錯解剖析得真知（二十五）
第八章平面向量與空間向量
§8.1平面向量及其運算
一、知識導學
1.模（長度）：向量的大小，記作||。長度為０的向量稱為零向量，長度等於１個單位長度的向量，叫做單位向量。
2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共線向量。
3.相等向量：長度相等且方向相同的向量。
4.相反向量：我們把與向量長度相等，方向相反的向量叫做的相反向量。記作-。
5.向量的加法：求兩個向量和的運算。
已知，。在平面內任取一點，作=，=，則向量叫做與的和。記作+。
6. 向量的減法：求兩個向量差的運算。
已知，。在平面內任取一點o，作=，=，則向量叫做與的差。記作-。
7.實數與向量的積：
（1）定義： 實數λ與向量的積是乙個向量，記作λ，並規定：
①λ的長度
②當λ＞0時，λ的方向與的方向相同；
當λ＜0時，λ的方向與的方向相反；
當λ＝0時，λ=
（2）實數與向量的積的運算律：設λ、μ為實數，則
8.向量共線的充分條件：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有乙個實數λ，使得＝λ。
另外，設=（x1 ,y1）, = (x2,y2)，則//x1y2－x2y1=0
9.平面向量基本定理：
如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任一向量，有且只有一對實數λ1、λ2使 ＝λ1＋λ2 ，其中不共線向量、叫做表示這一平面內所有向量的一組基底。
10.定比分點
設p1，p2是直線l上的兩點，點p是不同於p1，p2的任意一點則存在乙個實數λ,使=λ，λ叫做分有向線段所成的比。若點p1、p、p2的座標分別為(x1，y1)，(x,y)，(x2,y2)，則有
特別當λ=1，即當點p是線段p1p2的中點時，有
11.平面向量的數量積
(1)定義：已知兩個非零向量和，它們的夾角為θ，則數量||||cosθ叫做與的數量積(或內積)，記作·，即·＝||||cosθ
規定：零向量與任一向量的數量積是0。
(2)幾何意義：數量積·等於的長度||與在的方向上的投影||cosθ的乘積。
(3)性質：設，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，θ是與的夾角，則·＝·＝||cosθ ，⊥·＝0
當與同向時，·＝||||
當與反向時，·＝－||||
特別地，·＝||2或||＝
cos(4)運算律：
·＝· (交換律)
（5）平面向量垂直的座標表示的充要條件：
設=（x1 ,y1）, = (x2,y2)，則
·=||·||cos90°=0
x1x2+y1y2=0
12.平移公式：
設p（x，y）是圖形f上的任意一點，它在平移後圖形f/上對應點為p/（x/，y/），且設的座標為（h，k），則由＝＋，得：（x/，y/）＝（x，y）+（h，k）
二、疑難知識導析
1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量「零向量」
向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正數或0，是可以進行大小比較的，由於方向不能比較大小，所以向量是不能比大小的．兩個向量的模相等，方向相同，我們稱這兩個向量相等，兩個零向量是相等的，零向量與任何向量平行，與任何向量都是共線向量；
2．在運用三角形法則和平行四邊形法則求向量的加減法時要注意起點和終點；
3．對於座標形式給出的兩個向量，在運用平行與垂直的充要條件時，一定要區分好兩個公式，切不可混淆。因此，建議在記憶時對比記憶；
4．定比分點公式中則要記清哪個點是分點；還有就是此公式中橫座標和縱座標是分開計算的；
5．平移公式中首先要知道這個公式是點的平移公式，故在使用的過程中須將起始點的座標給出，同時注意順序。
三、經典例題導講
[例1] 和= (3,－4)平行的單位向量是
錯解：因為的模等於5，所以與平行的單位向量就是，即 (，－)
錯因：在求解平行向量時沒有考慮到方向相反的情況。
正解：因為的模等於5，所以與平行的單位向量是，即(，－)或(－，)
點評：平行的情況有方向相同和方向相反兩種。讀者可以自己再求解「和= (3,－4)垂直的單位向量」，結果也應該是兩個。
[例2]已知a（2，1），b（3，2），c（-1，4），若a、b、c是平行四邊形的三個頂點，求第四個頂點d的座標。
錯解：設d的座標為（x，y），則有x-2=-1-3，y-1=4-2 ，即x=-2，y=3。故所求d的座標為（-2，3）。
