錯解剖析得真知（五）
§2.4 函式與方程
一、知識導學
1.函式的零點與方程的根的關係：
一般地，對於函式（）我們稱方程的實數根也叫做函式的零點，即函式的零點就是使函式值為零的自變數的值. 求綜合方程f(x)=g(x)的根或根的個數就是求函式的零點.
2.函式的圖象與方程的根的關係：
一般地，函式（）的圖象與軸交點的橫座標就是的根.綜合方程f(x)=g(x)的根，就是求函式y＝f(x)與y=g(x)的圖象的交點或交點個數，或求方程的圖象與軸交點的橫座標.
3.判斷乙個函式是否有零點的方法：
如果函式在區間[a,b]上圖象是連續不斷的曲線，並且有，那麼，函式在區間（a,b）上至少有乙個零點，即至少存在乙個數使得，這個c也就是方程的乙個根.對於我們學習的簡單函式，可以借助圖象判斷解的個數，或者把寫成，然後借助、的圖象的交點去判斷函式的零點情況.
4. 二次函式、一元二次方程、二次函式圖象之間的關係：
二次函式的零點，就是二次方程的根，也是二次函式的圖象與x軸交點的橫座標.
5. 二分法：
對於區間[a,b]上的連續不斷，且的函式，通過不斷地把函式的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.
二、疑難知識導析
1.關於函式的零點，就是方程的實數根，也就是與函式圖象的交點的橫座標. 要深刻理解，解題中靈活運用.
2.如果二次函式，在閉區間[m,n]上滿足，那麼方程在區間（m,n）上有唯一解，即存在唯一的，使，方程另一解.
3. 二次方程的根在某一區間時，滿足的條件應據具體情形而定.如二次方程＝的根都在區間時
應滿足：
4.用二分法求二次方程的近似解一般步驟是
（1）取乙個區間（）使
（2）取區間的中點，
（3）計算，①若，則就是的解，計算終止；②若，則解位於區間（）中，令；若則解位於區間（）令
（4）取區間是（）的中點，重服第二步、第三驟直到第n步，方程的解總位於區間（）內
（5）當精確到規定的精確度的近似值相等時，那麼這個值就是所求的近似解.
三、經典例題導講
[例1]已知函式若時，≥0恆成立，求的取值範圍.
錯解：（一）恆成立，∴△＝≤0恆成立
解得的取值範圍為
錯解：（二）∵若時，≥0恆成立
∴即解得的取值範圍為
錯因：對二次函式＝當上≥0恆成立時，△≤0
片面理解為，≥0，恆成立時，△≤0 ；或者理解為
這都是由於函式性質掌握得不透徹而導致的錯誤.二次函式最值問題中「軸變區間定」要對對稱軸進行分類討論；「軸定區間變」要對區間進行討論.
正解：設的最小值為
（1）當即＞4時，＝＝7－3≥0，得故此時不存在；
(2) 當即－4≤≤4時，＝3－－≥0，得－6≤≤2
又－4≤≤4，故－4≤≤2；
（3）即＜－4時，＝＝7＋≥0，得≥－7，又＜－4
故－7≤＜－4
綜上，得－7≤≤2
[例2]已知有且只有一根在區間（0,1）內，求的取值範圍.
錯解：設∵有且只有一根在區間（0,1）內
∴得＜－2
錯因：對於一般，若，那麼，函式在區間（a,b）上至少有乙個零點，但不一定唯一.對於二次函式，若則在區間（a,b）上存在唯一的零點，一次函式有同樣的結論成立.
但方程＝0在區間（a,b）上有且只有一根時，不僅是，也有可能.如二次函式圖象是下列這種情況時，就是這種情況.由圖可知＝0在區間（a,b）上有且只有一根，但是
正解：設，（1）當＝0時方程的根為－1，不滿足條件.
