點為(x0，y0)，則x0所在的區間是
a．(0,1b．(1,2c．(2,3d．(3,4)
判斷函式零點個數
[例2] (1)函式f(x)＝－的零點的個數為
a．0b．1c．2d．3
(2)已知函式f(x)＝則函式y＝f(f(x))＋1的零點個數是
a．4b．3c．2d．1
由題悟法
判斷函式零點個數的常用方法
(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．
(2)零點存在性定理法：利用定理不僅要判斷函式在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結合函式的圖象與性質(如單調性、奇偶性、週期性、對稱性)才能確定函式有多少個零點．
(3)數形結合法：轉化為兩個函式的圖象的交點個數問題．先畫出兩個函式的圖象，看其交點的個數，其中交點的個數，就是函式零點的個數．
以題試法
2．函式f(x)＝xcos x2在區間[0,4]上的零點個數為
a．4b．5c．6d．7
函式零點的應用
[例3] 已知函式f(x)＝ex－x＋a有零點，則a的取值範圍是________．
若函式變為f(x)＝ln x－2x＋a，其他條件不變，求a的取值範圍．
由題悟法
已知函式有零點(方程有根)求引數取值常用的方法
(1)直接法：直接根據題設條件構建關於引數的不等式，再通過解不等式確定引數範圍．
(2)分離引數法：先將引數分離，轉化成求函式值域問題加以解決．
(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角座標系中，畫出函式的圖象，然後數形結合求解．
以題試法
3．已知函式f(x)滿足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)是偶函式，當x∈[0,1]時，f(x)＝x，若在區間[－1,3]上函式g(x)＝f(x)－kx－k有4個零點，則實數k的取值範圍是______．
拓展 函式零點問題主要有四類：一是判斷函式零點或方程根的個數；二是利用函式零點確定函式解析式；三是確定函式零點或方程根的取值範圍；四是利用函式零點或根的個數求解引數的取值範
圍．解決這些問題主要用數形結合法．
1．函式零點個數的判斷
函式零點的個數即為方程f(x)＝0根的個數，可轉化為函式f(x)的圖象與x軸交點的個數進行判斷，也可轉化為兩個函式圖象的交點個數(如例2(1))．
2．利用函式零點求解函式解析式
由函式的零點利用待定係數法求函式的解析式，求解時要結合函式的圖象．
[典例1] 如圖所示為f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的圖象，則x＋x的值是
ab.cd.
3．零點取值範圍的確定
函式零點的取值範圍，即為方程f(x)＝0的根的取值範圍，主要利用零點存在性定理解決，可結合函式的圖象和性質，根據圖象上的一些特殊點靈活處理(如本節例1)．
4．由零點個數確定引數的取值範圍
根據函式零點的個數確定函式解析式中引數的取值範圍，主要利用數形結合的方法，根據函式的極值與區間的端點值構造引數所滿足的不等式，通過解不等式求解其取值範圍．
[典例2] 已知函式f(x)＝x3－3x2－9x＋3，若函式g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上有3個零點，則m的取值範圍為( )
a．(－24,8b．(－24,1]
c．[1,8d．[1,8)
[題後悟道] 解決此類問題主要依據函式圖象的特徵，利用區間端點處的函式值、函式的極值等構造關於引數的不等式．注意函式在區間的端點值對引數取值範圍的影響．如該題中f(－2)與f(5)這兩個端點值決定著方程g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上的零點個數，若m＝8或－248或m<－24時，則該方程沒有實根．
總之，解決函式零點的有關問題主要利用數形結合的數學思想，利用導數研究函式的有關性質，主要包括函式的單調性與極值以及函式在區間端點處的函式值，然後畫出函式圖象，結合函式圖象的特徵判斷、求解．
函式與方程李政學生
題型一函式零點的判斷 例1 在下列區間中，函式f x ex 4x 3的零點所在的區間為 a 0b 0，cd 例2 判斷下列函式在給定區間上是否存在零點 f x log2 x 2 x，x 1,3 函式f x 2x 3x的零點所在的乙個區間是 a 2，1b 1,0 c 0,1d 1,2 題型二函式零點個...
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1 下列圖象表示的函式中能用二分法求零點的是 2 函式f x ln x 的零點的個數是 a 0個b 1個 c 2個 d 3個 3 下列函式中在區間 1,2 上一定有零點的是 a f x 3x2 4x 5b f x x3 5x 5 c f x mx 3x 6d f x ex 3x 6 4 已知函式y ...
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