第五章相交線與平行線
5.1相交線
5.1.1 相交線
鄰補角與對頂角
兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關係的角，它們的概念及性質如下表：
注意點：
（1）對頂角是成對出現的，對頂角是具有特殊位置關係的兩個角；
（2）如果∠α與∠β是對頂角，那麼一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那麼∠α與∠β不一定是對頂角；
（3）如果∠α與∠β互為鄰補角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補角；
（4）兩直線相交形成的四個角中，每乙個角的鄰補角有兩個，而對頂角只有乙個.
例：如圖，三條直線交於一點，任意找出圖中的四對對頂角．
錯解：如圖，對頂角為：（1）∠aoc與∠bod ；
（2）∠aof與∠bod ；
（3）∠cof與∠doe ；
（4）∠aoc與∠boe ．
錯解分析：錯解中把有公共頂點的角誤認為是對頂角，導致（2）和（4）錯誤．如果對對頂角的概念沒有真正理解和掌握，在比較複雜的圖形識別中會產生錯誤．對頂角就是：乙個角的兩邊分別是另乙個角的兩邊的反向延長線．
正解：（1）∠aoc與∠bod ；（2）∠boe與∠aof；（3）∠cof與∠doe；
（4）∠coe與∠dof．（答案不唯一：∠ aoe 與∠bof，∠boc與∠aod也是對頂角）
5.1.2 垂線
1、定義：當兩條直線相交所成的四個角中，有乙個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.
符號語言記作：
如圖所示：ab⊥cd，垂足為o
2、在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.
3、連線直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.簡稱：垂線段最短.
4、點到直線的距離
直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離
5.1.3 同位角、內錯角、同旁內角
兩條直線被第三條直線所截形成八個角，它們構成了同位角、內錯角與同旁內角.
如圖，直線被直線所截
1、∠1與∠5在截線的同側，同在被截直線的上方，
叫做同位角（位置相同）
2、∠5與∠3在截線的兩旁（交錯），在被截直線之間（內），叫做內錯角（位置在內且交錯）
3、∠5與∠4在截線的同側，在被截直線之間（內），叫做同旁內角.
例：如圖，判斷下列各對角的位置關係：
（1）∠1與∠2；（2）∠1與∠7；（3）∠1與∠bad；（4）∠2與∠6；（5）∠5與∠8.
解：我們將各對角從圖形中抽出來（或者說略去與有關角無關的線），得到下列各圖.
如圖所示，不難看出∠1與∠2是同旁內角；∠1與∠7是同位角；∠1與∠bad是同旁內角；∠2與∠6是內錯角；∠5與∠8對頂角.
注意：圖中∠2與∠9，它們是同位角嗎？
不是，∵∠2與∠9的各邊分別在四條不同直線上，不是兩直線被第三條直線所截而成.
5.2 平行線及其判定
5.2.1 平行線
1、平行線的概念：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線，直線與直線互相平行，記作∥.
2、兩條直線的位置關係
在同一平面內，兩條直線的位置關係只有兩種：⑴相交；⑵平行.
因此當我們得知在同一平面內兩直線不相交時，就可以肯定它們平行；反過來也一樣（這裡，我們把重合的兩直線看成一條直線）
判斷同一平面內兩直線的位置關係時，可以根據它們的公共點的個數來確定：
①有且只有乙個公共點，兩直線相交；
②無公共點，則兩直線平行；
③兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合（∵兩點確定一條直線）
3、平行公理――平行線的存在性與惟一性
經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行
4、平行公理的推論：
如果兩條直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行
如左圖所示，∵∥，∥
注意符號語言書寫，前提條件是兩直線都平行於第三條直線，才會結論，這兩條直線都平行.
例：同一平面內，不相交的兩條線是平行線.
錯解：對．
錯解分析：平行線是同一平面內兩條直線的位置關係，不相交的兩條線，說的不明確．若是射線或線段有可能不相交.∴說法是錯誤的．
正解：同一平面內，不相交的兩條直線是平行線．
5.2.2 平行線的判定
判定方法 1 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那麼這兩條直線平行
簡稱：同位角相等，兩直線平行
判定方法 2 兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那麼這兩條直線平行
簡稱：內錯角相等，兩直線平行
判定方法 3 兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那麼這兩條直線平行
簡稱：同旁內角互補，兩直線平行
幾何符號語言：
3＝∠2
ab∥cd（同位角相等，兩直線平行）
1＝∠2
ab∥cd（內錯角相等，兩直線平行）
4＋∠2＝180°
ab∥cd（同旁內角互補，兩直線平行）
例：判斷下列說法是否正確，如果不正確，請給予改正：
（1）不相交的兩條直線必定平行線.
（2）在同一平面內不相重合的兩條直線，如果它們不平行，那麼這兩條直線一定相交.
（3）過一點可以且只可以畫一條直線與已知直線平行
解：（1）錯誤.平行線是在「同一平面內不相交的兩條直線」.「在同一平面內」是一項重要條件，不能遺漏.