（2）當≠0∵有且只有一根在區間（0,1）內
又＝1＞0
∴有兩種可能情形①得＜－2，或者②得不存在。
綜上所得，＜－2。
[例3]已知一次函式與二次函式圖象如圖，其中
的交點與軸、軸的交點分別為a（2，0），b（0，2）；與二次函式的交點為p、q，p、q兩點的縱座標之比為1︰4.（1）求這兩個函式的解析式.（2）解方程：。
（1）錯解：把 a（2，0），b（0，2）兩點座標分別代入一次函式解得
∴一次函式為
設p（1，1），q（，2），則
1︰2＝1︰4
∴︰＝1︰4 ∴1︰2＝1︰2或1︰2＝（－1）︰2
當1︰2＝1︰2時，q點座標為（21，41），把p、q兩點座標分別代入直線方程即得解得
∴p（3，－1），q（6，－4），拋物線方程為
當1︰2＝（－1）︰2時， q點座標為（－21，41）把p、q兩點座標分別代入直線方程即得解得
∴p（1， 1），q（－2， 4），拋物線方程為
錯因：在得到1︰2值之後，要注意題意判斷點的位置關係，多餘的解要捨去，題中q在第二象限，所以不合條件.
正解：（1）拋物線方程為
（2）方法一：由（1）得方程即為
解得1＝－2，2＝1.
方法二：方程的根即為二次函式與一次函式的交點的橫座標.由（1）知它們交點的座標分別為p（1， 1），q（－2， 4），
∴方程的解為1＝－2，2＝1.
[例4]是否存在這樣的實數k，使得關於x的方程
2+（2k－3）－（3k－1）＝0有兩個實數根，且兩根都在0與2之間？如果有，試確定k的取值範圍；如果沒有，試說明理由.
錯解：令那麼由條件得到
即此不等式無解
即不存在滿足條件的k值.
錯因：方程兩根都在0與2之間，根據圖象，可知除滿足上述條件外，還要考慮二次函式的對稱軸在區間（0,2）內.
正解：令那麼由條件得到
即即此不等式無解
即不存在滿足條件的k值.
[例5]已知二次函式對於1、2r，且1＜2時
，求證：方程＝有不等實根，且必有一根屬於區間（1，2）.
解：設f（）＝－，
則方程與方程 f（）＝0等價
∵f（1）＝－＝
f（2）＝－＝
∴ f（1）·f（2）＝－，又
∴f（1）·f（2）＜0
故方程②必有一根在區間（1，2）內.由於拋物線y＝f（）在軸上、下方均有分布，所以此拋物線與軸相交於兩個不同的交點，即方程②有兩個不等的實根，從而方程①有兩個不等的實根，且必有一根屬於區間（1，2）.
點評：本題由於方程是＝，其中因為有表示式，所以解題中有的學生不理解函式圖象與方程的根的聯絡，誤認為證明的圖象與軸相交於兩個不同的點，從而證題中著眼於證＜0，使本題沒法解決. 本題中將問題轉化為f（）＝－的圖象與軸相交於兩個不同的兩點是解題的關健所在.
[例6]試確定方程最小根所在的區間，並使區間兩個端點是兩個連續的整數.
分析：只要建構函式＝，計算的自變數取整數值時的函式值，根據其符號，確定方程根的個數及根的分布.
解：令＝
∵＝－54－9＋12＋2＝－49＜0
＝－16－4＋8＋2＝－10＜0
＝－2－1＋4＋2＝3＞0
＝0－0－0＋2＝2＞0
＝2－1－4＋2＝－1＜0
＝16－4－8＋2＝6＞0
根據·＜0，·＜0，·＜0
可知的零點分別在區間（－2，－1），（0,1），（1,2）內.
因為方程是乙個一元三次方程，所以它最多有三個根，所以原方程的最小根在區間（－2，－1）內.
點評：計算一元高次函式值可借助於計算器來完成，在實數範圍內一元n次方程最多有n個實根，當然本題也可以用因式分解方法來解.
所以＝0有三個根：
[例7]設二次函式方程的兩個根，滿足0.
