（2023年5月4日）
一、平行線
1、線段的性質：兩點之間線段最短。
2、餘角、補角的性質：同角（或等角）的餘角相等。同角（或等角）的補角相等
3、對頂角相等。
4、平行線的判定：①同位角相等，兩直線平行。②內錯角相等，兩直線平行。
③同旁內角互補，兩直線平行。④垂直於同一條直線的兩條直線平行。⑤平行於同一條直線的兩條直線平行。
5、平行線的性質：①兩直線平行，同位角相等。②兩直線平行，內錯角相等。③兩直線平行，同旁內角互補。
6、平行線間的距離處處相等。
二、三角形的有關性質
1、三角形的內角和定理三角形的三個內角的和等於180°.
推論1：直角三角形的兩個銳角互餘。
推論2：三角形的乙個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和。
推論3：三角形的乙個外角大於任何和它不相鄰的內角。
2、三角形三邊的關係
三角形的任意兩邊之和大於第三邊，任意兩邊之差小於第三邊。
三、全等三角形、
1、全等三角形的性質
①全等三角形的對應邊相等，對應角相等。
②全等三角形的對應中線、角平分線、高相等。
2、全等三角形的判定
sas asa aas sss hl 沒有ssa和aaa
四、等腰三角形
1、等腰三角形的定義兩邊相等的三角形叫做等腰三角形。
2、等腰三角形的性質
①等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡寫：等腰三角形三線合一）
②等腰三角形性質定理等腰三角形的兩個底角相等。（簡寫：等邊對等角.）
3、等腰三角形的判定：
①等腰三角形的定義兩邊相等的三角形是等腰三角形
②如果乙個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也是相等（簡寫：等角對等邊）。
五、等邊三角形
1、等邊三角形的定義三條邊相等的三角形叫做等邊三角形。
2、等邊三角形的性質
①具有等腰三角形的性質。
②三邊都相等，三個角都等於60°.
③等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸。
3、等邊三角形的判定
①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；
②三個角都相等的三角形是等邊三角形；
③有乙個角是60°的等腰三角形是等邊三角形；
六、直角三角形
1、直角三角形的定義有乙個角是直角的三角形叫做直角三角形。
2、直角三角形的性質
①直角三角形兩銳角互餘；
②直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半；
③在直角三角形中，如果有乙個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半；
④在直角三角形中，如果有一條直角邊等於斜邊的一半，那麼這條直角邊所對的銳角等於30°.
⑤勾股定理：在直角三角形中，斜邊的平方等於兩條直角邊平方的和。
⑥勾股定理的逆定理：如果三角形一條邊的平方等於其他兩條邊平方的和，那麼這個三角形是直角三角形。
七、線段的垂直平分線
1、定義垂直於一條線段並且平分這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。
2、垂直平分線的性質線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩端點的距離相等。
3、垂直平分線的判定
①垂直平分的定義。
②到一條線段兩端距離相等的點，**段的垂直平分線上。
八、角的平分線的性質與判定
①角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。
②到乙個角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。
九、平行四邊形
1、平行四邊形的定義兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。
2、平行四邊形的性質
（1）平行四邊形的鄰角互補，對角相等；
（2）平行四邊形的對邊平行且相等；
（3）平行四邊形的對角線互相平分；
（4）平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點為對稱中心。
3、平行四邊形的判定
（1）定義判定：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。
（2）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。
（3）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。
（4）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
（5）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
十、矩形
1、矩形的定義有乙個角是直角的平行四邊形叫做矩形。
2、矩形的性質
（1）矩形具有平行四邊形的一切性質；
（2）矩形的四個內角都是直角；
（3）矩形的對角線相等；
（4）矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸且都是過對邊的中點直線。
3、矩形的判定方法
（1）定義判定：有乙個角是直角的平行四邊形叫做矩形；
（2）有三個角是直角的四邊形是矩形；
（3）對角線相等的平行四邊形是矩形；
（4）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形。
十一、菱形
1、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。
2、菱形的性質
（1）菱形具有平行四邊形的所有性質；
（2）菱形的四條邊相等；
（3）菱形的對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角；
（4）菱形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸。
3、菱形的判定方法
（1）定義判定：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
（2）四邊都相等的四邊形是菱形；
（3）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
十二、正方形
1、正方形的定義有一組鄰邊相等並且有乙個角是直角的平行四邊形叫做正方形。
2、正方形的性質
（1）正方形的四個角都是直角、四條邊相等；
