錯解剖析得真知

錯解剖析得真知（二十三）

§7.4軌跡問題

一、知識導學

1.方程的曲線

在平面直角座標系中，如果某曲線c(看作適合某種條件的點的集合或軌跡 )上的點與乙個二元方程f(x,y)=0的實數解建立了如下的關係：

(1)曲線上的點的座標都是這個方程的解；

(2)以這個方程的解為座標的點都是曲線上的點.那麼這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.

2.點與曲線的關係若曲線c的方程是f(x,y)=0，則點p0(x0,y0)在曲線c上f(x0,y0)=0；

點p0(x0,y0)不在曲線c上f(x0,y0)≠0兩條曲線的交點若曲線c1，c2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則點p0(x0,y0)是c1，c2的交點

方程組有n個不同的實數解，兩條曲線就有n個不同的交點；方程組沒有實數解，曲線就沒有交點.

3.圓錐曲線的統一定義

平面內的動點p(x,y)到乙個定點f(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線l的距離之比是乙個常數e(e＞0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線.

其中定點f(c,0)稱為焦點，定直線l稱為準線，正常數e稱為離心率.

當0＜e＜1時，軌跡為橢圓

當e=1時，軌跡為拋物線

當e＞1時，軌跡為雙曲線

4.座標變換

（1）座標變換在解析幾何中，把座標系的變換(如改變座標系原點的位置或座標軸的方向)叫做座標變換.實施座標變換時，點的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點的座標與曲線的方程.座標軸的平移：

座標軸的方向和長度單位不改變，只改變原點的位置，這種座標系的變換叫做座標軸的平移，簡稱移軸.

（2）座標軸的平移公式設平面內任意一點m，它在原座標系xoy中的座標是（x,y)，在新座標系x ′o′y′中的座標是(x′,y′).設新座標系的原點o′在原座標系xoy中的座標是(h,k)，則

(1) 或 (2)

公式(1)或(2)叫做平移(或移軸)公式.

二、疑難知識導析

1.在求曲線軌跡方程的過程中,要注意：

(1)理解題意,弄清題目中的已知和結論,發現已知和未知的關係,進行知識的重新組合；

(2)合理進行數學語言間的轉換,數學語言包括文字語言、符號語言和圖形語言,通過審題畫出必要的圖形或示意圖,把不宜於直接計算的關係化為能直接進行數學處理的關係式,把不便於進行數學處理的語言化為便於數學處理的語言；

(3)注意挖掘題目中的隱含條件；

(4)注意反饋和檢驗.

2.求軌跡方程的基本方法有：

(1)直接法：若動點滿足的幾何條件是一些幾何量的等量關係,則將這些關係「翻譯」成x,y的關係式,由此得到軌跡方程.一般步驟是：建立座標系—設點—列式—代換—化簡、整理.

(2)定義法：即當動點的軌跡滿足的條件符合某種特殊曲線的定義時,則可根據這種曲線的定義建立方程.

(3)待定係數法：已知動點的軌跡是某種圓錐曲線,則可先設出含有待定係數的方程,再根據動點滿足的條件確定待定係數.

(4)相關點法：當動點p(x,y)隨著另一動點q(x1,y1)的運動而運動時,而動點q在某已知曲線上,且q點的座標可用p點的座標來表示,則可代入動點q的方程中,求得動點p的軌跡方程.

(5)引數法：當動點p的座標x、y之間的直接關係不易建立時,可適當地選取中間變數t,並用t表示動點的座標x、y,從而得到動點軌跡的引數方程 ,消去t,便可得動點p的普通方程.

另外,還有交軌法、幾何法等.

3.在求軌跡問題時常用的數學思想是：

(1)函式與方程的思想：求平面曲線的軌跡方程,是將幾何條件(性質)表示為動點座標x、y的方程及函式關係；

(2)數形結合的思想：由曲線的幾何性質求曲線方程是「數」與「形」的有機結合；

(3)等價轉化的思想：通過座標係使「數」與「形」相互結合,在解決問題時又需要相互轉化.

三、經典例題導講

[例1]如圖所示，已知p(4，0)是圓x2+y2=36內的一點，a、b是圓上兩動點，且滿足∠apb=90°，求矩形apbq的頂點q的軌跡方程.

解：設ab的中點為r，座標為(x,y)，則在rt△abp中，|ar|=|pr|.

又因為r是弦ab的中點，依垂徑定理：在rt△oar中，|ar|2=|ao|2－|or|2=36－(x2+y2)

又|ar|=|pr|=

所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0

因此點r在乙個圓上，而當r在此圓上運動時，q點即在所求的軌跡上運動.

