3.3三角函式的恒等變換
一、知識導學
1.兩角和、差、倍、半公式
（1） 兩角和與差的三角函式公式
（2） 二倍角公式
（3） 半形公式
， ，2.恒等變形主要是運用三角公式對式子進行等價變形，常見於化簡求值和恒等式證明.恒等式證明就是利用公式消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡，使左右相等，常用方法為：
（1）從一邊開始證得它等於另一邊，一般由繁到簡；（2）證明左右兩邊都等於同乙個式子（或數值）.
二、疑難知識導析
1．兩角和與差的三角函式公式的內涵是揭示同名不同角的三角函式的運算規律，常用於解決求值、化簡和證明題.
2．倍角公式的內涵是揭示具有倍數關係的兩個角的三角函式的運算規律.如成立的條件是「是任意角，的2倍角」，精髓體現在角的「倍數」關係上.
3．公式使用過程中（1）要注意觀察差異，尋找聯絡，實現轉化，要熟悉公式的正用逆用和變形使用，也要注意公式成立的條件.例、、等.
4． 三角公式由角的拆、湊很靈活.如、、
，等，注意到倍角的相對性.
5．化為三角函式式，常見的思路為化「三同」即同名、同角、同次，切割化弦、特殊值與特殊角的三角函式互化等.
6. 三角恒等式的證明包括無條件恒等式和有條件恒等式
(1)無條件恒等式證明,要認真分析等式兩邊三角函式的特點,角度和函式關係,找出差異尋找突破口.
(2)有條件的等式證明,常常四尋找條件與需證式的區別與聯絡,對條件或須證式進行變形.採用消去法或基本量法等求證.
三、典型例題導講
[例1] 在abc中，2sina+cosb=2，sinb+2cosa=，則?c的大小應為( )
a． b． c．或 d．或
錯解：c
錯因：求角c有兩解後未代入檢驗.
正解：a
[例2] 已知tanα tanβ是方程x2+3x+4=0的兩根，若α，β?(-)，則α+β=（ ）
a． b．或- c．-或 d．-
錯解：b.
錯因：未能準確限制角的範圍.
正解：d.
[例3] 若，則對任意實數的取值為（ ）
a. 1 b. 區間（0，1） c. d. 不能確定
錯解：c
錯因：此題極易認為答案a最不可能，怎麼能會與無關呢？其實這是我們忽略了乙個隱含條件，導致了錯選為c或d.
正解：解法一設點，則此點滿足
解得或 即
選a 解法二：用賦值法，
令 同樣有
選a[例4] △abc中，已知cosa=，sinb=，則cosc的值為（ ）
a. b. c.或 d.
錯解：c
錯因：是忽略對題中隱含條件的挖掘.
正解：a
[例5] 已知，（），則（ ）
a、 b、 c、 d、
錯解：a
錯因：是忽略，而解不出
正解：c
[例6]求值
解：答解法一
原式解法二[例7] 已知是第三象限的角，若等於（ ）
a. b. c. d.
解：選a.
解析：[例8]
分析：對三角函式式化簡的目標是：
（1）次數盡可能低；
（2）角盡可能少；
（3）三角函式名稱盡可能統一；
（4）項數盡可能少.
觀察欲化簡的式子發現：
（1）次數為2（有降次的可能）；
（2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化為α，2β化為β）；
（3）函式名稱為正弦、余弦（可以利用平方關係進行名稱的統一）；
（4）共有3項（需要減少），由於側重角度不同，出發點不同，本題化簡方法不止一種.
解法一：（復角→單角，從「角」入手）
原式解法二： （從「名」入手，異名化同名）
解法三 （從「冪」入手，利用降冪公式先降次）
解法四 （從「形」入手，利用配方法，先對二次項配方）
點評：在對三角式作變形時，以上四種方法，提供了四種變形的角度，這也是研究其他三角問題時經常要用的變形手法.
四、典型習題導練
1.已知集合m=，n=則mun等於（ ）
a．m c.ф d.
2.若sinα+cosα=,則tanα+cotα=( )
a.1 b.2 c.-1 d.-2
3.已知＜α＜л＜,sinα=,則cos的值為( )
a.或- b.- c. d.以上都不對
4.已知θ=,則= .
5.計算sinsin= .
6．已知tana·tanb=tana+tanb+1，則cos(a+b)的值是（ ）
a． b． c． d．
7．求值
8.函式的最小值為（ ）
a. b. c. 0 d. 1
9．已知角a是△abc的乙個內角，且，則△abc是（ ）
a．銳角三角形 b．鈍角三角形 c．直角三角形 d．形狀不確定
10.已知向量
（1）求的值；
（2）若的值.
錯解剖析得真知
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