學習圓的切線五注意」

喻俊鵬圓的切線的判定和性質是"圓"這一章的重要內容之一，是學習其他有關圓的知識的基礎，是進行圓內線段相等、角相等、弦平行、線段成比例等問題的證明與計算的重要依據。因此，學好圓的切線至關重要。同學們在學習圓的切線時必須注意以下幾個問題。

一、注意深刻領會圓的切線的定義

同學們知道："直線和圓只有乙個公共點時，叫做直線和圓相切。這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點。

"圓的切線這一定義包含以下兩點：一是圓的切線是直線，二是它和圓只有乙個公共點。這裡的"只有乙個公共點"與"有乙個公共點"的含義是不同的：

"有乙個公共點"並不排除可能還有另外的公共點存在，"只有乙個公共點"則表明了它的唯一性，即除此之外，再沒有其他的公共點了。同學們在學習圓的切線的定義時要進行正、反兩個方面的辨析，深刻領會，避免出現"直線和圓有乙個公共點時，叫做直線和圓相切"這樣的錯誤。

二、注意靈活選用適當的方法判定圓的切線

要判定一條直線是圓的切線，常用的方法有：

1．運用圓的切線的定義。若直線和圓只有乙個公共點，則這條直線是圓的切線。

2．運用切線的判定定理。經過半徑的外端，並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。 3．運用圓心到直線的距離。若圓心到直線的距離等於圓的半徑，則這條直線是圓的切線。

上述三種判定方法實質上是等價的，只是表述形式不同而已。具體運用於解題時，需根據題設條件的不同，靈活選擇恰當的判定方法。

需要注意的是，在切線的判定定理中，"經過半徑外端"和"垂直於這條半徑"這兩個條件缺一不可。

三、注意充分理解圓的切線的性質

根據圓的切線的性質定理--"圓的切線垂直於過切點的半徑"，我們可以推出：如果一條直線滿足"①垂直於切線，②過切點，③過圓心"這三個條件中的任意兩個，那麼它必定具備第三個條件。

例如，滿足條件②和③，就可推出①，這就是切線的性質定理，即"切線垂直於過切點的半徑"；滿足條件①和③，就可推出②，即"過圓心且垂直於圓的切線的直線必經過切點"；滿足條件①和②，就可推出③，即"過切點且垂直於圓的切線的直線必經過圓心"。

由此，我們可將圓的切線的性質歸納如下：

1．圓的切線和圓只有乙個公共點；

2．圓心到切線的距離等於圓的半徑；

3．圓的切線垂直於過切點的半徑；

4．經過圓心並且垂直於切線的直線必經過切點；

5．經過切點並且垂直於切線的直線必經過圓心。

四、注意掌握新增輔助線的規律

在利用圓的切線的判定定理和性質定理解題時，常常需要新增輔助線。新增輔助線的一般規律是："無點作垂線，有點連圓心"。其含義是：

1．無點作垂線--要證明一條直線是圓的切線，但直線與圓的公共點沒有確定，這時，可經過圓心作直線的垂線，再證明圓心到直線的距離等於圓的半徑。

2．有點連圓心--要證明直線是圓的切線，如果直線經過圓上某一點，則可連線圓心和這一點得到半徑，再證明直線垂直於這條半徑；若直線是圓的切線，切點的位置也確定時，可鏈結圓心和切點，得到半徑，則此半徑必垂直於切線。

五、注意區分圓的切線的判定定理和性質定理

切線的判定定理和性質定理由於敘述相似，因此，很容易混淆。應用它們時，一定要注

意分清判定定理和性質定理題設與結論，弄清在什麼情況下可用切線的判定定理，什麼情況下可用切線的性質定理，避免因邏輯混亂而出現錯用切線的判定定理和性質定理的情況。

摘自《初中生天地》2023年總第138期