常微分方程
第一節微分方程的基本概念
1、試指出下列方程是什麼方程，並指出微分方程的階數.
解 (1) 是一階線性微分方程，因方程中含有的和都是一次.
(2) 是一階非線性微分方程，因方程中含有的的平方項.
(3) 是二階非線性微分方程，因方程中含有的的三次方.
(4) 是二階非線性微分方程，因方程中含有非線性函式和
2、設一物體的溫度為100℃, 將其放置在空氣溫度為20℃的環境中冷卻. 根據冷卻定律:物體溫度的變化率與物體和當時空氣溫度之差成正比, 設物體的溫度與時間的函式關係為則可建立起函式滿足的微分方程
其中為比例常數. 這就是物體冷卻的數學模型.
根據題意, 還需滿足條件
3、設一質量為的物體只受重力的作用由靜止開始自由垂直降落. 根據牛頓第二定律：物體所受的力等於物體的質量與物體運動的加速度成正比，即，若取物體降落的鉛垂線為軸，其正向朝下，物體下落的起點為原點，並設開始下落的時間是，物體下落的距離與時間的函式關係為，則可建立起函式滿足的微分方程
其中為重力加速度常數. 這就是自由落體運動的數學模型.
根據題意，還需滿足條件
4、驗證函式 (c為任意常數)是方程
的通解, 並求滿足初始條件的特解.
解要驗證乙個函式是否是方程的通解，只要將函式代入方程，看是否恒等，再看函式式中所含的獨立的任意常數的個數是否與方程的階數相同.將求一階導數,得
把和代入方程左邊得
因方程兩邊恒等,且中含有乙個任意常數,故是題設方程的通解.
將初始條件代入通解中，得,
從而所求特解為
第二節一階微分方程
1、形如的微分方程為可分離變數的微分方程；
形如的一階微分方程稱為齊次微分方程；
形如的方程稱為一階線性微分方程. 當時, 這個方程稱為一階齊次線性方程，它的通解為當時, 這個方程稱為一階非齊次線性方程，它的通解為
解: 形如的微分方程為可分離變數的微分方程；
形如的一階微分方程稱為齊次微分方程；
形如的方程稱為一階線性微分方程. 當這個方程稱為一階齊次線性方程，它的通解為當這個方程稱為一階非齊次線性方程，它的通解為.
2、求微分方程的通解.
解先合併及的各項,得
設分離變數得
兩端積分得
於是記則得到題設方程的通解
3 、已知當時, 求
解設則所以原方程變為即
所以故4、求解微分方程滿足初始條件的特解.
解題設方程為齊次方程,設則
代入原方程得分離變數得
兩邊積分得，
將回代，則得到題設方程的通解為
利用初始條件得到從而所求題設方程的特解為
5、求解微分方程
解原方程變形為（齊次方程）
令則故原方程變為即
分離變數得兩邊積分得或
回代便得所給方程的通解為
6、求方程的通解.
解於是所求通解為
7、求方程的通解.
解這是乙個非齊次線性方程.先求對應齊次方程的通解.
由用常數變易法,把換成即令則有
代入所給非齊次方程得兩端積分得
回代即得所求方程的通解為
第三節可降階的二階微分方程
1、求方程滿足的特解.
解對所給方程接連積分二次,得
(1)(2)在(1)中代入條件得在(2)中代入條件得
從而所求題設方程的特解為
2、求方程的通解.
解這是乙個不顯含有未知函式的方程.令則於是題設方程降階為即兩邊積分,得
即或再積分得原方程的通解
3、 求微分方程初值問題
的特解.
解題設方程屬型.設代入方程並分離變數後,有
兩端積分，得即
由條件得所以
兩端再積分,得又由條件得
於是所求的特解為
4、求方程的通解.
解設則代入原方程得即
由可得所以
原方程通解為
5、 求微分方程滿足初始條件的特解.
解令由代入方程並化簡得
上式為可分離變數的一階微分方程，解得
再分離變數,得由初始條件
定出從而得再兩邊積分,得或
由定出從而所求特解為
第四節 ~ 第六節二階線性微分方程
1、二階線性微分方程的一般形式是其中是自變數的已知函式，當右端項時, 方程成為這個方程稱為二階齊次線性微分方程，相應地，右端項時，原方程稱為二階非齊次線性微分方程.
解二階線性微分方程的一般形式是，其中、及是自變數的已知函式，當右端項時, 方程成為，這個方程稱為二階齊次線性微分方程，相應地，右端項時，原方程稱為二階非齊次線性微分方程.
2、設是方程二階非齊次線性微分方程的乙個特解，而是其對應的齊次方程的通解，則就是二階非齊次線性微分方程的通解.
解設是方程的乙個特解，而是其對應的齊次方程
的通解，則就是二階非齊次線性微分方程的通解.
3、求方程的通解.
解所給微分方程的特徵方程為
其根是兩個不相等的實根，因此所求通解為
4、求方程的通解.
解特徵方程為解得故所求通解為
5、求方程的通解.
解特徵方程為解得故所求通解為
6、下列方程具有什麼樣形式的特解?
(12)
(3)解 (1) 因不是特徵方程的根,故方程具有特解形式：
(2) 因是特徵方程的單根,故方程具有特解形式:
(3) 因是特徵方程的二重根，所以方程具有特解形式：
7、求方程的乙個特解.
