一、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）
1、滿足（n2﹣n﹣1）n+2=1的整數n有個．
2、已知a，b為實數，且+|b﹣|=0，則關於x的方程（a+2）x2+b2=a﹣1的解為
3、（2001四川）若x2﹣3x﹣2=0，則
4、已知x2+xy+y=14①，y2+xy+x=28②，則x+y的值為
5、若x2﹣5x+1=0，則
6、已知m、n是有理數，方程x2+mx+n=0有乙個根是，則m+n的值為
7、已知a是方程x2﹣x﹣2000=0的乙個正根．則代數式的值為
二、選擇題（共7小題，每小題3分，滿分21分）
8、設x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的兩個根，那麼x13﹣4x22+19的值等於（ ）
a、﹣4 b、8
c、6 d、0
9、若兩個方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0只有乙個公共根，則（ ）
a、a=b b、a+b=0
c、a+b=1 d、a+b=﹣1
10、當分式有意義時，x的取值範圍是（ ）
a、x＜﹣1 b、x＞4
c、﹣1＜x＜4 d、x≠﹣1且x≠4
11、方程（x+1）|x+1|﹣x|x|+1=0的實根的個數是（ ）
a、0 b、1
c、2 d、3
12、對於方程x2﹣2|x|+2=m，如果方程實根的個數恰為3個，則m值等於（ ）
a、1 b、2
c、 d、2.5
13、自然數n滿足，這樣的n的個數是（ ）
a、2 b、1
c、3 d、4
14、設a，b都是正實數且，那麼的值為（ ）
a、 b、
c、 d、
三、解答題（共11小題，滿分73分）
15、是否存在某個實數m，使得方程x2+mx+2=0和x2+2x+m=0有且只有乙個公共的實根？如果存在，求出這個實數m及兩方程的公共實根；如果不存在，請說明理由．
16、解關於x的方程（p+1）x2﹣2px+p﹣2=0．
17、設方程x2﹣|2x﹣1|﹣4=0，求滿足該方程的所有根之和．
18、已知實數a、b、c、d互不相等，且，試求x的值．
19、解下列關於x的方程：
（1）（m﹣1）x2+（2m﹣1）x+m﹣3=0；
（2）x2﹣|x|﹣1=0；
（3）|x2+4x﹣5|=6﹣2x．
20、（2003上海）已知x2﹣2x=2，求代數式（x﹣1）2+（x+3）（x﹣3）+（x﹣3）（x﹣1）的值．
21、已知，求的值．
22、已知m、n是方程x2+2003x+7=0的兩根，求（m2+2002m+6）（n2+2004n+8）的值．
23、在乙個面積為l的正方形中構造乙個如下的小正方形：將正方形的各邊n等分，然後將每個頂點和它相對頂點最近的分點連線起來，如圖所示，若小正方形面積為，求n的值．
24、已知方程x2﹣3x+1=0的兩根α、β也是方程x4﹣px2+q=0的根，求p、q的值．
25、如圖，銳角△abc中，pqrs是△abc的內接矩形，且s△abc=ns矩形pqrs，其中n為不小於3的自然數．求證：需為無理數．
答案與評分標準
一、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）
1、滿足（n2﹣n﹣1）n+2=1的整數n有 4 個．
考點：負整數指數冪。
專題：分類討論。
分析：解決此題要分類討論：（1）解出n的值；（2）n2﹣n﹣1=1，解出n的值；（3）n2﹣n﹣1=﹣1，且n+2為偶數，解出n的值．
解答：根據題意得：（1），解方程得：n=﹣2，
（2）n2﹣n﹣1=1，解得：n=﹣1，n=2，
（3）n2﹣n﹣1=﹣1，且n+2為偶數，
∴n=0．
∴滿足（n2﹣n﹣1）n+2=1的整數n有﹣2，﹣1，2，0．
故答案為4個．
點評：本題考查了負整數指數冪，解題的關鍵是找出題目中隱含的條件，分類討論．
2、已知a，b為實數，且+|b﹣|=0，則關於x的方程（a+2）x2+b2=a﹣1的解為 ± ．
考點：解一元二次方程-直接開平方法；非負數的性質：絕對值；非負數的性質：算術平方根。
專題：計算題。
分析：由題可知，兩個非負數相加為0，則它們分別為0，所以可列方程，求出a、b．然後代入（a+2）x2+b2=a﹣1進行求解．
解答：解：∵+|b﹣|=0，
∴=0，|b﹣|=0，
解之得a=﹣3，b=．
把a和b的值代入關於x的方程（a+2）x2+b2=a﹣1中，
得：x2=6，∴x1=，x2=﹣．
點評：解決本題的關鍵是根據算術平方根和絕對值的非負性，即這兩個數都為0，求出a和b的值．
