對數函式
例1．求下列函式的定義域：
（1）； （2）； （3）．
分析：此題主要利用對數函式的定義域求解。
解：（1）由》0得，∴函式的定義域是；
（2）由得，∴函式的定義域是；
（3）由9-得-3，∴函式的定義域是．
說明：此題只是對數函式性質的簡單應用，應強調學生注意書寫格式。
例2．求函式和函式的反函式。
解：（1） ∴ ；
（2） ∴ ．
例4．比較下列各組數中兩個值的大小：
（1），； （2），； （3），.
解：（1）對數函式在上是增函式，
於是；（2）對數函式在上是減函式，
於是；（3）當時，對數函式在上是增函式，
於是， 當時，對數函式在上是減函式，
於是．例5．比較下列比較下列各組數中兩個值的大小：
（12），；
（34），，．
解：（1）∵，，∴ ；
（2）∵， ，∴ ．
（3）∵，，，
∴． （4
例6．已知，比較，的大小。
解：∵， ∴，當，時，得，
∴， ∴．當，時，得，
∴， ∴．當，時，得，，
∴，， ∴．
綜上所述，，的大小關係為或或．
例7．求下列函式的值域：
（1）；（2）；（3）（且）．
解：（1）令，則， ∵， ∴，即函式值域為．
（2）令，則， ∴， 即函式值域為．
（3）令， 當時，， 即值域為，
當時，， 即值域為．
例8．判斷函式的奇偶性。
解：∵恆成立，故的定義域為，
，所以，為奇函式。
例9．求函式的單調區間。
解：令在上遞增，在上遞減，
又∵， ∴或，
故在上遞增，在上遞減， 又∵為減函式，
所以，函式在上遞增，在上遞減。
說明：利用對數函式性質判斷函式單調性時，首先要考察函式的定義域，再利用復合函式單調性的判斷方法來求單調區間。
例10．若函式在區間上是增函式，的取值範圍。
解：令， ∵函式為減函式，
∴在區間上遞減，且滿足，∴，解得，
所以，的取值範圍為．
1.如果對數有意義，求x的取值範圍；
解：要使原函式有意義，則
解之得：
∴原函式的定義域為-7，-6) (-6，-5) (-1，+)
2.函式的定義域為一切實數，求k的取值範圍。
利用影象判斷方程根的個數
3．已知關於的的方程，討論的值來確定方程根的個數。
解：因為在同一直角座標系中作出函式與的圖象，如圖可知：①當時，兩個函式圖象無公共點，所以原方程根的個數為0個；
②當時，兩個函式圖象有乙個公共點，所以原方程根的個數為1個；
③當時，兩個函式圖象有兩個公共點，所以原方程根的個數為2個。
4．若關於的方程的所有解都大於1，求的取值範圍．
解：由原方程可化為
，變形整理有
（*），，由於方程（*）的根為正根，則
解之得，從而
5．求函式的單調區間．
．解：設，，由得，知定義域為
又，則當時，是減函式；當時，是增函式，而在上是減函式
的單調增區間為，單調減區間為
題目2】求函式的單調區間。
正解】由得x＜1或x＞5，即函式的定義域為，
當x＜1時，是減函式，是減函式，所以是增函式；
當x＞5時，是增函式，是減函式，所以是減函式；
所以的增區間是（-∞，1）；減區間是（5，∞，）。
6、設函式 ，若的值域為 ，求實數的取值範圍．
分析：由值域為和對數函式的單調性可將問題轉化為能取遍所有正實數的問題．
解： 令 ，依題意應取遍一切正實數即函式值域是正實數集的子集．則有或 ，解得 ．
7.已知函式f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］.
(1)若f(x)的定義域為r，求實數a的取值範圍；
(2)若f(x)的值域為r，求實數a的取值範圍.
解：(1)(a2－1)x2+(a+1)x+1＞0對x∈r恆成立.
a2－1=0時，a=±1，經檢驗a=－1時恆成立；
a2－1≠0時，
a＜－1或a＞ ，∴a≤－1或a＞ .
(2)a2－1=0，即a=1時滿足值域為r；a2－1≠0時，
1＜a≤ .∴1≤a≤ .
8.的定義域為r，求a的取值範圍。
【正解】①當a=0時，y=0，滿足條件，即函式y=0的定義域為r；
②當a≠0時，由題意得：；
由①②得a的取值範圍為[0，4）。
【評注】引數問題，分類要不重不漏，對於不等式不一定是一元二次不等式。
9.函式y=log［(1－x)(x+3)］的遞減區間是( )
a.(－3,－1b.(－∞,－1) c.(－∞,－3d.(－1，＋∞)
【解析】設t＝(1－x)(x＋3)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4由(1－x)(x＋3)＞0得－3＜x＜1當x∈(－3，－1)時，t＝(1－x)(x＋3)遞增∴y＝log［(1－x)(x＋3)］的遞減區間是(－3，－1)
10.求函式y=loga(2-ax-a2x)的值域。
【解】由於2-ax-a2x>0，得-2又當a>1時，y=logat遞增，∴yloga2。
故當a>1時，所求的值域為（-∞，loga2）；當011.求函式y=log2·log2 (x∈［1,8］)的最大值和最小值.
【解】 令t=log2x,x∈［1,8］,則0≤log2x≤log28即t∈［0,3］
∴y=(log2x－1)(log2x－2)=(t－1)(t－2)=t2－3t+2=(t－)2－ t∈［0,3］
∴當t=,即log2x=,x=2=2時，y有最小值=－.
當t=0或t=3，即log2x=0或log2x=3,也即x=1或x=8時，y有最大值=2.
