桐鄉市高階中學洪魯平
摘要：在教學中引入適當建模思想，適當開展數學建模的活動，對學生的能力培養能發揮重要作用，也是數學教學改革推進素質教育的乙個切入口，本文結合自己的教學體會，闡述教學建模的作用及開展的活動基本方法。
關鍵詞：數學建模建模思想
一、數學建模與學生能力培養
數學建模面臨的是實際問題，它是用實際生活的語言描述的，不是現成的數學語言描述的問題，且問題也是較複雜的，問題夾雜著有用或無用的，主要或次要的資訊，學生首先要對問題提供的資訊進行分析，篩選區分，抓住主要因素進行定量研究。要處理盡可能完美地表達實際問題和求解方便這一對矛盾。這是乙個抽象描述簡化的過程，這一過程使學生的分析、抽象、綜合區分資訊的能力得到訓練和發揮。
同時實際問題的解決都需要構建乙個好的數學模型，這就特別需要想象力、聯想力和洞察問題數學結構的能力。
數學建模往往不是乙個單純的數學問題，它涉及到其他學科知識和生活知識，往往是乙個跨學科的合作過程，它促使學生把各門課程學習的知識融會貫通，促使學生根據需要查閱資料獲取新知識，促使學生圍繞問題，收集資訊深化對問題的深入了解並在此基礎上解決問題，同時，也培養了學生推演和計算能力，使用計算工具的能力。
實際問題的解決方案往往是多種多樣的，學生在建模過程中不但要求得到問題解決的方案而且追求地問題解決的更好，以最低的代價最好的方法求得問題的解決，這就可以在學生思維中樹立最優的原則，不斷追求完善的慾望，培養了學生的競爭意識。
二、數學建模開展的方法
用數學建模解決實際問題，首先經過觀察分析篩選區分獲得的資訊，洞察實際問題的數學結構提煉出數學模型，然後再把數學模型納入某知識系統中去處理，這不僅要求學生有一定的抽象而且要有相當的觀察分析、綜合、模擬、推斷等能力，學生的這種能力的獲得不是一朝一夕的事情，需要把數學建模意識貫穿在教學的始終，為將數學建模活動溶入到平時的教學中，根據我的體會就做好以下三點：
1．結合現地教材讓學生掌握基本的數學模型和引入建模思想，所謂數學模型，是指對於現實世界的某一持定研究物件，為了某個特定的目的，，從這個意義講，各種數學公式方式式定理論體系等等，都是一些具體的數學模型。教師應研究在各章節中可引入哪些模型問題，如在高一代數第一章中可引入各種基本函式的模型，又如在立體幾何中可引入正方體或長方體模型，同時把相關的問題放入這樣模型來解。
例1，解不等式 。
分析：此不等式是乙個高次不等式，由於具有一定的相似性，故建構函式f(t)=t3+5t，則上述不等式可變為f ( )例2，正三稜錐a-bcd的側稜長與底面邊長相等，頂點abcd在同一球面上cc1和dd1是該球的直徑，求平面abc與平面ac1d1所成角的正弦值。
分析：以正三稜錐abcd的稜為正方體的面對角線，構造正方體如圖：因為正四面體abcd內接於球o則此正方體也內接於球o，故球的直徑為正方體的對角線，故點d』、c』是d、c相對的頂點，故易求得面abc與ac』d』所成的角的正弦值為 。
在平時的教學中經常引入這樣一類題目和解法，去不斷的引導學生用數思維的觀點去觀察，分析和表示各種事物關係和數學資訊。引導學生應用數學模型去解決問題，從而激發學生去研究數學模型的興趣，匯入建模思想，僅數學建模意識成為學生思考問題和解決問題方法與習慣。
二、設計、選擇、引入恰當的問題進行課外活動
在實際教學中，教師應給學生提供充足的「好」問題，為學生自己發現問題並用數學來解決問題提供經驗和正規化。所謂「好」問題就是巾近學生的數學現實，適合學生的知識和能力水平，求解中不需要補充大量的課外知識有較明顯的生產、生活或理化等其它學科的實際背景和應用價值，求解中能充分體現數學建模的特點和過程，並可以在不同水平上運用多種模型來分析和求解有較強的挑戰性、探索性，可延展性和趣味性，最好還能發揮計算機求解的作用：例如，據世界人口組織公布地球上的人口在公元元年為2.
