一、相似、全等的關係
全等和相似是平面幾何中研究直線形性質的兩個重要方面，全等形是相似比為1的特殊相似形，相似形則是全等形的推廣．因而學習相似形要隨時與全等形作比較、明確它們之間的聯絡與區別；相似形的討論又是以全等形的有關定理為基礎．
二、相似三角形
(1)三角形相似的條件：
①；②；③.
三、兩個三角形相似的六種圖形：
只要能在複雜圖形中辨認出上述基本圖形，並能根據問題需要舔加適當的輔助線，構造出基本圖形，從而使問題得以解決.
四、三角形相似的證題思路：判定兩個三角形相似思路：
1）先找兩對內角對應相等(對平行線型找平行線)，因為這個條件最簡單；
2）再而先找一對內角對應相等，且看夾角的兩邊是否對應成比例；
3）若無對應角相等，則只考慮三組對應邊是否成比例；
找另一角兩角對應相等，兩三角形相似
找夾邊對應成比例兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似
找夾角相等兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似
找第三邊也對應成比例三邊對應成比例，兩三角形相似
找乙個直角斜邊、直角邊對應成比例，兩個直角三角形相似
找另一角兩角對應相等，兩三角形相似
找兩邊對應成比例判定定理1或判定定理4
找頂角對應相等判定定理1
找底角對應相等判定定理1
找底和腰對應成比例判定定理3
e)相似形的傳遞性若△1∽△2，△2∽△3，則△1∽△3
五、「三點定形法」，即由有關線段的三個不同的端點來確定三角形的方法。具體做法是：先看比例式前項和後項所代表的兩條線段的三個不同的端點能否分別確定乙個三角形，若能，則只要證明這兩個三角形相似就可以了，這叫做「橫定」；若不能，再看每個比的前後兩項的兩條線段的兩條線段的三個不同的端點能否分別確定乙個三角形，則只要證明這兩個三角形相似就行了，這叫做「豎定」。
有些學生在尋找條件遇到困難時，往往放棄了基本規律而去亂碰亂撞，亂添輔助線，這樣反而使問題複雜化，效果並不好，應當運用基本規律去解決問題。
例1、已知:如圖,δabc中,ce⊥ab,bf⊥ac.
求證:（判斷「橫定」還是「豎定」？）
例2、如圖，cd是rt△abc的斜邊ab上的高，∠bac的
平分線分別交bc、cd於點e、f，ac·ae=af·ab嗎？
說明理由。
分析方法：
1）先將積式
2橫定」還是「豎定」？）
例1、 已知：如圖，△abc中，∠acb=900，ab的垂直平分線交ab於d，交bc延長線於f。
求證：cd2=de·df。
分析方法：
1）先將積式
2橫定」還是「豎定」？）
六、過渡法（或叫代換法）
有些習題無論如何也構造不出相似三角形，這就要考慮靈活地運用「過渡」，其主要型別有三種，下面分情況說明．
1、 等量過渡法（等線段代換法）
遇到三點定形法無法解決欲證的問題時，即如果線段比例式中的四條線段都在圖形中的同一條直線上，不能組成三角形，或四條線段雖然組成兩個三角形，但這兩個三角形並不相似，那就需要根據已知條件找到與比例式中某條線段相等的一條線段來代替這條線段，如果沒有，可考慮新增簡單的輔助線。然後再應用三點定形法確定相似三角形。只要代換得當，問題往往可以得到解決。
當然，還要注意最後將代換的線段再代換回來。
例1：如圖3，△abc中，ad平分∠bac， ad的垂直平分線fe交bc的延長線於e．求證：de2＝be·ce．
分析：2、 等比過渡法（等比代換法）
當用三點定形法不能確定三角形，同時也無等線段代換時，可以考慮用等比代換法，即考慮利用第三組線段的比為比例式搭橋，也就是通過對已知條件或圖形的深入分析，找到與求證的結論中某個比相等的比，並進行代換，然後再用三點定形法來確定三角形。
例2：如圖4，在△abc中，∠bac=90°，ad⊥bc，e是ac的中點，ed交ab的延長線於點f．
求證：．
3、等積過渡法（等積代換法）
思考問題的基本途徑是：用三點定形法確定兩個三角形，然後通過三角形相似推出線段成比例；若三點定形法不能確定兩個相似三角形，則考慮用等量（線段）代換，或用等比代換，然後再用三點定形法確定相似三角形，若以上三種方法行不通時，則考慮用等積代換法。
例3：如圖5，在△abc中，∠acb=90°，cd是斜邊ab上的高，g是dc延長線上一點，過b作be⊥ag，垂足為e，交cd於點f．
求證：cd2＝df·dg．
小結：證明等積式思路口訣：「遇等積，化比例：橫找豎找定相似；
不相似，不用急：等線等比來代替。」
同類練習：
1．如圖，點d、e分別在邊ab、ac上，且∠ade=∠c
求證：（1）△ade∽△acb2)ad·ab=ae·ac.
（1題圖）（2題圖）
2．如圖，△abc中，點de在邊bc上，且△ade是等邊三角形，∠bac=120°
求證： （1）△adb∽△cea;
28、de=bd·ce;
(3)ab·ac=ad·bc.
3．如圖，平行四邊形abcd中，e為ba延長線上一點，∠d=∠eca.
求證：ad·ec=ac·eb .
