1. 二次函式
1.1 二次函式y＝ax2＋bx＋c的影象和性質
二次函式y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a決定了二次函式圖象的開口大小及方向；h決定了二次函式圖象的左右平移，而且「h正左移，h負右移」；k決定了二次函式圖象的上下平移，而且「k正上移，k負下移」．
由上面的結論，我們可以得到研究二次函式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的方法：
由於y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－
=所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函式y＝ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，於是，二次函式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性質：
（1）當a＞0時，函式y＝ax2＋bx＋c圖象開口向上；頂點座標為，對稱軸為直線x＝－；當x＜時，y隨著x的增大而減小；當x＞時，y隨著x的增大而增大；當x＝時，函式取最小值y＝．
（2）當a＜0時，函式y＝ax2＋bx＋c圖象開口向下；頂點座標為，對稱軸為直線x＝－；當x＜時，y隨著x的增大而增大；當x＞時，y隨著x的增大而減小；當x＝時，函式取最大值y＝．
上述二次函式的性質可以分別通過圖2.2－3和圖2.2－4直觀地表示出來．因此，在今後解決二次函式問題時，可以借助於函式影象、利用數形結合的思想方法來解決問題．
例1 求二次函式y＝－3x2－6x＋1圖象的開口方向、對稱軸、頂點座標、最大值（或最小值），並指出當x取何值時，y隨x的增大而增大（或減小）？並畫出該函式的圖象．
解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，
∴函式圖象的開口向下；對稱軸是直線x＝－1；頂點座標為(－1，4)；
當x＝－1時，函式y取最大值y＝4；
當x＜－1時，y隨著x的增大而增大；當x＞－1時，y隨著x的增大而減小；
採用描點法畫圖，選頂點a(－1，4))，與x軸交於點b和c，與y軸的交點為d(0，1)，過這五點畫出圖象（如圖2.2－5所示）．
例2 把二次函式y＝x2＋bx＋c的影象向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函式y＝x2的影象，求b，c的值．
解法一：y＝x2＋bx＋c＝(x+)2，把它的影象向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到的影象，也就是函式y＝x2的影象，所以，
解得b＝－8，c＝14．
解法二：把二次函式y＝x2＋bx＋c的影象向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函式y＝x2的影象，等價於把二次函式y＝x2的影象向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函式y＝x2＋bx＋c的影象．
由於把二次函式y＝x2的影象向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函式y＝(x－4)2＋2的影象，即為y＝x2－8x＋14的影象，∴函式y＝x2－8x＋14與函式y＝x2＋bx＋c表示同乙個函式，∴b＝－8，c＝14．
例3 已知函式y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求該函式的最大值與最小值，並求出函式取最大值和最小值時所對應的自變數x的值．
解：（1）當a＝－2時，函式y＝x2的圖象僅僅對應著乙個點(－2，4)，所以，函式的最大值和最小值都是4，此時x＝－2；
（2）當－2＜a＜0時，由圖2．2－6①可知，當x＝－2時，函式取最大值y＝4；當x＝a時，函式取最小值y＝a2；
（3）當0≤a＜2時，由圖2．2－6②可知，當x＝－2時，函式取最大值y＝4；當x＝0時，函式取最小值y＝0；
（4）當a≥2時，由圖2．2－6③可知，當x＝a時，函式取最大值y＝a2；當x＝0時，函式取最小值y＝0．
練習1．選擇題：
（1）下列函式圖象中，頂點不在座標軸上的是
（a）y＝2x2b）y＝2x2－4x＋2（c）y＝2x2－1d）y＝2x2－4x
（2）函式y＝2(x－1)2＋2是將函式y＝2x2
（a）向左平移1個單位、再向上平移2個單位得到的 （b）向右平移2個單位、再向上平移1個單位得到的
（c）向下平移2個單位、再向右平移1個單位得到的 （d）向上平移2個單位、再向右平移1個單位得到的
2．填空題
（1）二次函式y＝2x2－mx＋n圖象的頂點座標為(1，－2)，則m＝ ，n
（2）已知二次函式y＝x2+(m－2)x－2m，當m＝ 時，函式圖象的頂點在y軸上；當m＝ 時，函式圖象的頂點在x軸上；當m＝ 時，函式圖象經過原點．
（3）函式y＝－3(x＋2)2＋5的圖象的開口向 ，對稱軸為頂點座標為當x時，函式取最值y＝ ；當x 時，y隨著x的增大而減小．
3．求下列拋物線的開口方向、對稱軸、頂點座標、最大（小）值及y隨x的變化情況，並畫出其圖象．
（1）y＝x2－2x－32）y＝1＋6 x－x2．
4．已知函式y＝－x2－2x＋3，當自變數x在下列取值範圍內時，分別求函式的最大值或最小值，並求當函式取最大（小）值時所對應的自變數x的值：（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．
1.2 二次函式的三種表示方式
二次函式可以表示成以下兩種形式：
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
2．頂點式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中頂點座標是(－h，k)．
除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來表示．為了研究另一種表示方式，我們先來研究二次函式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點個數．
當拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸相交時，其函式值為零，於是有ax2＋bx＋c＝0． ①
並且方程①的解就是拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點的橫座標（縱座標為零），於是，不難發現，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點個數與方程①的解的個數有關，而方程①的解的個數又與方程①的根的判別式δ＝b2－4ac有關，由此可知，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點個數與根的判別式δ＝b2－4ac存在下列關係：
（1）當δ＞0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個交點；反過來，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個交點，則δ＞0也成立．
（2）當δ＝0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有乙個交點（拋物線的頂點）；反過來，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有乙個交點，則δ＝0也成立．
（3）當δ＜0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸沒有交點；反過來，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸沒有交點，則δ＜0也成立．
於是，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個交點a(x1，0)，b(x2，0)，則x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，所以
x1＋x2＝，x1x2＝，即x1＋x2)，＝x1x2．
所以，y＝ax2＋bx＋c＝a() = a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2] ＝a(x－x1) (x－x2)．
由上面的推導過程可以得到下面結論：
若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交於a(x1，0)，b(x2，0)兩點，則其函式關係式可以表示為y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．
這樣，也就得到了表示二次函式的第三種方法：
3．交點式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函式圖象與x軸交點的橫座標．
例1 已知某二次函式的最大值為2，影象的頂點在直線y＝x＋1上，並且圖象經過點（3，－1），求二次函式的解析式．
解：∵二次函式的最大值為2，而最大值一定是其頂點的縱座標，
∴頂點的縱座標為2．
又頂點在直線y＝x＋1上，
所以，2＝x＋1，∴x＝1．
∴頂點座標是（1，2）．
設該二次函式的解析式為，
∵二次函式的影象經過點（3，－1），
∴，解得a＝－2．
∴二次函式的解析式為，即y＝－2x2＋8x－7．
例2 已知二次函式的圖象過點(－3，0)，(1，0)，且頂點到x軸的距離等於2，求此二次函式的表示式．
解法一：∵二次函式的圖象過點(－3，0)，(1，0)，
∴可設二次函式為y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，
展開，得 y＝ax2＋2ax－3a，
頂點的縱座標為，
由於二次函式圖象的頂點到x軸的距離2，
∴|－4a|＝2，即a＝．
所以，二次函式的表示式為y＝，或y＝－．
解法二：∵二次函式的圖象過點(－3，0)，(1，0)，
∴對稱軸為直線x＝－1．
又頂點到x軸的距離為2，
∴頂點的縱座標為2，或－2．
於是可設二次函式為y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，
由於函式圖象過點(1，0)，
∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．
∴a＝－，或a＝．
所以，所求的二次函式為y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2．
例3 已知二次函式的圖象過點(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函式的表示式．
解：設該二次函式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由函式圖象過點(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．
所以，所求的二次函式為y＝－2x2＋12x－8．
1.3 二次函式的簡單應用
一、函式圖象的平移變換與對稱變換
1．平移變換
例1 求把二次函式y＝x2－4x＋3的圖象經過下列平移變換後得到的圖象所對應的函式解析式：
（1）向右平移2個單位，向下平移1個單位；
（2）向上平移3個單位，向左平移2個單位．
分析：由於平移變換只改變函式圖象的位置而不改變其形狀（即不改變二次項係數），所以只改變二次函式圖象的頂點位置（即只改變一次項和常數項），所以，首先將二次函式的解析式變形為頂點式，然後，再依據平移變換後的二次函式圖象的頂點位置求出平移後函式影象所對應的解析式．
解：二次函式y＝2x2－4x－3的解析式可變為 y＝2(x－1)2－1，其頂點座標為(1，－1)．
（1）把函式y＝2(x－1)2－1的圖象向右平移2個單位，向下平移1個單位後，其函式圖象的頂點座標是(3，－2)，所以，平移後所得到的函式圖象對應的函式表示式就為 y＝2(x－3)2－2．
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