錯解剖析得真知

錯解剖析得真知（三十二）

§10.2導數的應用

一、知識導學

1.可導函式的極值

（1）極值的概念

設函式在點附近有定義，且若對附近的所有的點都有（或），則稱為函式的乙個極大（小）值，稱為極大（小）值點.

（2）求可導函式極值的步驟:

①求導數。求方程的根.②求方程的根.

③檢驗在方程的根的左右的符號，如果在根的左側附近為正，右側附近為負，那麼函式在這個根處取得極大值；如果在根的右側附近為正，左側附近為負，那麼函式在這個根處取得極小值.

2.函式的最大值和最小值

（1）設是定義在區間上的函式，在內有導數，求函式在上的最大值與最小值，可分兩步進行.

①求在內的極值.

②將在各極值點的極值與、比較，其中最大的乙個為最大值，最小的乙個為最小值.

（2）若函式在上單調增加，則為函式的最小值，為函式的最大值；若函式在上單調遞減，則為函式的最大值，為函式的最小值.

二、疑難知識導析

1.在求可導函式的極值時，應注意：（以下將導函式取值為0的點稱為函式的駐點可導函式的極值點一定是它的駐點，注意一定要是可導函式。

例如函式在點處有極小值=0，可是這裡的根本不存在，所以點不是的駐點.

(1) 可導函式的駐點可能是它的極值點，也可能不是極值點。例如函式的導數，在點處有，即點是的駐點，但從在上為增函式可知，點不是的極值點.

(2) 求乙個可導函式的極值時，常常把駐點附近的函式值的討論情況列成**，這樣可使函式在各單調區間的增減情況一目了然.

(3) 在求實際問題中的最大值和最小值時，一般是先找出自變數、因變數，建立函式關係式，並確定其定義域.如果定義域是乙個開區間，函式在定義域內可導（其實只要是初等函式，它在自己的定義域內必然可導），並且按常理分析，此函式在這一開區間內應該有最大（小）值（如果定義域是閉區間，那麼只要函式在此閉區間上連續，它就一定有最大（小）.記住這個定理很有好處），然後通過對函式求導，發現定義域內只有乙個駐點，那麼立即可以斷定在這個駐點處的函式值就是最大（小）值。

知道這一點是非常重要的，因為它在應用上較為簡便，省去了討論駐點是否為極值點，求函式在端點處的值，以及同函式在極值點處的值進行比較等步驟.

2.極大（小）值與最大（小）值的區別與聯絡

極值是區域性性概念，最大（小）值可以看作整體性概念，因而在一般情況下，兩者是有區別的.極大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是極大（小）值，但如果連續函式在區間內只有乙個極值，那麼極大值就是最大值，極小值就是最小值.

三、經典例題導講

[例1]已知曲線及點，求過點的曲線的切線方程.

錯解：，過點的切線斜率，過點的曲線的切線方程為.

錯因：曲線在某點處的切線斜率是該曲線對應的函式在該點處的導數值，這是導數的幾何意義.在此題中，點湊巧在曲線上，求過點的切線方程，卻並非說切點就是點，上述解法對求過點的切線方程和求曲線在點處的切線方程，認識不到位，發生了混淆.

正解：設過點的切線與曲線切於點，則過點的曲線的切線斜率

，又，。①點在曲線上， ②，②代入①得

化簡，得，或.若，則，過點的切線方程為；若，則，過點的切線方程為過點的曲線的切線方程為或

[例2]已知函式在上是減函式，求的取值範圍.

錯解：在上是減函式，在上恆成立，

對一切恆成立，，即，.

正解:，在上是減函式，在上恆成立，且，即且，.

[例3]當，證明不等式.

證明：，，則，當時。在內是增函式，，即，又，當時，，在內是減函式，，即，因此，當時，不等式成立.

點評：由題意構造出兩個函式，.利用導數求函式的單調區間，從而匯出及是解決本題的關鍵.

[例4]設工廠到鐵路線的垂直距離為20km,垂足為b.鐵路線上距離b為100km處有一原料**站c,現要在鐵路bc之間某處d修建乙個原料中轉車站,再由車站d向工廠修一條公路.如果已知每千公尺的鐵路運費與公路運費之比為3:

5,那麼,d應選在何處,才能使原料**站c運貨到工廠a所需運費最省?

解：設bd之間的距離為km,則|ad|=,|cd|=.如果公路運費為元/km,那麼鐵路運費為元/km.

故從原料**站c途經中轉站d到工廠a所需總運費為:+,().對該式求導,得=+=,令,即得25=9(),解之得

=15,=-15(不符合實際意義,捨去).且=15是函式在定義域內的唯一駐點,所以=15是函式的極小值點,而且也是函式的最小值點.由此可知,車站d建於b,c之間並且與b相距15km處時,運費最省.

點評：這是一道實際生活中的優化問題,建立的目標函式是乙個復合函式,用過去的知識求其最值往往沒有一般方法,即使能求出,也要涉及到較高的技能技巧.而運用導數知識,求復合函式的最值就變得非常簡單.

一般情況下,對於實際生活中的優化問題,如果其目標函式為高次多項式函式、簡單的分式函式簡單的無理函式、簡單的指數、對數函式,或它們的復合函式,均可用導數法求其最值.由此也可見,導數的引入,大大拓寬了中學數學知識在實際優化問題中的應用空間.

