5．在有些問題中，還應充分注意到在完成某件事時，具體實踐的可行性.例如：從甲地到乙地 ，要從甲地先乘火車到丙地，再從丙地乘汽車到乙地.
那麼從甲地到乙地共有多少種不同的走法？這個問題中，必須注意到發車時刻，所限時間，答案較多.
三、經典例題導講
[例1]體育場南側有4個大門，北側有3個大門，某學生到該體育場練跑步，則他進出門的方案有 （）
a．12 種 b．7種 c．24種d．49種
錯解：學生進出體育場大門需分兩類，一類從北邊的4個門進，一類從南側的3個門進，由分類計數原理，共有7種方案. ∴選b
錯因:沒有審清題意．本題不僅要考慮從哪個門進，還需考慮從哪個門出，應該用分步計數原理去解題.
正解：學生進門有7種選擇，同樣出門也有7種選擇，由分步計數原理，該學生的進出門方案有7×7＝49種. ∴應選d．
[例2]從1,2，3，…,10中選出3個不同的數，使這三個數構成等差數列，則這樣的數列共有多少個？
錯解：根據構成的等差數列的公差，分為公差為1、2、3、4四類.公差為1時，有8個；公差為2時，首先將數字分成1,3，5,7,9，和2,4，6,8，10兩組，再得到滿足要求的數列共3＋3＝6個；公差為3時，有1,4，7和4,7，10和3,6，9以及2,5，8，共4個；公差為4時，只有1,5，9和2,6，10兩個.
由分類計數原理可知，共構成了不同的等差數列8＋6＋4＋2＝20個.
錯因：上述解答忽略了1,2，3與3,2，1它們是不同的數列， 因而導致考慮問題不全面，從而出現漏解. 這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題．
正解：根據構成的等差數列的公差，分為公差為±1、±2、±3、±4四類.公差為±1時，有8×2＝16個；公差為±2時，滿足要求的數列共6×2＝12個；公差為±3時，有4×2＝8個；公差為±4時，只有2×2＝4個.
由分類計數原理可知，共構成了不同的等差數列16＋12＋8＋4＝40個.
[例3]三張卡片的正反面分別寫有1和2,3和4,5和6，若將三張卡片並列，可得到幾個不同的三位數（6不能作9用）.
解：解法一第一步，選數字.每張卡片有兩個數字供選擇，故選出3個數字，共有＝8種選法.
第二步，排數字.要排好乙個三位數，又要分三步，首先排百位，有3種選擇，由於排出的三位數各位上的數字不可能相同，因而排十位時有2種選擇，排個位只有一種選擇.故能排出3×2×1＝6個不同的三位數.
由分步計數原理，共可得到8×6＝48個不同的三位數.
解法二：第一步，排百位有6種選擇，
第二步，排十位有4種選擇，
第三步，排個位有2種選擇.
根據分步計數原理，共可得到6×4×2＝48個不同的三位數.
注：如果6能當作9用，解法1仍可行.
[例4]集合a＝｛1,2，3,4｝，集合b＝｛－1，－2｝，可建立多少個以a為定義域b為值域的不同函式？
分析：函式是特殊的對映，可建立對映模型解決.
解： 從集合a到集合b的對映共有=16個，只有都與－1，或－2對映的兩個對映不符合題意，故以a為定義域b為值域的不同函式共有16－2＝14個.或
[例5] 用0，1,2，3,4，5這六個數字，
（1）可以組成多少個數字不重複的三位數？
（2）可以組成多少個數字允許重複的三位數？
（3）可以組成多少個數字不重複的三位奇數？
（4）可以組成多少個數字不重複的小於1000的自然數？
（5）可以組成多少個數字不重複的大於3000，小於5421的四位數？
解：（1）分三步：①先選百位數字，由於0不能作為百位數，因此有5種選法；②十位數字有5種選法；③個位數字有4種選法.由分步計數原理知所求三位數共有5×5×4＝100個.
（2）分三步：①先選百位數字，由於0不能作為百位數，因此有5種選法；②十位數字有6種選法；③個位數字有6種選法.由分步計數原理知所求三位數共有5×6×6＝180個.
（3）分三步：①先選個位數字，由於組成的三位數是奇數，因此有3種選法；②再選百位數字有4種選法；③個位數字也有4種選法.由分步計數原理知所求三位數共有3×4×4＝48個.
（4）分三類：①一位數，共有6個；②兩位數，共有5×5＝25個；③三位數，共有5×5×4＝100個.因此，比1000小的自然數共有6＋25＋100＝131個
（5）分四類：①千位數字為3,4之一時，共有2×5×4×3＝120個；②千位數字為5，百位數字為0,1，2,3之一時，共有4×4×3＝48個；③千位數字為5，百位數字是4，十位數字為0,1之一時，共有2×3＝6個；④還有5420也是滿足條件的1個.故所求自然數共120＋48＋6＋1＝175個
評注：排數字問題是最常見的一種題型，要特別注意首位不能排0.
四、典型習題導練
1．將4個不同的小球放入編號為1、2、3的三個不同的盒子中，其中每個盒子都不空的放法共有（ ）
a．種b．種 c．18種 d．36種
2．集合a＝｛1,2，－3｝，b＝｛－1，－2,3，4｝，從a、b中各取1個元素作為佔點p的座標.（1）可以得到多少個不同的點？
（2）在這些點中位於第一象限的點有幾個？
3. 在1,2，3,4，7,9中任取不相同的兩個數，分別作為對數的底數與真數，能得到多少個不同的對數值？
4. 在鏈結正八邊形的三個頂點組成的三角形中，與正八邊形有公共邊的有多少個？
5．某藝術組有9人，每人至少會鋼琴和小號中的一種樂器，其中7人會鋼琴，3人會小號，從中選出會鋼琴與會小號的各1人，有多少種不同的選法？
6. 某地提供a、b、c、d四個企業供育才中學高三年級3個班級進行社會實踐活動，其中a是明星企業，必須有班級去進行社會實踐，每個班級去哪個企業由班級自己在四個企業中任意選擇乙個，則不同的安排社會實踐的方案共有多少種？
錯解剖析得真知
第六章立體幾何初步 6.1 兩條直線之間的位置關係 一 知識導學 1.平面的基本性質.公理1 如果一條直線上的兩點在乙個平面內，那麼這條直線上所有的點都在這個平面內.公理2 如果兩個平面有乙個公共點，那麼它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線.公理3 經過不在同一條直線上...
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錯解剖析得真知 二十三 7.4軌跡問題 一 知識導學 1.方程的曲線 在平面直角座標系中，如果某曲線c 看作適合某種條件的點的集合或軌跡 上的點與乙個二元方程f x,y 0的實數解建立了如下的關係 1 曲線上的點的座標都是這個方程的解 2 以這個方程的解為座標的點都是曲線上的點.那麼這個方程叫做曲線...
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5.2簡單的線性規劃 一 知識導學 1.目標函式 是乙個含有兩個變數 和 的函式，稱為目標函式 2.可行域 約束條件所表示的平面區域稱為可行域.3.整點 座標為整數的點叫做整點 4.線性規劃問題 求線性目標函式 性約束條件下的最大值或最小值的問題，通常稱為線性規劃問題 只含有兩個變數的簡單線性規劃問...