大一微積分下冊經典題目及解析

微積分練習冊[第八章]多元函式微分學

習題8-1多元函式的基本概念

1.填空題：

（1）若，則

（2）若，則

（3）若，則

（4）若，則

（5）函式的定義域是

（6）函式的定義域是

(7)函式的定義域是

（8）函式的間斷點是

2.求下列極限：

（1） (2)

(3)3.證明

4.證明：極限不存在

5.函式在點（0，0）處是否連續？為什麼

習題8-2偏導數及其在經濟分析中的應用

1.填空題

（1）設，則;

（2）設，則;

（3）設，則;

（4）設，則

（5）設，則;

（6）設在點處的偏導數存在，則

2.求下列函式的偏導數

3.設，求函式在（1，1）點的二階偏導數

4.設，求和

5.，試化簡

6.試證函式在點（0，0）處的偏導數存在，但不連續.

習題8-3全微分及其應用

公司和y公司是工具機行業的兩個競爭者，這兩家公司的主要產品的需求曲線分別為：

公司x、y現在的銷售量分別是100個單位和250個單位。

（1） x和y當前的**彈性是多少？

（2）假定y降價後，使增加到300個單位，同時導致x的銷量下降到75個單位，試問x公司產品的交叉**彈性是多少？

(利用弧交叉彈性公式：

2.假設市場由a、b兩個人組成，他們對商品x的需求函式分別為：

（1）商品x的市場需求函式；

（2）計算對商品x的市場需求**彈性；若y是另外一種商品，是其**，求商品x對y的需求交叉彈性

3.求下列函式的全微分

（1）（2）設，求

（3），求當的全增量和全微分

4.計算的近似值

習題8-4多元復合函式的求導法則

1.填空題

（1）設而，則

（2）設而，則

（3）設,而，則

（4）設,而，則

（5）設，則

（6），則

（1）2.設具有二階連續導數，求

3.設具有二階連續偏導數，求

4.設，具有二階連續偏導數，求.

5.設，具有二階連續偏導數，求

7.設與有二階連續導數，且，證明：

習題8-5隱函式的求導公式

1.填空題：

（1）設，則

（2）設，則

（3）設，則

（4）設，則

2.設，求

3.設，求

4.設，求

5.設，求

6.設，而是由方程所確定的的函式，求

7.設由方程確定，f具有一階連續偏導數，證明：

8.設，都是由方程所確定的有連續偏導數的函式，證明：

習題8-6多元函式的極值及其應用

1.填空題：

（1）z駐點為

（2）的極_____值為

（3）的極______值為

（4）在適合附加條件下的極大值為

（5）在上的最大值為最小值為

2.從斜邊長為l的一切直角三角形中，求有最大周長的直角三角形.

班級：姓名：學號：

3.旋轉拋物面被平面截成一橢圓，求原點到該橢圓的最長與最短距離

微積分練習冊[第八章]多元函式微分學

4.某養殖場飼養兩種魚，若甲種魚放養（萬尾），乙種魚放養（萬尾），收穫時兩種魚的收穫量分別為，求使產魚總量最大的放養數

班級：姓名：學號：

5.設生產某種產品需要投入兩種要素，和分別為兩要素的投入量，q為產出量：若生產函式為，其中為正常數，且，假設兩種要素的**分別為和，試問：

當產出量為12時，兩要素各投入多少可以使得投入總費用最小？

微積分練習冊[第九章]二重積分

習題9-1二重積分的概念與性質

1.填空題

（1）當函式在閉區域d上_________時，則其在d上的二重積分必定存在

（2）二重積分的幾何意義是

（3）若在有界閉區域d上可積，且，當時，則；

當時，則

（4），其中是圓域的面積，（注：填比較大小符號）

2.比較下列積分的大小：

(1)與其中積分區域d是由軸，軸與直線所圍成

(2)與，其中

3.估計下列積分的值

（1），其中

（2），其中

4．求二重積分

5.利用二重積分定義證明

（其中為常數）

習題9-2利用直角座標計算二重積分

1.填空題

（1）其中

(2)其中d：頂點分別為的三角形閉區域

(3)將二重積分，其中d是由軸及上半圓周所圍成的閉區域，化為先後的積分，應為

（4）將二重積分，其中d是由直線及雙曲線所圍成的閉區域，化為先後的積分，應為

（5）將二次積分改換積分次序，應為

（6）將二次積分改換積分次序，應用

（7）將二次積分改換積分次序，應為

（8）將二次積分，改換積分次序，應為

2.計算下列二重積分：

(1),其中

(2),其中d是由直線，及所圍成的閉區域.

(3),其中

3.計算二次積分

4.交換積分次序，證明：

5.求由曲面及所圍成的立體的體積.

