微積分期中複習
第一章函式與極限
一、函式
1、數軸、區間、領域
2、函式的概念：設有兩個變數和，如果當某非空集合內任取乙個數值時，
變數按照一定的法則(對應規律)，都有唯一確定的值與之對應，則稱是的函式。記作，其中變數稱為自變數，它的取值範圍稱為函式的定義域；變數稱為因變數，它的取值範圍是函式的值域，記作，即。
函式的表示：函式的表示有三種。
公式法、**法和圖示法。
3、函式的幾種特性
函式的有界性、奇偶性、單調性和週期性。
4、初等函式
(1) 基本初等函式
① 冪函式：(為任意實數)，
② 指數函式：(且)
③ 對數函式：(且)。
恒等式：
換底公式：
運算的性質：，。
④ 三角函式：。
⑤ 反三角函式：。
(2) 反函式：
(3) 復合函式：
5、常見的經濟函式
(1) 成本函式、收益函式和利潤函式
(2) 需求函式與供給函式
二、極限的概念與性質
1、數列的極限
(1) 數列
(2) 數列極限的定義
(3) 數列極限的幾何意義
2、函式的極限
(1) 當自變數時函式的極限
(2) 當自變數時函式的極限
(3) 左右極限
3、函式極限的主要性質
極限的唯一性、區域性有界性、區域性保號性。
三、極限的運算
1、極限的運算法則
2、兩個重要極限
(1) 極限存在的準則
數列極限的夾擠定理、函式極限的夾擠定理和單調有界數列必有極限。
(2) 兩個重要極限
3、無窮小量和無窮大量
(1) 無窮小量的定義
(2) 無窮小量的性質
① 有限個無窮小量的和、差、積仍然為無窮小量；
② 有界函式與無窮小量的乘積仍為無窮小量。
(3) 無窮小量的比較
高階無窮小、同階無窮小和等價無窮小
無窮小量的替換
四、函式的連續性
1、函式連續的概念
(1) 函式在一點處連續的定義
設函式在點的某領域內有定義，如果，則稱函式在點處連續。
函式在點處連續必須滿足下列3個條件：
2 在點有定義，即有確定的函式值；
② 極限存在，即左右極限，存在且相等。
③ ()，即極限值等於函式值。
(2) 函式在區間上連續的定義
函式在內每一點連續，稱在閉區間內連續。
函式在內每一點連續，且在右連續，在點作連續，則稱在閉區間上連續。
2、連續函式的運算與初等函式的連續性
(1) 連續函式的和、差、積、商(分母不為零)仍為連續函式；
(2) 連續函式的復合函式仍是連續函式；
(3) 基本初等函式在其定於內都是連續的。
3、函式的間斷點
(1) 間斷點的定義
(2) 間斷點的分類
第一類間斷點：
1 若函式當時，左右極限都存在但不相等， 跳躍間斷點
2 若函式當時，左右極限都存在且相等，但是不等於函式值或函式值無定義可去間斷點
第二類間斷點：
除了第一類間斷點外，其他間斷點都稱為第二類間斷點。
4、閉區間上連續函式的性質
最值性、介值性、零值定理。
第二章導數與微分
一、導數的概念
1、引例
(1) 平面曲線上切線的斜率
(2) 總產量對時間的變化率
2、導數的定義
(函式在一點可導的定義)設函式在點的某領域有定義，當自變數在點處取得該變數，即自變數從改變到(，點仍在該領域內)時，函式取得相應的該變數為
若當時，比值的極限存在，即
存在，則稱此極限值為函式在點處的導數，記為
即 。
此時，稱函式在點處可導。
(函式在區間可導的定義)若函式在區間內每一點處都可導，則稱函式在區間內可導。這時對於任乙個，都對應著函式的乙個確定的到數值，這樣就構成了乙個新的函式，稱此函式為的導函式，簡稱導數，記作
即3、導數的幾何意義
函式在點處的導數在幾何上就表示了曲線在點處切線的斜率。
4、左導數與右導數
如果極限存在，則稱此極限值為在點處的左導數，記作，即
如果極限存在，則稱此極限值為在點處的右導數，記作，即
顯然，在點處可導的充要條件是在點處的左右導數存在且相等，即
。 如果函式在開區間內可導，且與存在，則稱在上可導。
5、函式可導與連續的關係
若函式在點處可導，則函式在點處連續(即可導必連續)。
二、導數的基本公式與運算法則
1、函式和、差、積、商的求導法則
2、反函式的求導法則
設函式在某一區間內單調、可導，且，則它的反函式在對應區間內也單調可導，且有
3、復合函式的求導法則
4、導數的基本公式
5、隱函式求導法則
6、對數求導法則
三、高階導數
重點是二階導數
四、引數式函式的導數
引數方程的求導法則，難點是引數方程的二階導數。應用是求曲線的切線和法線方程。
五、函式的微分
1、微分的定義
設函式在點的某個領域內有定義，自變數自取得該變數(，點仍在該領域內)，若函式的相應該變數
克表示為
其中是只與有關而與無關的常數，是當時比高階的無窮小量，則稱函式在點處可微，並稱為函式在點處的微分，記作
即 當時，也稱為的線性主部。
函式在點可微的充分必要條件是函式在點處可導，此時，。
2、微分的幾何意義
3、微分的運算
4、微分形式不變性
5、微分在近似計算中的應用
或 。
有關高等數學計算過程中所涉及到的數學公式（集錦）
一、 （係數不為0的情況）
二、重要公式（1） （2） （3）
（456）
（7） （89）
（1011）
三、下列常用等價無窮小關係（）
四、導數的四則運算法則
五、基本導數公式
⒂ ⒃⒄⒅
六、高階導數的運算法則
（1） （2）
（3） （4）
七、基本初等函式的n階導數公式
（1） （2） (3)
(4)(5)(67)
八、微分公式與微分運算法則
⑿ ⒀ ⒁
九、微分運算法則
十、基本積分公式
⑾第一章練習題
選擇題1、設函式，則( )。d
a.0bc.1d.不存在。
2、設函式，則是的( )。d
a.連續點b.可去間斷點；
c.第一類(非可去)間斷點； d.第二類間斷點。
3、設函式在內有定義，且
則( )。d
a.必是的第一類間斷點；b. 必是的第二類間斷點；
c. 必是的連續點； d.在點處的連續性與的取值有關。
4、當時，是的( )。c
a.高階無窮小量b.低階無窮小量；
c.同階但非等價無窮小量； d.等價無窮大量。
5、若( )，則當時，與為等價無窮小量。d
a.2b.3c.5d.6.
6、若z在上有定義，，且
則( )。d
a. 必是的地一類間斷點；
b. 必是的地二類間斷點；
c. 必是的連續點；
d. 在點處的連續性與的取值有關。
7、設函式在上連續，且，則常數滿足( d )。
a．； b．； c．； d．。
8、設，則( )。a
abcd.不存在。
填空題11
23、，則2
4、，則2，-1
5、函式在時為無窮大量。-1
6、函式在或時為無窮小量。0
7、若函式在上連續，則2
89、若函式在處連續，則的取值範圍是 。
10、設為正整數，則
11121314
計算題1、；21
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第一章函式與極限 第一節函式 1.1 函式內容網路圖 區間定義域不等式 定義集合 對應法則 法表達方法圖象法 初等函式 解析法非初等函式 單調性函式的特性奇偶性 函式週期性 有界性定義反函式重要的函式存在性定理 復合函式 符號函式 幾個具體重要的函式取整函式 其中 x 表示不超過x的最大整數.狄里克...