例1、定義在（－∞，+∞）上的任意函式f（x）都可以表示成乙個奇函式g（x）與乙個偶函式h（x）之和．如果f（x）=lg（10x+1），x∈（－∞，+∞），那麼
【錯解】 直接「就題論題」，選擇絕不輕鬆．因為正確的選擇支應具備兩個條件：
（1）g（x）+h（x）=f（x）；
（2）g(x)為奇函式，且h(x)為偶函式．
關於條件（1），容易知道（b）、（c）、（d）都是滿足的，至於（a）．就要驗證
x+lg(10x+10-x+2)=lg（10x+1）是否成立，需要作一些計算才可明白．
關於條件（2），需要對4個選項中的8個函式分別判斷奇偶性．除了（a）、（c）、（d）中的g(x)顯然是奇函式，其餘5個函式奇偶性的判斷均不輕鬆．
【剖析】知難而返，轉而主動探求符合條件的g(x)和h(x)．
按題意，f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)是奇函式，h(x)是偶函式，故
f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)．
【點評】許多選擇題都可用「特殊化」方法輕巧獲得解決（如題10的既取特殊函式又取特殊值），但本題卻正好相反，宜用「一般化」方法．即先一般地求出符合條件的
而後代入再作選擇．
把問題先一般化的思考方法與特殊化一樣有用，這是因為一般性的情況往往更明確更深刻地反映問題的實質，有時可以避開繁瑣的表象的干擾，從而容易解決問題．我們不能忘記，抽象性和普遍性正是數學科學的重要特徵．
例2 已知函式f(x)= (x＞0)，奇函式g(x)定義在r上，當x＞0時，g(x)=f(x)．試求g(x)的反函式．
【錯解】由題意得
【剖析】按題意，無論對g(x)或g-1(x)都應明確分段函式各段的定義域．
【正解】∵g（x）是r上的奇函式，∴g（0）=0；
設x＜0，則-x＞0，此時
下面求分段函式的反函式：
當x=0時，由y=0得g-1（x）=0（x=0）；
當x＜0時，由y=-2x得-1＜y＜0，且x=log2（-y），
∴g-1（x）=log2（-x）（-1＜x＜0）．
【點評】求分段函式的反函式，應先求出各段對應的反函式及其定義域，再綜合表達成新的分段函式的形式．
例3 如果正實數a，b滿足ab=ba，且a＜1，證明a=b．
【錯解】這是2023年全國數學高考的最後一題．考查函式概念、冪函式、指數函式和對數函式的性質，以及運用反證法的能力．
「正難則反」，利用相關函式的增減性比較函式值的大小，通過否定a＞b與a＜b而肯定a=b．
【正解】
方法1 假設a＞b（即1＞a＞b＞0）．因為指數函式y=ax是減函式，故ab＞aa．又由冪函式y=xa的性質，有aa＞ba，所以ab＞ba．這與已知ab=ba相矛盾，因此a≯b；
同樣可證a＜b（0＜a＜1）能成立，即a≮b．
所以，唯有a=b．
（說明：這裡用了指數函式與冪函式的性質）
方法2 假如a＜b，可設b=a+ε(ε＞0)．
由於0＜a＜1，ε＞0，根據指數函式、冪函式的性質，可得
即aa+ε＜(a+ε)a，亦即ab＜ba．
這與ab=ba矛盾，所以a≮b．
假如b＜a，則可設a=b+ε（ε＞0）．用以上步驟同樣可證ba＜ab，這也與ab=ba矛盾，所以a≯b．
因此，唯有a=b．
（說明：這裡引入了增量ε並用了指數函式和冪函式的性質．）
【點評】 1．由否定a≠b（即a＞b與a＜b）而肯定a=b，這對初學者是不習慣的思路，但卻是證明本題的關鍵．
如果拘泥於直接證明a=b，就會步履艱難，「山窮水盡疑無路」；用了反證法這一「精良的**」，就可豁然開朗，「柳暗花明又一村」．當原來的問題看來不能直接證明時，「你千萬不要忘記：人類的高明之處，就在於會迂迴繞過不能直接克服的障礙，就在於能想出某個適當的輔助問題」．（g．波利亞）
2．學習過微積分的讀者可以利用導數判斷函式的增減法，進而比較函式值的大小．
3．如果不限制a的取值範圍，情況就比較複雜．一般地說，滿足ab=ba的正實數a，b可能不相等，如果a=2，b=4．
例4、已知m＞n＞0，則下列不等式成立的是
a．n-m＜m-m b．nn＜mn
c．mm＜nm d．n-n＜m-n
【錯解】因為m＞n＞0，所以n-n＜m-n，故選擇d。
【正解】由於四個選擇支中的冪指數都相同，所以可以直接用冪函式的性質來判斷．
對於(a)，將n-m，m-m看成是f(x)=x-m的函式值，由於-m＜0，m＞n＞0，所以f(m)＜f(n)，即m-m＜n-m，從而排除(a)．
類似的，(c)、(d)也可排除．
對於(b)，令y=g(x)=xn，由於n＞0，且m＞n＞0，∴g(n)＜g(m)，即nn＜mn，所以，選(b)．
【點評】 (1)本題還可以使用的特殊值法來解，例如，可以取n=1，m=2，判斷起來更為方便．
(2)本題將比例兩個數的大小的問題，轉化為比較兩個函式值大小的問題，這種思想是函式的具體應用，具有一般性，應給以充分重視．
例5 如圖為冪函式，y=xn在第一象限的圖象，則c1，c2，c3，c4的大小關係為 （ ）
a．c1＞c2＞ c3＞c4
b．c2＞c1＞c4＞c3
c．c1＞c2＞ c4＞ c3
d．c1＞c4＞c3＞c2
【錯解】觀察圖象知b正確.
故c1＞c2＞c4＞c3，應選(c)．
【點評】 冪函式y=xn在第一象限內的圖象均過點(1，1)，在區間(1，+∞)上，n值越小，圖象越靠近x軸．但解題時，我們不能僅憑觀察猜測，就妄下結論。必須數形結合分析，嚴密推理，有理有據.
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