[例5]（2023年四川）函式，其中是的導函式.（1）對滿足－1≤≤1的一切的值，都有＜0，求實數的取值範圍；

（2）設＝－，當實數在什麼範圍內變化時，函式＝的圖象與直線＝3只有乙個公共點.

解：（1）由題意

令，對，恒有，即

∴ 即解得

故時，對滿足－1≤≤1的一切的值，都有.

（2）①當時，的圖象與直線只有乙個公共點

②當時，列表：

∴又∵的值域是，且在上單調遞增

∴當時函式的圖象與直線只有乙個公共點.

當時，恒有

由題意得即

解得綜上，的取值範圍是.

[例6]若電燈b可在桌面上一點o的垂線上移動，桌面上有與點o距離為的另一點a，問電燈與點0的距離怎樣，可使點a處有最大的照度？（照度與成正比，與成反比）

分析：如圖，由光學知識，照度與成正比，與成反比，即（是與燈光強度有關的常數）要想點處有最大的照度，只需求的極值就可以了.

解：設到的距離為，則，

於是，.

當時，即方程的根為（舍）與，在我們討論的半閉區間內，所以函式在點取極大值，也是最大值。即當電燈與點距離為時，點的照度為最大.

點評：在有關極值應用的問題中，絕大多數在所討論的區間上函式只有一點使得=0且在該點兩側，的符號各異，一般稱為單峰問題，此時，該點就是極值點，也是最大（小）值點.

四、典型習題導練

1．已知函式，若是的乙個極值點，則值為（）

a．2 b.-2 c. d.4

2.已知函式在處有極值為10，則= .

3．給出下列三對函式：①②，

③，；其中有且只有一對函式「既互為反函式，又同是各自定義域上的遞增函式」，則這樣的兩個函式的導函式分別是， .

4．已知函式有極大值和極小值，求的取值範圍.

5．已知拋物線，過其上一點引拋物線的切線，使與兩座標軸在第一象限圍成的三角形的面積最小，求的方程.

6．設在上的最大值為，，

（1）求的表示式；（2）求的最大值.

§10.3定積分與微積分基本定理

一、知識導學

1．可微：若函式在的增量可以表示為的線性函式（是常數）與較高階的無窮小量之和:（1）,則稱函式在點可微，（1）中的稱為函式在點的微分，記作或.

函式在點可微的充要條件是函式在可導，這時（1）式中的等於.若函式在區間上每點都可微，則稱為上的可微函式.函式在上的微分記作.

2．微積分基本定理：如果，且在上可積.則

.其中叫做的乙個原函式.

由於，也是的原函式，其中為常數.

二、疑難知識導析

1 .定積分的定義過程包括「分割、近似求和、取極限」這幾個步驟，這裡包含著很重要的數學思想方法，只有對定積分的定義過程了解了，才能掌握定積分的應用.

1）一般情況下，對於區間的分割是任意的，只要求分割的小區間的長度的最大者趨近於0，這樣所有的小區間的長度才能都趨近於0，但有的時候為了解題的方便，我們選擇將區間等份成份，這樣只要2其中的使就可以了.

2）對每個小區間內的選取也是任意的，在解題中也可選取區間的左端點或是右端點.

3）求極限的時候，不是，而是.

2．在微積分基本定理中，原函式不是唯一的，但我們只要選取其中的乙個就可以了，一般情況下選那個不帶常數的。因為.

3．利用定積分來求面積時，特別是位於軸兩側的圖形的面積的計算，分兩部分進行計算，然後求兩部分的代數和.

三、經典例題導講

[例1]求曲線與軸在區間上所圍成陰影部分的面積s.

錯解：分兩部分，在，在，因此所求面積為 2+（-2）=0。

分析：面積應為各部分積分的代數和，也就是第二部分的積分不是陰影部分的面積，而是面積的相反數。所以不應該將兩部分直接相加。

正解：[例2]用微積分基本定理證明（）

分析：即尋找的原函式代入進行運算。

解；設，則

= =由微積分基本定理的逆運用可知：上式

所以原式成立，即證。

注：該式可用來求分布在軸兩側的圖形的積分。

[例3]根據等式求常數的值。

1） 2）

分析：利用微積分基本定理，求出原函式代入求解

解：1）

2）[例4]某產品生產x個單位時的邊際收入

（１）求生產了50個單位時的總收入。

（２）如果已生產了100個單位時，求再生產100個單位時的總收入。

分析：總收入為邊際收入的積分和，求總收入既為求邊際收入在規定時間內的定積分。由收入函式和邊際收入的關係可得

（1）生產50個單位時的總收入為

= =99875

（2）已生產了100個單位時後，再生產100個單位時的總收入為

答：生產50個單位時的總收入為99875；生產了100個單位時後，再生產100個單位時的總收入為19850.

[例5]乙個帶電量為的電荷放在軸上原點處，形成電場，求單位正電荷在電場力作用下沿軸方向從處移動到處時電場力對它所作的功。

分析：變力做功的問題就是定積分問題在物理方面的應用。

解：單位正電荷放在電場中，距原點處，電荷對它的作用力為

在單位電荷移動的過程中，電場對它的作用力為變力。則根據課本對變力做功的分析可知

答：電場力對它做的功為。

[例6]一質點以速度沿直線運動。求在時間間隔上的位移。

分析：變速求位移和變力求功一樣都可以用定積分解決。

解：答：位移為。

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