（北京市海淀區北宮門小學李振婷）
內容提要：
解方程的學習是傳統內容，但新課程賦予了新的思想和方法，舊教材中的解方程，其基本依據是加與減、乘與除之間的逆運算關係，而現在新教材中的解方程，要求學生在解方程的過程中，探索、理解等式的基本性質，再應用等式的基本性質解方程。我就這兩種教學方法從理論方面（包括從《數學課程標準》方面、從學生學習數學的主要途徑方面、從學生的後續學習方面、從思維角度方面）進行論證，又在我校四年級一班（教學生用數量關係求方程解）和四年級二班（教學生用等式的性質求方程的解）進行了實驗，結果表明：新教材中解方程方法從教學上來說，是為了中小銜接；從培養目標來說，是為了新數學思維的培養。
主題詞： 新教材解方程方法
作者單位： 北宮門小學
作者姓名： 李振婷
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（北京市海淀區北宮門小學李振婷）
解方程的學習是傳統內容，但新課程賦予了新的思想和方法，舊教材中的解方程，其基本依據是加與減、乘與除之間的逆運算關係，而現在新教材中的解方程，要求學生在解方程的過程中，探索、理解等式的基本性質，再應用等式的基本性質解方程。為什麼新課程要用這種方式來替代舊教材的解法呢？從教學上來說，是為了中小銜接；從培養目標來說，是為了新數學思維的培養。
一、從不同方面看新教材解方程方法的優勢
（一）從《數學課程標準》中看
《數學課程標準》在小學階段關於這一方面的唯一要求：「理解等式的性質，會用等式的性質解簡單的方程（如3x+2＝5，2x-x＝3）」。這句話是否可以這麼理解：
如果不會用等式的性質解簡單的方程，是否說明你沒完成這階段的教學目標呢？而且，新教材對這一教學內容做如此改動的原因是：以前根據四則運算的互逆關係解方程，屬於算術領域的思考方法，而在中學學習解方程用的是代數的方法，也就是小學新教材中用等式性質解方程，都屬於代數領域的解方程。
兩者有聯絡，但後者是前者的發展與提高。這樣，在解方程的教學中，學生將逐步接受並運用代數的方法思考、解決問題，使思維水平得到提高。所以，《數學課程標準》裡明確規定：
在小學裡學習解方程也是利用等式的性質，這樣中學學習不再是另起爐灶，加強了與中學數學的銜接。
（二）從學生學習數學的主要途徑看
學生學習數學有兩種途徑，一種是利用舊的知識學習新的知識，一種是利用已有的生活經驗學習新的知識。用等式性質解方程正是有效地利用了這兩種途徑。與這個知識點相關的舊知識有等式的四個性質。
「等式的加、減、乘、除不變性」即在等式兩邊都加上（或減去）同乙個數或同乙個整式，以及在等式兩邊都乘以（或除以）同乙個數（除數不能是0），所得的結果仍是等式。新教材並沒有系統地出現過解方程所需要的等式的四個性質。而是結合學生的生活經驗巧妙地利用「天平」，為處理方程提供了乙個強有力的智力影象：
方程類似於一組天平，方程中的符號表示處於平衡狀態，用天平平衡的道理，形象直觀地幫助學生深化對「相等關係」的理解，讓學生明白：在等式的兩邊同時進行相同的運算，那麼平衡就得到了維持——這一等式的基本性質，然後利用等式的基本性質解方程。
（三）從學生的後續學習來看
用等式解方程是解方程的理論依據，而老的教學法用數量關係來解方程對小學生來說已經是難以理解的方法，由於長期都只有用這種方法來解方程隨時間推移自然成為唯一方法。但是我們要為學生的未來著想，學生到了第三學段（也就是初中）又要從頭學起，那麼那時學生不是多個定勢影響嗎？不是給學生增添不必要的麻煩嗎？
那時學生會怎麼想我們小學教師呢？用等式解方程學生更容易接受的，也是每個學生都能接受的唯一方法。
（四）從思維角度來看
我們大人解方程得心應手，可自己做完後要跟孩子解釋卻異常困難；中學生學完方程後來解小學的題目很容易，但要跟小弟弟小妹妹們解釋，卻異常困難。這是為什麼呢？因為大人和中學生用的是代數思維，而小學生習慣於用借助數量關係的算術思維來理解，來逆推理，由已知條件是什麼，求什麼，根據四則運算，然後頭腦中開始套公式——
被減數＝差＋減數；減數＝被減數－差；
被除數＝商×除數；除數＝被除數÷商；
……如此類推，要求乙個方程的解，首先要分清未知數（χ）在這個方程式中是什麼位置關係（是因數、除數、減數還是被除數等），然後頭腦中得轉化——已知什麼，未知什麼，根據哪個運算規則，要求這個未知數就要怎麼做…… 例如：2ⅹ÷5=4——傳統做法就是，首先把2χ看作乙個整體，在這裡2x就是含有未知數的被除數，於是，「已知除數是5，商是4，要求被除數，那就是『被除數＝除數×商』」。經過這麼一陣頭腦中的數量關係轉化之後，於是得出第一步解：