習題9-3利用極座標計算二重積分

1.填空題

（1）把下列二重積分表示為極座標形式的二次積分①;②

（2）化下列二次積分為極座標系下的二次積分①②

③④2.計算下列二重積分

(1),其中d是由圓周及座標軸所圍成的在第一象限內的閉區域.

(2),其中d是由曲線與直線所圍成的閉區域.

(3),其中d是由圓周所圍成的閉區域

(4)(2),其中(2).

3.計算二重積分，其中d由不等式確定（注意選用適當的座標）

4.計算以面上的圓周圍成的區域為底，而以曲面為頂的曲頂柱體的體積

微積分練習冊[第十章]微分方程與差分方程

習題10-1微分方程的基本概念

1.填空題

（1）方程稱為階微分方程

（2）設是方程的通解，則任意常數的個數n

（3）設曲線上任一點的切線垂直於此點與原點的連線，則曲線所滿足的微分方程

（4）設曲線上任一點的切線在座標軸間的線段長度等於常數a，則曲線所滿足的微分方程

（5）某人以本金元進行一項投資，投資的年利率為，若以連續複利計，t年後資金的總額為

（6）方程可化為形如微分方程

2.已知滿足微分方程，問c和k的取值應如何？

3.、若可導函式滿足方程，將（1）式兩邊求導，得

易知為任意常數）是（2）的通解，從而為（1）的解，對嗎？

4.證明：是微分方程的通解.

習題10-2一階微分方程(一)

1.求下列微分方程的通解：

（1） (2)

(3)2.求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：

（1）（2）

3鐳的衰變速度與它的現存量r成正比，有資料表明，鐳經過2023年後，只餘原始量的一半，試求鐳的量r與時間的函式關係

微積分練習冊[第十章]微分方程與差分方程

習題10-2一階微分方程（二）

1.填空題

（1）設是的乙個解，y是對應的齊次方程的通解，則該方程的通解為

（2）是方程的乙個特解，則其通解為

（3）微分方程作變換可化為一階線性微分方程

（4）的通解為

（5）的通解為

2.求下列微分方程的通解：

(1)(2)3.求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：

4.用適當的變數代換將下列方程化為可分離變數的方程，然後求出通解：

（1） (2)

5.已知一曲線過原點，且它在點處切線的斜率等於，求該曲線的方程

6.設可微且滿足關係式,求

習題10-3一階微分方程在經濟學中的應用

1.已知某商品的需求**彈性為，且當p=1時，需求量q=1

(1)求商品對**的需求函式

（2）當時，需求量是否趨於穩定？

2.已知某商品的需求量q對**p的彈性，而市場對該商品的最大需求量為1萬件，求需求函式

3.已知某商品的需求量q與供給量s都是**p的函式：

其中為常數，**p是時間的函式，且滿足

為正常數）

假設當時，**為1，試求：

(1) 需求量等於供給量的均衡**

(2) **函式

(3)4.在某一人群中推廣新技術是通過其中已掌握新技術的人進行的，設該人群的總人數為n，在時刻已掌握新技術的人數為，在任意時刻已掌握新技術人數為，其變化率與已掌握新技術人數和未掌握新技術人數之積成正比，比例常數

求5.某銀行帳戶，以連續複利方式計息，年利率為5%，希望連續20年以每年12000元人民幣的速度用這一帳戶支付職工工資。若以年為單位，寫出餘額所滿足的微分方程，且問當初始存入的數額b為多少時，才能使20年後帳戶中的餘額精確地減至0.

習題10-4可降階的二階微分方程

1.填空題

（1）微分方程的通解為

（2）微分方程的通解為

（3）微分方程的通解為

（4）微分方程的通解為

（5）微分方程的通解為

（6）設與是方程的特解，則其方程的通解為

2.求下列微分方程滿足所給初始條件的特解

3.求下列微分方程滿足初始條件的特解：

(2)4.試求的經過點m(0,1)且在此點與直線相切的積分曲線

5.驗證及都是方程的解，並寫出該方程的通解.

6.設函式均是非齊次線性方程的特解，其中為已知函式，而且常數，求證

為任意常數）是該方程的通解.

7.證明函式是任意常數）是方程的通解.

習題10-5二階常係數線性微分方程（一）

1.填空題

（1）微分方程的通解為

（2）微分方程的通解為

（3）微分方程的通解為

（4）微分方程為常數）的通解為

大一微積分下冊經典題目及解析

大一微積分複習總結

一元微積分期末複習題目

上海大學大一秋季學期理工《微積分1》教學要求

大一微積分下冊經典題目及解析

大一微積分複習總結

一元微積分期末複習題目

上海大學大一秋季學期理工《微積分1》教學要求

相關推薦