3、（2001四川）若x2﹣3x﹣2=0，則= 2 ．
考點：整式的混合運算—化簡求值。
專題：整體思想。
分析：把原式化簡成含有x2﹣3x的式子，再把x2﹣3x﹣2=0，代入計算．
解答：解：∵x2﹣3x﹣2=0，
∴x2﹣3x=2，，=，
=（x﹣1）2﹣（x+1），
=x2﹣3x，
當x2﹣3x=2時，原式=x2﹣3x=2．
故本題答案為：2．
點評：本題考查了提公因式法分解因式，完全平方公式，提取公因式（x﹣1）後再約分是化簡的關鍵，注意解題中的整體代入思想．
4、已知x2+xy+y=14①，y2+xy+x=28②，則x+y的值為 ﹣7或6 ．
考點：解一元二次方程-因式分解法。
分析：先把兩個方程相加，得到關於（x+y）的一元二次方程，然後利用因式分解法解方程即可．
解答：解：①+②得，x2+2xy+y2+x+y=42，
∴（x+y）2+（x+y）﹣42=0，
∴（x+y+7）（x+y﹣6）=0，
∴x+y=﹣7或x+y=6，
故答案為：﹣7或6．
點評：本題考查了利用因式分解法把一元二次方程轉化為兩個一元一次方程求解的能力．要熟練掌握因式分解的方法．
5、若x2﹣5x+1=0，則= 6 ．
考點：分式的化簡求值。
專題：計算題。
分析：首先對代數式x2﹣5x+1=0進行變形，然後把x2+1=5x，=5﹣x，x2﹣5x=﹣1整體代入即可．
解答：解：∵x2﹣5x+1=0，
∴x2+1=5x，x+=5，
∴=5﹣x，
∴=2x2﹣9x+3+
=2x2﹣9x+3+5﹣x
=2x2﹣10x+8
=2（x2﹣5x）+8
=6．故答案為6．
點評：此題的解答，用綜合法即可，據條件進行合理變形，再計算．
6、已知m、n是有理數，方程x2+mx+n=0有乙個根是，則m+n的值為 3 ．
考點：一元二次方程的解；有理數。
專題：方程思想。
分析：把方程的解代入方程，得到關於m，n的等式，因為m，n是有理數，可以確定m，n的值．
解答：解：把﹣2代入方程有：
+m（﹣2）+n=0，
9﹣4+m﹣2m+n=0，
（9﹣2m+n）+（m﹣4）=0，
∵m，n是有理數，
∴解方程組得：
∴m+n=3．
故答案是3．
點評：本題考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，根據有理數的意義，得到關於m，n的方程組，求出m，n的值，就能計算出m+n的值．
7、已知a是方程x2﹣x﹣2000=0的乙個正根．則代數式的值為 ．
考點：一元二次方程的解；一元二次方程的定義。
專題：方程思想。
分析：利用一元二次方程的解的概念有a2﹣a﹣2000=0，a2=a+2000，a2﹣a=2000，代入代數式化簡求值．
解答：解：∵a是方程x2﹣x﹣2000=0的乙個正根，
∴a=，
∴a2﹣a﹣2000=0，
∴a2=a+2000，
a2﹣a=2000．===
==3+
=3+a﹣1=a+2=．
故本題的答案是．
點評：本題考查的是一元二次方程的解，利用方程的解對所求代數式化簡求值．
二、選擇題（共7小題，每小題3分，滿分21分）
8、設x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的兩個根，那麼x13﹣4x22+19的值等於（ ）
a、﹣4 b、8
c、6 d、0
考點：根與係數的關係。
專題：計算題。
分析：首先利用根的定義使多項式降次，對代數式進行化簡，然後根據根與係數的關係代入計算．
解答：解：由題意有x12+x1﹣3=0，x22+x2﹣3=0，
即x12=3﹣x1，x22=3﹣x2，
所以x13﹣4x22+19
=x1（3﹣x1）﹣4（3﹣x2）+19
=3x1﹣x12+4x2+7
=3x1﹣（3﹣x1）+4x2+7
=4（x1+x2）+4，
又根據根與係數的關係知道x1+x2=﹣1，
所以原式=4×（﹣1）+4=0．
故選d．
點評：本題考查根與係數的關係和代數式的化簡．求出x1、x2的值再代入計算，則計算繁難，解題的關鍵是利用根的定義及變形，使多項式降次，如x12=3﹣x1，x22=3﹣x2．
9、若兩個方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0只有乙個公共根，則（ ）
a、a=b b、a+b=0
c、a+b=1 d、a+b=﹣1
考點：一元二次方程的解。
專題：計算題。
分析：設出公共根x0構造二元一次方程組，解出符合條件的公共根．
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