（2）正方形的兩條對角線相等，並且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；
（3）正方形是軸對稱圖形，它有四條對稱軸，分別是過對邊中點的直線和兩條對角線所在的直線。
3、正方形的判定方法
（1）平行四邊形+一組鄰邊相等+乙個角為直角（定義法）；
（2）矩形+一組鄰邊相等；
（3）矩形+對角線互相垂直
（4）菱形+乙個角為直角；
（5）菱形+對角線相等；
十三、梯形
1、梯形的定義一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。
等腰梯形兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。
直角梯形有乙個角是直角的梯形叫做直角梯形。
2、梯形的判定方法
（1）定義法只有一組對邊平行的四邊形是梯形；
（2）有一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形。
3、等腰梯形
（1）等腰梯形的性質
①兩底平行，兩腰相等；
②等腰梯形同一底上的兩角相等；
③等腰梯形的兩條對角線相等；
④等腰梯形是軸對稱圖形，只有一條對稱軸，一底的垂直平分線是它的對稱軸。
（2）等腰梯形的判定
①兩腰相等的梯形是等腰梯形；
②在同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形。
③對角線相等的梯形是等腰梯形。
4、中位線
（1）三角形中位線
①三角形中位線的概念連線三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。
②三角形中位線的定理三角形中位線平行於第三邊，並且等於第三邊的一半。
（2）梯形中位線
①梯形中位線的概念連線梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線。
②梯形中位線定理梯形的中位線平行於兩底，並且等於兩底和的一半。
十四、多邊形
1、四邊形的內角和等於360°
2、n邊形的內角和等於（n－2）180°。
3、多邊形的外角和等於360°。
十五圓的幾何定理
一、垂徑定理及逆定理
1、垂徑定理：垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的弧。
2、垂徑定理的逆定理：平分非直徑的弦的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的弧。
二、同圓或等圓中的性質定理
3、同圓半徑相等。
4、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。
5、（定理群）在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦心距有一組量相等，那麼它們所對應的其餘各組量都分別相等。（「兩條弦心距」在使用時要證明）。
6、在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等。
三、相關定理
7、圓周角定理：同弧或等弧所對的圓周角等於它所對圓心角的一半。
8、直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。
直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半
如果三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形
9、不在同一條直線上的三個點確定乙個圓。
10、三角形的外接圓經過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心就是三角形的外心。這個三角形叫做圓的內接三角形。
①三角形的外心是三邊垂直平分線的交點。
②外心到三角形三個頂點的距離相等
③銳角三角形的外心在三角形內部，直角三角形的外心在其斜邊的中點，鈍角三角形的外心在三角形的外部
14、三角形的內切圓和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。內切圓的圓心是三角形的內心。內心就是三角形三內角平分線的交點。 內心到三角形各邊的距離都相等。
圓的外切三角形三角形的各邊都和圓相切，這個三角形叫做圓的外切三角形。
四、圓的切線
15、切線的判定定理
①經過半徑的外端，並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。
②若圓心到直線的距離等於半徑，則這條直線是圓的切線。
16、切線的性質定理
①圓的切線垂直於過切點的半徑。
②經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點。
③經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心。
17、切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角
18、圓的內接四邊形的對角互補.
五、兩圓相切
①相切兩圓的性質：相切兩圓的連心線，經過切點。
②兩圓半徑之和等於圓心距，兩圓外切。反之亦然。
③兩圓半徑之差的絕對值等於圓心距，兩圓內切。反之亦然。
六、直線和圓的三種位置關係
11、 ①直線和圓相交 d＜r
②直線和圓相切 d=r
③直線和圓相離 d＞r
七、點和圓的位置關係
12、①點在圓內 d＜r
②點在圓上 d=r
③點在圓外 d＞r
八、兩圓的位置關係
13、兩圓的位置關係：外離、外切、相交、內切和內含。其中相切包括外切和內切,相離包括外離和內含(同心是內含的特殊情況)
14、 ①兩圓外離 d＞r+r
②兩圓外切 d=r+r
③兩圓相交 r-r＜d＜r+r(r＞r)
④兩圓內切 d=r-r(r＞r)
⑤兩圓內含 d＜r-r(r＞r)
⑥兩圓同心 d=0
15、兩圓相交的性質：兩圓相交，公共弦被連心線垂直平分。
九、正多邊形
16、定義：各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形。
17、 定理：正多邊形有唯一外接圓。
十、弧長及扇形的面積
18、圓的周長：
19、弧長：
20、圓的面積：
21、扇形的面積公式：
22、圓錐的側面積
十六相似的幾何定理
一、平行線分線段成比例定理
1.三條平行線截兩條直線，截得的對應線段成比例。
2.平行於三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例。
二、相似三角形的判定
初中數學數與代數學習心得體會
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