2ｘ（被除數）＝４（商）×5（除數） 結果就是2ｘ＝20然後呢？老規矩，頭腦中又要思考，在2ｘ＝20，未知數χ其實就是乙個因數（乘數），已知乙個因數（2）和積（20），要求另乙個因數（χ），根據乘法逆運算就要用積除以乘數（已知因數）了。於是，終於得出了——ｘ（因數）＝20（積）÷2（因數）最終ｘ＝10。
在這樣的思維中，每解一步，學生頭腦中都必須理清相應的算理，充滿了數量關係。其實，這種傳統演算法對於強化學生對數量關係的理解是有益處的，但是，卻使學生的頭腦對數的感覺變得複雜。這樣，他們要學好方程，就必須有個前提，對各種四則運算的數量關係背得滾瓜爛熟，或經常練習，熟能生巧。
學生首先必須弄清未知數在方程中屬於哪個量，然後根據公式來解方程。思維過程比較複雜，老師每每都得引導學生弄清「已知什麼和什麼，要求什麼，要怎麼辦？」
數學新課程理念下的解方程，則「要求學生在解方程的過程中，探索、理解等式的基本性質，再應用等式的基本性質解方程。」為什麼呢？因為它的思維指向更直接而簡單，用一位博士的概括就是——以等式解方程的思維實質，就是在不改變等式平衡的前提下，通過加減乘除等方法，把未知數一邊的已知數全部想辦法去掉，最終留下的就是「未知數等於多少」的解。
再用剛才的例子來說明。2ｘ÷5＝4——新思維：在未知數χ所在的等式左邊中，有2和5兩個已知數，那麼要解這個方程，就要想辦法把未知數一邊的已知數全部去掉，使經過複雜運算的未知數還原為本身，但又不能破壞等式的平衡。
怎麼辦呢？要使乙個數還原為自己原來的面目，那就要「加什麼，減什麼；乘什麼，除什麼」，而且根據等式的性質等式兩邊要同時進行才不會破壞等式的平衡。於是，第一步仍然把要2ｘ當作乙個整體，2x除以5，要把它還原回來，就必須再乘以5。
那就是2ｘ÷5×5＝4×5，得到2ｘ＝20。以此類推，下一步就是要還原ｘ等於多少，那就要想辦法把2去掉，怎麼呢？「乘什麼就除什麼」，於是2ｘ÷2＝20÷2，最後，ｘ＝10。
總之，在借助等式性質來解方程的思維下，方程類似於一組天平，在等式的兩邊同時進行相同的運算，那麼平衡就得到了維持，這就是等式的性質。而根據這個性質解方程，它的思維很簡單，核心就是——在不改變等式平衡的前提下，把未知數所在一邊等式的已知數想辦法全部去掉，（做法無非就是加了什麼就減去什麼，乘了什麼就除去什麼，兩邊同時進行）。使經過複雜運算的未知數還原為本身，最後得出未知數等於多少的方程解。
那麼，新舊兩種解方程的方法到底要用哪種進行教學呢？很顯然，第二種思維無需弄清那麼多的數量關係，無需熟記諸如「被減數＝差＋減數，減數＝被減數－差，被除數＝商×除數，除數＝被除數÷商」等等運算公式。只要認定乙個目標，「把未知數一邊的已知數全部想辦法去掉」就行了。
這就是為什麼許多大人用方程解完應用題之後，卻無法向孩子們解釋這麼做的原因，他們無法（其實是很難）用原始的數量關係來循循善誘地引導孩子思考：已知什麼，要求什麼，那就必須怎麼做。乙個是原始的算術思維，乙個是高階而高效的代數思維，兩者之間的轉化確實有一定困難。
二、從教學結果看新教材解方程方法的優勢
我就這兩種解方程的方法在我執教的四年級一班（教學生用數量關係求方程解）和四年級二班（教學生用等式的性質求方程的解）進行了一些對比實驗，以便指導今後的教學工作。
（一） 明確目標，展開過程，深刻理解。
表1從表1中可以看出對於x-6=10、x+3=9等簡單的方程四(1)班雖然學的是用數量關係求方程解，但還有百分之十幾的同學選用等式解方程。這些同學可能是自己看課本自學的，可見這種方法還算簡單。對於四（2）班同學只有一人沒用等式性質解方程。
有些學生難以接受和掌握對「用等式的性質求方程的解」。究其原因，是學生知其然而不知其所以然造成的，也就是在教學過程中，始終強調學生用「等式的性質來思考」，但沒有真正展開過程，讓學生明白為什麼要這樣去思考。這就需要我們在教學中，首先讓學生明白：
解方程的目標是什麼？是要求得未知數x的值，即未知數x=?；需要想辦法去掉未知數x以外的項；想到等式左邊「加或減、乘或除以與非未知數x項相等的數」，這樣的變化後發現等號左右兩邊不相等，為了保持相等關係，右邊也必須相應的「加或減、乘或除以相同的數」。
如，解方程：x+3=9時，讓學生思考：我們的目標是求得未知數x=?