（2）正確
（3）錯誤.正確的說法是「過直線外一點」而不是「過一點」.∵如果這一點不在已知直線上，是作不出這條直線的平行線的.
例：如圖，由條件∠2＝∠b，∠1＝∠d，∠3＋∠f＝180°，可以判定哪兩條直線平行，並說明判定的根據是什麼？
解：（1）由∠2＝∠b可判定ab∥de，根據是同位角相等，兩直線平行；
（2）由∠1＝∠d可判定ac∥df，根據是內錯角相等，兩直線平行；
（3）由∠3＋∠f＝180°可判定ac∥df，根據同旁內角互補，兩直線平行.
5.3 平行線的性質
5.3.1 平行線的性質
性質1：兩直線平行，同位角相等；
性質2：兩直線平行，內錯角相等；
性質3：兩直線平行，同旁內角互補.
幾何符號語言：
ab∥cd
1＝∠2（兩直線平行，內錯角相等）
ab∥cd
3＝∠2（兩直線平行，同位角相等）
ab∥cd
4＋∠2＝180°（兩直線平行，同旁內角互補）
例：已知∠1＝∠b，求證：∠2＝∠c
證明：∵∠1＝∠b（已知）
∴de∥bc（同位角相等，兩直線平行）
∴∠2＝∠c（兩直線平行，同位角相等）
例：如圖，ab∥df，de∥bc，∠1＝65°
求∠2、∠3的度數
解：∵de∥bc
∴∠2＝∠1＝65°（兩直線平行，內錯角相等）
∵ab∥df
∴∠3＋∠2＝180°（兩直線平行，同旁內角互補）
∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°
例：如圖，直線ab，cd分別和直線mn相交於點e，f，eg平分∠ben，fh平分∠dfn．若ab∥cd，你能說明eg和fh也平行嗎?
錯解：∵eg平分∠ben，∴∠beg =∠ben．
同理，∵fh平分∠dfn，∴∠dfh =∠dfn．
又∵ab∥cd，∴∠ben =∠dfn；
從而∠beg =∠dfh．∴eg∥fh．
錯解分析：在複雜的圖形中正確地找出同位角、內錯角或同旁內角，是運用平行線的判定或性質的前提．認清一對同位角、內錯角或同旁內角的關鍵是弄清截線和被截線，截線就是它們的公共邊，其餘兩條邊就是被截線．而∠beg和∠dfh不是直線eg，fh被某條直線所截得的同位角，∴由∠beg=∠dfh不能判定eg∥fh．
正解：∵eg平分∠ben，∴∠beg =∠gen =∠ben，
同理，∵fh平分∠dfn，∴∠dfh =∠hfn =∠dfn，
又∵ab∥cd，∴∠ben =∠dfn，從而∠gen =∠hfn．
而∠gen，∠hfn是直線eg，fh被直線mn所截得的同位角，∴eg∥fh．
例：如圖，△abc中，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠b，試判斷de與bc的位置關係，並說明理由．
錯解：∵∠1+∠2=180°，∴ef∥ab．
∴∠3+∠bde =180°．
∵∠3=∠b，∴∠b+∠bde =180°．
∴de∥bc．
錯解分析：由∠1＋∠2=180°，不能得到ef∥ab．
雖然∠1和∠2是由直線ef和ab被直線dc所截得的角，
但由於它們不是同旁內角，∴儘管∠1＋∠2=180°，也不能得到ef∥ab．
正解：∵∠1=∠4，∠1＋∠2=180°，∴∠2+∠4=180°．
∴ef∥db(同旁內角互補，兩直線平行)．
∴∠3+∠bde=180°(兩直線平行，同旁內角互補)．
∵∠3=∠b，∴∠b+∠bde=180°．
∴de∥bc( 同旁內角互補，兩直線平行)．
5.3.2 命題、定理、證明
1、命題的概念：判斷一件事情的語句，叫做命題.
2、命題的組成
每個命題都是題設、結論兩部分組成.題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項.
第五章相交線與平行線
第五章 相交線與平行線 習題精講精析 提要 本章的考查重點是垂線的概念與平行線的性質和判定 本章的難點則是推理證明的引入，這也是幾何入門難的難點之一 因為以前沒接觸過邏輯推理，對於為什麼要推理和怎樣進行推理很陌生，不知道應由什麼，根據什麼，推出什麼 不容易分清 判定 與 性質 有什麼本質區別 解決以...
第五章相交線與平行線
第五章相交線與平行線檢測題 1 姓名 一 選擇題 每小題4分，共20分 1.下面四個圖形中，1與 2是對頂角的圖形的個數是 a 0b 1c 2d 3 2.一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎後，仍在原來的方向上平行前進，那麼兩次拐彎的角度是 a 第一次右拐50 第二次左拐130 b 第一次左拐50 ...
第五章相交線與平行線小結
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