錯因：思維定勢。習慣上，我們認為平行四邊形的四個頂點是按照abcd的順序。其實，在這個題目中，根本就沒有指出四邊形abcd。因此，還需要分類討論。
正解：設d的座標為（x，y）
當四邊形為平行四邊形abcd時，有x-2=-1-3，y-1= 4-2 ，即x= -2，y= 3。解得d的座標為（-2，3）；
當四邊形為平行四邊形adbc時，有x-2=3-（-1），y-1= 2-4 ，即x= 6，y= -1。解得d的座標為（6，-1）；
當四邊形為平行四邊形abdc時，有x-3=-1-2，y-2= 4-1 ，即x= 0，y= 5。解得d的座標為（0，5）。
故第四個頂點d的座標為（-2，3）或（6，-1）或（0，5）。
[例3]已知p1(3,2)，p2（8，3），若點p在直線p1p2上，且滿足|p1p|=2|pp2|，求點p的座標。
錯解：由|p1p|=2|pp2|得，點p 分p1p2所成的比為2，代入定比分點座標公式得p（）
錯因：對於|p1p|=2|pp2|這個等式，它所包含的不僅是點p為 p1，p2 的內分點這一種情況，還有點p是 p1，p2的外分點。故須分情況討論。
正解：當點p為 p1，p2 的內分點時，p 分p1p2所成的比為2，此時解得p（）；
當點p為 p1，p2 的外分點時，p 分p1p2所成的比為-2，此時解得p（13，4）。
則所求點p的座標為（）或（13，4）。
點評：在運用定比分點座標公式時，要審清題意，注意內外分點的情況。也就是分類討論的數學思想。
[例4] 設向量 ，，，則「」是「」的
a.充分不必要條件b.必要不充分條件
c.充要條件d.既不充分也不必要條件
分析：根據向量的座標運算和充要條件的意義進行演算即可．
解：若，∵，則，代入座標得：，即且 ．消去，得；
反之，若，則且，即
則，∴故「」是「 」的充要條件．
答案：c
點評：本題意在鞏固向量平行的座標表示．
[例5]．已知=（1，-1），=（-1，3），=（3，5），求實數x、y，使=x +y ．
分析：根據向量座標運算和待定係數法，用方程思想求解即可．
解：由題意有
x +y =x（1，-1）+y（-1，3）=（x-y，-x+3y）．
又 =（3，5）
∴x-y=3且-x+3y=5
解之得 x=7 且y=4
點評：在向量的座標運算中經常要用到解方程的方法．
[例6]已知a（-1，2），b（2，8），= ，= -，求點c、d和向量的座標．
分析：待定係數法設定點c、d的座標，再根據向量 ， 和關係進行座標運算，用方程思想解之．
解：設c、d的座標為、，由題意得
=（），=（3，63，-6）
又= ，= -
∴（）=（3，6）， （）=-（-3，-6）
即 ()=(1,2) ， ()=(1,2)
∴且，且
∴ 且 ，且
∴點c、d和向量的座標分別為（0，4）、（-2，0）和（-2，-4）
小結：本題涉及到方程思想，對學生運算能力要求較高．
四、典型習題導練
1. ，則有（ ）
ab.cd.
2.（2023年高考浙江卷）設向量滿足,,則
(a)1b)2c)4d)5
3. 將函式y= 4x－8的圖象l按向量平移到l/，l/的函式表示式為y= 4x，則向量=
4. 從點沿向量方向取線段ab，使，則b點座標為
5. 、是單位向量，的夾角為，以、為鄰邊作平行四邊形。求平行四邊形對角線的長。
6.（2023年高考遼寧卷）已知的三內角所對邊的長分別為設向量,,若,則角的大小為
(abcd)
錯解剖析得真知
第六章立體幾何初步 6.1 兩條直線之間的位置關係 一 知識導學 1.平面的基本性質.公理1 如果一條直線上的兩點在乙個平面內，那麼這條直線上所有的點都在這個平面內.公理2 如果兩個平面有乙個公共點，那麼它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線.公理3 經過不在同一條直線上...
錯解剖析得真知
錯解剖析得真知 二十三 7.4軌跡問題 一 知識導學 1.方程的曲線 在平面直角座標系中，如果某曲線c 看作適合某種條件的點的集合或軌跡 上的點與乙個二元方程f x,y 0的實數解建立了如下的關係 1 曲線上的點的座標都是這個方程的解 2 以這個方程的解為座標的點都是曲線上的點.那麼這個方程叫做曲線...
錯解剖析得真知
5.2簡單的線性規劃 一 知識導學 1.目標函式 是乙個含有兩個變數 和 的函式，稱為目標函式 2.可行域 約束條件所表示的平面區域稱為可行域.3.整點 座標為整數的點叫做整點 4.線性規劃問題 求線性目標函式 性約束條件下的最大值或最小值的問題，通常稱為線性規劃問題 只含有兩個變數的簡單線性規劃問...