，觀察方程的左邊「x＋3」，如何得到x=?，學生一定會想到去掉「＋3」，即用「－3」，結合天平模擬演示，發現方程左右不相等，必須在右邊也同時「－3」。學生經歷這樣的學習過程，對解方程的變化有比較深刻的理解，再次將等式的性質與解方程的原理進行溝通，讓學生真正明白解方程時，在等號左邊「加、減、乘或除以乙個常數（在除法裡0除外）」，關鍵是目標任務的需要；明確「等號的右邊也同時加、減、乘或除以同乙個常數（在除法裡0除外）」，平衡的需要。
（二） 合理安排，分步實施，拓展方法
表2由表2的結果大家可以看出在老師沒做出任何補充的情況下四（2）班學生對3-x=9、8÷x=10這類題掌握不好，許多同學不會做。為此在解方程的教學中，我對教學內容進行適當的調整和重新劃分，用小步子的教學讓學生踏踏實實掌握最基本的內容。一是四種基本型別的解方程是學生今後學習的基礎，按加減關係和乘除關係分兩課時來完成；二是補充「a－x=b」和「a÷x=b」兩類方程的內容；在解方程的思維方式上求同存異。
教學過程始終以「等式的性質」為解方程的依據，規範解題的格式，掌握紮實的解方程方法。在學生熟練及牢固掌握一般方法的基礎上，允許學生用自己能理解的獨特的思維方式與方法。如，解方程「a-bx=c」，教學的基本方法是移項轉化的思考：
「a÷x=b a÷x×x=bx bx=a」。在學生獲得基本方法的前提下，有的學生想到了一些別的思考方法，如，(1)消項法「a÷x=b a÷x÷b=b÷b c÷x=1 x=c」； (2)直覺推理法如，「a-bx=c 想：a 減去幾等於c，直接得到bx=d」。
經過這樣的教學實踐，學生一方面都比較牢固地掌握了解方程的基本方法，另一方面也能在穩固基礎的同時，發揮自己的潛能，發展解方程的方法。對四（2）班經過一系列訓練後，我又對兩個班進行測試：
表3為了完成教學目標，我在四（1）班也必須教學生用等式性質解方程，由表3可以看出：學過用數量關係解方程的學生也逐漸學會用等式解方程的方法了。用等式解方程的方法對學生來說是乙個全新的知識體系與方法，為了讓學生對解方程的思維方式和方法能牢固穩定地掌握，必須對學生進行有效的訓練，有些教材編寫中，練習的量偏少。
所以，在教學中要特別關注對四種基本型別的解方程的練習，根據相對應的內容增加量，並注意在形式上的變化。如，在學習「a+bx=c」等稍複雜的解方程時，第一層次：3x+6=18，2x-7.
5=4.5，16+8x=40，鞏固對這類方程基本型和變式型的基本方法。第二層次：
2x=20+4，4x-3×9=29，38-3x=20，在原有基礎上給以發展，填補了教材對型如ax+b×c=d方程的空白，對不同型別的方程都有所接觸，有利於知識體系的完整。第三層次：學校參加學習葫蘆絲的同學有38人，比參加鼓樂隊人數的2倍少2人。
參加鼓樂隊的同學有多少人？通過應用性的練習，讓學生再次回到用方程解決問題的練習，學以致用。
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