（此題為陷阱題，應注意條件中唯一的角相等，考慮平行四邊形對邊相等，用等線替代思想解決）
4．如圖，ad為△abc中∠bac的平分線，ef是ad的垂直平分線。
求證：fd=fc·fb。
（此題四點共線，應積極尋找條件，等線替代，轉化為證三角形相似。）
5．如圖，e是平行四邊形的邊da延長線上一點，ec交ab於點g,交bd於點f,
求證：fc=fg·ef.
（此題再次出現四點共線，等線替代無法進行，可以考慮等比替代。）
6．如圖，e是正方形abcd邊bc延長線上一點，連線ae交cd於f,過f作fm∥be交de於m.
求證：fm=cf.
(注：等線替代和等比替代的思想不侷限於證明等積式，也可應用於線段相等的證明。此題用等比替代可以解決。)
7．如圖，△abc中，ab=ac,點d為bc邊中點，ce∥ab,be分別交ad、ac於點f、g，連線fc.
求證：（1）bf=cf.
2)bf=fg·fe.
（練習題圖
8．如圖，∠abc=90°,ad=db,de⊥ab,
求證：dc=de·df.
9．如圖，abcd為直角梯形，ab∥cd,ab⊥bc,ac⊥bd。ad=bd，過e作ef∥ab交ad於f.
是說明：（1）af=be;(2)af=ae·ec.
10．△abc中,∠bac=90°,ad⊥bc,e為ac中點。
求證：ab:ac=df:af。
11．已知，ce是rt△abc斜邊ab上的高，在ec延長線上任取一點p,連線ap,作bg⊥ap,垂足為g ，交ce於點d.
試證：ce=ed·ep.
(注：此題要用到等積替代，將ce用射影定理替代，再化成比例式。)
七、證比例式和等積式的方法：
對線段比例式或等積式的證明：常用「三點定形法」、等線段替換法、中間比過渡法、面積法等．若比例式或等積式所涉及的線段在同一直線上時，應將線段比「轉移」(必要時需添輔助線)，使其分別構成兩個相似三角形來證明．
可用口訣：遇等積，改等比，橫看豎看找關係；三點定形用相似，三點共線取平截；
平行線，轉比例，等線等比來代替；兩端各自找聯絡，可用射影和園冪．
例1 如圖5在△abc中，ad、be分別是bc、ac邊上的高，df⊥ab於f，交ac的延長線於h，交be於g，求證：(1)fg / fa＝fb / fh (2)fd是fg與fh的比例中項．
1說明：證明線段成比例或等積式，通常是借證三角形相似．找相似三角形用三點定形法(在比例式中，或橫著找三點，或豎著找三點)，若不能找到相似三角形，應考慮將比例式變形，找等積式代換，或直接找等比代換
例2 如圖6，□abcd中，e是bc上的一點，ae交bd於點f，已知be：ec＝3：1，
s△fbe＝18，求：(1)bf：fd (2)s△fda
2說明：線段bf、fd三點共線應用平截比定理．由平行四邊形得出兩線段平行且相等，再由「平截比定理」得到對應線段成比例、三角形相似；由比例合比性質轉化為所求線段的比；由面積比等於相似比的平方，求出三角形的面積．
例3 如圖7在△abc中，ad是bc邊上的中線，m是ad的中點，cm的延長線交ab於n．求：an：ab的值；
3說明：求比例式的值，可直接利用己知的比例關係或是借助己知條件中的平行線，找等比過渡．當已知條件中的比例關係不夠用時，還應添作平行線，再找中間比過渡．
例4 如圖8在矩形abcd中，e是cd的中點，be⊥ac交ac於f，過f作fg∥ab交ae於g．求證：ag 2＝af×fc
4說明：證明線段的等積式，可先轉化為比例式，再用等線段替換法，然後利用「三點定形法」確定要證明的兩個三角形相似．、
例5 如圖在△abc中，d是bc邊的中點，且ad＝ac，de⊥bc，交ab於點e，ec交ad於點f．(1)求證：△abc∽△fcd；(2)若s△fcd＝5，bc＝10，求de的長．
5說明：要證明兩個三角形相似可由平行線推出或相似三角形的判定定理得兩個三角形相似．再由相似三角形的面積比等於相似比的平方及比例的基本性質得到線段的長．
例6 如圖10過△abc的頂點c任作一直線與邊ab及中線ad分別交於點f和e．過點d作dm∥fc交ab於點m．(1)若s△aef：s四邊形mdef＝2：3，求ae：ed；
(2)求證：ae×fb＝2af×ed
6說明：由平行線推出兩個三角形相似，再由相似三角形的面積比等於相似比的平方及比例的基本性質得到兩線段的比．注意平截比定理的應用．
例7 己知如圖11在正方形abcd的邊長為1，p是cd邊的中點，q**段bc上，當bq為何值時，△adp與△qcp相似？
7說明：兩個三角形相似，必須注意其頂點的對應關係．然後再確定頂點p所在的位置．本題是開放性題型，有多個位置，應注意計算，嚴防漏解．
例8 己知如圖12在梯形abcd中，ad∥bc，∠a＝900，ab＝7，ad＝2，bc＝3．試在邊ab上確定點p的位置，使得以p、a、d為頂點的三角形與以p、b、c為頂點的三角形相似．
相似三角形
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