（1）當時，證明；
（2）設函式的圖象關於直線對稱，證明：
.分析：（1）用作差比較法證明不等式；
（2）函式圖象關於直線對稱，實際直線就是二次函式的對稱軸，即，然後用已知條件證明不等式即可.
證明：（1）依題意，設
當時，由於，∴，又
∴>0即
∵0.∴
∴綜合得
（2）依題意知，又∴∵∴
點評：解決本題的關健有三：一是用作差比較法證明不等式；二是正確選擇二次函式的表示式，即本題選用兩根式表示；三要知道二次函式的圖象關於直線對稱，此直線為二次函式的對稱軸，即
[例8] 已知函式，且方程有實根.
(1)求證：-3(2)若m是方程的乙個實根，判斷的正負並加以證明
分析：（1）題中條件涉及不等關係的有和方程有實根.
及乙個等式，通過適當代換及不等式性質可解得；（2）本小題只要判斷的符號，因而只要研究出值的範圍即可定出符號.
(1)證明：由，得1+2b+c=0,解得，又，
1解得，
又由於方程有實根，即有實根，
故即解得或
∴，由，得≥0.
（2）=
∵，∴c∴c—4∴的符號為正.
點評：二次函式值的符號，可以求出其值判斷，也可以靈活運用二次函式的圖象及性質解題.
四、典型習題導練
1. 方程的實根的個數是（ ）
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3.
2.已知拋物線與軸的兩個交點在（1,0）兩旁，則關於的方程的根的情況是（ ）
ａ.有兩個正數根 b.有兩個負數根
c.有乙個正數根和乙個負數根 d.無實數根
3.若關於的方程在（0,1）內恰有一解，則的取值範圍為（ ）
a. ＜－1 b. ＞1 c. －1＜＜1 d.0＜＜1
4.已知函式的圖象如圖所示，則b的取值範圍是（ ）
a.(-∞,0) b.(0,1) c.(1,2) d.(2,+∞)
5.已知函式對一切實數都有成立，且方程=0恰有6個不同的實根，則這6個根的和是 .
6. 已知在二次函式的解析式中，＝－3，＝－8，且它的兩個零點間的距離等於2，求這個二次函式的解析式.
7. （06年高考浙江卷）設f(x)=3ax,f(0)＞0，f(1)＞0，求證：
(1)a＞0且-2＜＜-1；
(2)方程f(x)=0在（0，1）內有兩個實根.
8.已知二次函式f(x)=ax2+bx+c.
(1)若a>b>c且f(1)=0，證明：f(x)的圖象與x軸相交；
(2)證明：若對x1、x2，且f(x1)f(x2),則方程必有一實根在區間（x1,x2）內；
(3)在（1）的條件下，是否存在實數m，使f(m) = －a成立時,f(m+3)>0.
2011-09-09 人教網
冪函式的錯解剖析
例1 定義在 上的任意函式f x 都可以表示成乙個奇函式g x 與乙個偶函式h x 之和 如果f x lg 10x 1 x 那麼 錯解 直接 就題論題 選擇絕不輕鬆 因為正確的選擇支應具備兩個條件 1 g x h x f x 2 g x 為奇函式，且h x 為偶函式 關於條件 1 容易知道 b c ...
錯解剖析得真知
第六章立體幾何初步 6.1 兩條直線之間的位置關係 一 知識導學 1.平面的基本性質.公理1 如果一條直線上的兩點在乙個平面內，那麼這條直線上所有的點都在這個平面內.公理2 如果兩個平面有乙個公共點，那麼它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線.公理3 經過不在同一條直線上...
錯解剖析得真知
錯解剖析得真知 二十三 7.4軌跡問題 一 知識導學 1.方程的曲線 在平面直角座標系中，如果某曲線c 看作適合某種條件的點的集合或軌跡 上的點與乙個二元方程f x,y 0的實數解建立了如下的關係 1 曲線上的點的座標都是這個方程的解 2 以這個方程的解為座標的點都是曲線上的點.那麼這個方程叫做曲線...