12.設函式y=f(x),且lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),（1）求f(x)的表示式及定義域；（2）求f(x)的值域。
【解】（1）若lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)有意義，
則又∵lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),∴lgy=3x(3-x)。∴y=103x(3-x)(0（2）∵3x(3-x)=-3x2+9x=-3(x-)2+ (0∴y=f(x)的定義域為（0，3），值域為（1，10）。
13函式在區間上的最大值比最小值大2，則實數 =___．或 ；
14已知函式 ．
① 判斷函式的單調區間及在每乙個單調區間內的單調性；
② 當時，求的最大值，最小值及相應的值．
①在上單調遞減，在上單調遞增．
②當時， ，當時， ．
15、已知函式y=loga(1－ax)(a＞0且a≠1)。
(1)求函式的定義域和值域；(2)證明函式圖象關於直線y=x對稱。
(1)當a＞1時，函式的定義域和值域均為(－∞，0)；當0＜a＜1時，函式的定義域和值域均為(0，+∞)。
(2)由y=loga(1－ax)，得1－ax=ay，即ax=1－ay，∴x=loga(1－ay)，∴f－1(x)=loga(1－ax)=f(x)。
∵f(x)與f－1的圖象關於直線y=x對稱，函式y=loga(1－ax)的圖象關於直線y=x對稱。
對數函式的圖象變換及在實際中的應用
對數函式圖象是對數函式的一種表達形式，形象顯示了函式的性質。為研究它的數量關係提供了「形」的直觀性，它是探求解題途徑、獲得問題結果的重要途徑。
一． 利用對數函式圖象的變換研究複雜函式圖象的性質
（一） 圖象的平移變換
例1． 畫出函式與的影象，並指出兩個影象之間的關係？
解：函式的圖象如果向右平移2個單位就得到的影象；如果向左平移2個單位就得到的影象，所以把的圖象向右平移4個單位得到的圖象
注：圖象的平移變換：1.水平平移：函式，的影象，可由的影象向左（+）或向右平移個單位而得到.
2.豎直平移：函式，的影象，可由的影象向上（+）或向下平移個單位而得到.
（二）影象的對稱變換
例2．畫出函式的影象，並根據影象指出它的單調區間.
解：當時，函式滿足，所以是偶函式，它的圖象關於軸對稱。當時，。因此先畫出，（）的圖象為，再作出關於軸對稱，與構成函式的影象，如圖：
由圖象可以知道函式的單調減區間是，單調增區間是
例3．畫出函式與的影象，並指出兩個影象之間的關係？
解：圖象如圖：把函式的圖象作關於軸對稱得到的影象
注：圖象的對稱變換：①與關於軸對稱
②與關於軸對稱
③與關於原點軸對稱
④與關於直線軸對稱
⑤的影象可將，的部分作出，再利用偶函式的影象關於軸對稱，作出的影象.
二． 利用對數函式的圖象解決有關問題
（一） 利用影象求引數的值
例4．已知函式的影象如圖所示，求函式與的值.
解：由圖象可知，函式的圖象過點與點，所以得方程與，解出，。
（二）利用影象比較實數的大小
例5．已知，，試確定實數和的大小關係.
解：在同一直角座標系中作出函式與的圖象，再作的直線，可得。
注：不同底的對數函式圖象的規律是：①底都大於1時，底大圖低（即在的部分底越大圖象就越接近軸）②底都小於1時，底大圖高（即在的部分底越大圖象就越遠離軸）
（三）利用影象解有關的不等式
例6．解關於的不等式
解：在同一直角座標系中作出函式與的圖象，如圖：兩圖象交點的橫座標為2，所以原不等式的解集為
（四）利用影象判斷方程根的個數
例7．已知關於的的方程，討論的值來確定方程根的個數。
解：因為在同一直角座標系中作出函式與的圖象，如圖可知：①當時，兩個函式圖象無公共點，所以原方程根的個數為0個；
②當時，兩個函式圖象有乙個公共點，所以原方程根的個數為1個；
③當時，兩個函式圖象有兩個公共點，所以原方程根的個數為2個。
能準確地作出對數函式的圖象，利用平移、對稱的變換來研究複雜函式的性質。運用數形結合的數學思想，來研究對數函式的有關問題。
1.（1994全國理，22）已知函式f（x）=tanx，x∈（0，），若x1、x2∈（0，），且x1≠x2，證明［f（x1）＋f（x2）］＞f（）.
35.證明：tanx1＋tanx2＝
對數及對數函式練習題
對數及其運算 1 下列式子中正確的個數是 loga b2 c2 2logab 2logac loga3 2 loga32 loga bc logab logaclogax2 2logax a 0 b 1 c 2 d 3 2 2010 四川理，3 2log510 log50.25 a 0b 1 c 2...
對數函式教案
第次課備課時間2010年9月20日 一 課題對數函式 二 教學目標和要求 1 使學生掌握對數函式的定義，會畫對數函式的圖象，掌握對數函式的性質 2 通過比較 對照的方法，學生更好地掌握兩個函式的定義 圖象及性質，認識兩個函式的內在聯絡，提高學生對函式思想方法的認識和應用意識 三 教學重點與難點 教學...
對數函式專題
一 寫出對數函式的形式 影象並寫出相應的定義域 值域 例1 函式在上恒有，則的取值範圍是 精練1 函式的圖象大致為 abcd.精練2 函式的圖象恆過定點,若點在直線上，其中，則的最小值為 二 經典題型 題型一 對數函式的定義域，值域求法 例1.函式y logx 1 3 x 的定義域是 例2 求的定義...