設q(x,y)，r(x1,y1)，因為r是pq的中點，所以x1=,

代入方程x2+y2－4x－10=0,得

－10=0

整理得 x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程.

技巧與方法：對某些較複雜的探求軌跡方程的問題，可先確定乙個較易於求得的點的軌跡方程，再以此點作為主動點，所求的軌跡上的點為相關點，求得軌跡方程.

[例2]某檢驗員通常用乙個直徑為2 cm和乙個直徑為1 cm的標準圓柱，檢測乙個直徑為3 cm的圓柱，為保證質量，有人建議再插入兩個合適的同號標準圓柱，問這兩個標準圓柱的直徑為多少？

解：設直徑為3,2,1的三圓圓心分別為o、a、b，問題轉化為求兩等圓p、q,使它們與⊙o相內切，與⊙a、⊙b相外切.

建立如圖所示的座標系，並設⊙p的半徑為r,則

|pa|+|po|=1+r+1.5－r=2.5

∴點p在以a、o為焦點，長軸長2.5的橢圓上，其方程為

=1同理p也在以o、b為焦點，長軸長為2的橢圓上，其方程為

(x－)2+y2=1

由①、②可解得，∴r=

故所求圓柱的直徑為 cm.

[例3] 直線l：與圓o：相交於a、b兩點，當k變動時，弦ab的中點m的軌跡方程.

錯解：易知直線恆過定點p（5,0），再由，得：

∴，整理得：

分析：求動點軌跡時應注意它的完備性與純粹性。本題中注意到點m應在圓內，故易求得軌跡為圓內的部分，此時.

[例4] 已知a、b為兩定點，動點m到a與到b的距離比為常數λ,求點m的軌跡方程，並註明軌跡是什麼曲線.

解：建立座標系如圖所示，

設|ab|=2a,則a(－a,0）,b(a,0).

設m(x,y）是軌跡上任意一點.

則由題設，得=λ,座標代入，得=λ,化簡得

(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0

(1)當λ=1時，即|ma|=|mb|時，點m的軌跡方程是x=0，點m的軌跡是直線(y軸).

(2)當λ≠1時，點m的軌跡方程是x2+y2+x+a2=0.點m的軌跡是以

(－，0)為圓心，為半徑的圓.

[例5]若拋物線y=ax2-1上，總存在不同的兩點a、b關於直線y+x=0對稱，求實數a的取值範圍.

分析：若存在a、b關於直線y+x=0對稱，a、b必在與直線y+x=0垂直的直線系中某一條與拋物線y=ax2-1相交的直線上，並且a、b的中點m恆在直線y+x=0上.

解：如圖所示，設與直線y+x=0垂直的直線系方程為

y=x+b

由得ax2-x-(b+1)=0　　 ①

令 △＞0

即 (-1)-4a[-(b+1)]＞0

整理得4ab+4a+1＞0 　②

在②的條件下，由①可以得到直線y=x+b、拋物線y=ax2-1的交點a、b的中點m的座標為

（,+b）,要使a、b關於直線y+x=0對稱，則中點m應該在直線y+x=0上，所以有

+（+b）=0 ③

即 b=- 代入②解不等式得 a＞

因此，當a＞時，拋物線y=ax2-1上總存在不同的兩點a、b關於直線y+x=0對稱.

四、典型習題導練

1.已知橢圓的焦點是f1、f2，p是橢圓上的乙個動點，如果延長f1p到q，使得|pq|=|pf2|，那麼動點q的軌跡是( )

a.圓b.橢圓

c.雙曲線的一支d.拋物線

2.高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的座標分別確定為a(－5，0)、b(5，0)，則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡方程是

3．設直線2x-y-=0與y軸的交點為p，點p把圓(x+1)2+y2 ＝25的直徑分為兩段，則其長度之比是

4.已知a、b、c是直線上的三點，且|ab|=|bc|=6，⊙o′切直線於點a，又過b、c作⊙o′異於的兩切線，設這兩切線交於點p，求點p的軌跡方程.

5.雙曲線=1的實軸為a1a2，點p是雙曲線上的乙個動點，引a1q⊥a1p，a2q⊥a2p，a1q與a2q的交點為q，求q點的軌跡方程.

6.已知橢圓=1(a＞b＞0),點p為其上一點，f1、f2為橢圓的焦點，∠f1pf2的外角平分線為，點f2關於的對稱點為q，f2q交於點r.

(1)當p點在橢圓上運動時，求r形成的軌跡方程；

(2)設點r形成的曲線為c，直線l：y=k(x+a)與曲線c相交於a、b兩點，當△aob的面積取得最大值時，求k的值.

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