5億，2023年為5億，2023年為10億，2023年為20億，2023年為30億，2023年為40億，2023年為50億，到2023年底地球上的人口數達到了60億，請你根據20世紀人口增長規律推測，到哪年世界人口將這到100億，到2023年地球上將會有多少人口？
分析：題目中的資料均為大致時間，粗略估計的量，帶有較多誤差，因此，尋找人口增長規律不需要，也不應該過分強調規律與資料完全全吻合，因此，組建預報模型。不必要考慮20世紀以前的資料資料，在20世紀人口的增長速度是逐步變快的，因此不應用一次函式來作為預報的模型，而應選擇指數函式。
故選擇n（t）=aert，其中n(t)為t時間的人口數，a、t為引數，根據1930-2023年的資料可以得到r=0.0162，a=4.97×10-13，模型為：
n(t)= 4.97×10-13e0.0162（億）1930≤t≤1999。
檢驗：年代 1930 1960 1940 1987 1999
人口數 20 30 40 50 60
預報數 19.49 31.70 39.78&椀?瑳牡?)nbsp; 49.11 59.61
擬合效果較好，可以用於預報，令n(t)=100，可求出t=2030.84
故大約在2023年世界人口將達到100億，而於2023年世界人口將達到307億。
三、注重培養學生的資訊區分能力與洞察問題實質的能力
實際問題往往是複雜的有種多的資訊，需要解題者主動的獲得的資訊進行篩選，將與解決問題有關的資訊從問題中無關的資訊中區分出來進行研究，例如：乙個生物學家想要計算乙個湖中魚的條數，在五月一日，他隨機地捕捉60條魚並對它們作了標記後放回湖中，在12月1日，他再隨機地捕捉30要魚，發現其中3條魚有標記，為了計算五月一日這湖中魚的條數，他假定五月一日湖中的魚25%到九月1日已不再在湖中（由於死亡和遷出），九月一日湖中魚的40%，五月一日時並不在湖中（由於出生或遷入），而且九月一日抽樣所得的無標記及有標記的魚數是有代表性的，這位生物學家算出的五月一日湖中魚數是多少？要解決此題首先要區分哪些資訊是切題，哪些資訊與題無關，將與問題解決的最終要求無關的資訊「五月一日湖中魚的25%至九月一日已不在湖中」拋棄，可列出正確的比例式 = ，得x=840
五月一日湖中魚數為840條。這就要求解題者具有較強理解與篩選能力。同時實際問題的建模材料具有一定的隱蔽性，因而需要解題者具有豐富的聯想與抽象能力，去既快又精確地洞察出問題的數學結構。
例如：現有流量約為300m3/s的兩條河流a、b匯合於某處後，不斷混合，它的含沙量分別為2kg/m3和0.2kg/m3,假設從匯合處開始，沿岸設有若干觀測點，兩股水流在流徑相鄰兩個觀察點的過程中其混合效果相當於兩股水流在1秒鐘內交換100m3的水量，即從a股注入b股100m3水，經混合後又從b股注入a股100m3水，問，從第幾個觀察點開始，兩股河水的含沙量之差少於0.
01kg/m3(不考慮泥沙沉澱)。
要解決此問題，要根據題意將它抽象為乙個具體的數學問題，建立乙個恰當的模型，從題目所要解決的問題可想到若干觀測點測出a、b兩股水流的含沙量不同，因此，含沙量隨觀測點的序數變化，所以是問題的數學結構可歸結為數列問題其次在第幾個觀察點測得的含量an;bn由前乙個觀測點的含沙量an-1、bn-1經交換100m3水量而混合而得可抽象為乙個由逆推關係給出的遞推數列問題，這樣所要建立的模型就清楚了，同時還需將一些無關或次要的因素，「1秒鐘交換100m3的水量」拋棄再看題目就很容易發現問題的解法。
解：設第幾個觀測點處a水含量為an，b水的含沙量為bn
則 an= an-1+ bn-1
bn= a n-1+ bn-1
an-bn= n-1(a1-b1)=1.8( ) n-1 1.8( ) n-1<0.01 椀?瑳牡?) n≥9
所以，從第9個觀測點開始，兩股水流的含沙量之差少於0.01kg/m3。
數學建模所要解決的問題，大部分是實際生活中的例子，從構造數學模型、設計求解模型的方法到再回顧等整個過程由學生去發現，去設計、去創新、去完成，而教師的作用是只為學和的創造性思維提供良好的環境和機會，乃至服務，同時，為了培養更多的成功的問題的解決者，不應該鼓勵學生多解模仿性的問題，因為一旦學生習慣這種近似機械操作之後，他們產生生動美好的過程的能力、思維能力就會大大降低，應該大力但導主動的精神，好的想法、數學的機智及細緻的作風。
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