解題設方程右端的自由項為型，其中
對應的齊次方程的特徵方程為特徵根為
由於不是特徵方程的根，所以就設特解為
把它代入題設方程,得
比較係數得解得
於是，所求特解為
8、求方程的通解.
解對應齊次方程的特徵方程的特徵根為故對應齊次方程的通解
作輔助方程
是單根,故設代入上式得
取虛部得所求非齊次方程特解為
從而題設方程的通解為
9、設函式滿足求.
解將方程兩端對求導，得微分方程即
特徵方程為特徵根為對應齊次方程的通解為
注意到方程的右端且不是特徵根，根據非齊次方程解的疊加原理，可設特解
代入方程定出從而原方程的通解為
又在原方程的兩端令得
又在原方程的兩端令得
定出從而所求函式為
第八節數學建模——微分方程的應用舉例
邏輯斯諦方程是一種在許多領域有著廣泛應用的數學模型, 下面我們借助樹的增長來建立該模型.
一棵小樹剛栽下去的時候長得比較慢, 漸漸地, 小樹長高了而且長得越來越快, 幾年不見, 綠蔭底下已經可乘涼了; 但長到某一高度後, 它的生長速度趨於穩定, 然後再慢慢降下來. 這一現象很具有普遍性. 現在我們來建立這種現象的數學模型.
如果假設樹的生長速度與它目前的高度成正比, 則顯然不符合兩頭尤其是後期的生長情形, 因為樹不可能越長越快; 但如果假設樹的生長速度正比於最大高度與目前高度的差, 則又明顯不符合中間一段的生長過程. 折衷一下, 我們假定它的生長速度既與目前的高度,又與最大高度與目前高度之差成正比.
設樹生長的最大高度為h(m), 在t(年)時的高度為h(t), 則有
其中是比例常數. 這個方程為logistic方程. 請求解該方程.
解分離變數得兩邊積分得或
故所求通解為
其中的是正常數.
向量代數與空間解析幾何
第一節 ~ 第三節向量的基本概念與運算
1、在平行四邊形abcd中設a b 試用a和b表示向量、、、 其中m是平行四邊形對角線的交點
解由於平行四邊形的對角線互相平分所以
ab 即 (ab)
於是 (ab)
因為所以 (ab)
又因ab 所以 (ba) 由於所以 (ab)
2、已知三點m (1 1 1)、a (2 2 1)和b (2 1 2) 求amb
解從m到a的向量記為a 從m到b的向量記為b 則amb 就是向量a與b的夾角
a b因為ab1110011
所以從而
3、設，，求和．
解 ．
4、已知向量的始點為，終點為，試求：
(1) 向量的座標表示；(2) 向量的模；
(3) 向量的方向余弦；(4)與向量方向一致的單位向量．
解 (1) ；
(2) ；
(3) 在三個座標軸上的方向余弦分別為
； (4) ．
5、求與共線，且的向量．
解由於與共線，所以可設
，由，得
，即，所以，從而
．6、已知，求，使且．
解先求出與向量方向一致的單位向量，然後乘以．，，
故與方向一致的單位向量為．於是
，即或．
第四節平面與空間直線
1、求通過點和軸的平面方程．
解因為軸的單位向量和均在所求平面內，故可取該平面的乙個法向量為，於是所求方程為，即
2、求滿足下列條件的平面方程：
(1) 過三點，和；
(2) 過軸且與平面的夾角為．
解用點法式．，，由題設知，所求平面的法向量為
，又因為平面過點，所以所求平面方程為，即
（2）因所求平面過軸，故該平面的法向量垂直於軸，在軸上的投影，又平面過原點，所以可設它的方程為
，由題設可知（因為時，所求平面方程為又，即．這樣它與已知平面所夾銳角的余弦為
，所以），令，則有，由題設得
，解得或，
於是所求平面方程為或．
3、已知平面在軸上的截距為2，且過點和，求此平面方程．
解設所求平面方程為
，由題設知
平面過點，所以，得．於是，所求平面方程為，即
4、求過原點且垂直於平面的直線.
解直線與平面垂直，則與平面的法向量=平行，取直線方向向量==，由於直線過原點，所以直線方程為 ．
微積分初步形成性考核作業 一
函式，極限和連續 一 填空題 每小題2分，共20分 1 函式的定義域是 x 2且x 3 2 函式的定義域是 x 5 3 函式的定義域是 2 4 函式，則 x2 65 函式，則 2 6 函式，則 x2 1 7 函式的間斷點是 1 8 1 9 若，則 2 10 若，則 二 單項選擇題 每小題2分，共24...
微積分初步形成性考核作業 一
函式，極限和連續 一 填空題 每小題2分，共20分 1 函式的定義域是 2 函式的定義域是 3 函式的定義域是 4 函式，則 5 函式，則 6 函式，則 7 函式的間斷點是 8 9 若，則 10 若，則 1 或填 2 或填 3 或填 4 5 6 7.8.1 9.2 10.二 單項選擇題 每小題2分，...
微積分下模擬試卷五
北京語言大學網路教育學院 注意 1.試卷保密，考生不得將試卷帶出考場或撕頁，否則成績作廢。請監考老師負責監督。2.請各位考生注意考試紀律，考試作弊全部成績以零分計算。3.本試卷滿分100分，答題時間為90分鐘。4.本試卷試題為客觀題，請按要求填塗答題卡，所有答案必須填塗在答題卡上，答在試題卷上不給分...