證明圓的切線方法及例題
證明圓的切線常用的方法有：
一、若直線l過⊙o上某一點a，證明l是⊙o的切線，只需連oa，證明oa⊥l就行了，簡稱「連半徑，證垂直」，難點在於如何證明兩線垂直.
例1 如圖，在△abc中，ab=ac，以ab為直徑的⊙o交bc於d，交ac於e，b為切點的切線交od延長線於f.
求證：ef與⊙o相切.
證明：鏈結oe，ad.
∵ab是⊙o的直徑，
∴ad⊥bc.
又∵ab=bc，
∴∠3=∠4.
∴bd=de，∠1=∠2.
又∵ob=oe，of=of，
∴△bof≌△eof（sas）.
∴∠obf=∠oef.
∵bf與⊙o相切，
∴ob⊥bf.
∴∠oef=900.
∴ef與⊙o相切.
說明：此題是通過證明三角形全等證明垂直的
例2 如圖，ad是∠bac的平分線，p為bc延長線上一點，且pa=pd.
求證：pa與⊙o相切.
證明一：作直徑ae，鏈結ec.
ad是∠bac的平分線，
dab=∠dac.
pa=pd，
2=∠1+∠dac.
2=∠b+∠dab，
1=∠b.
又∵∠b=∠e，
1=∠e
ae是⊙o的直徑，
ac⊥ec，∠e+∠eac=900.
1+∠eac=900.
即oa⊥pa.
pa與⊙o相切.
證明二：延長ad交⊙o於e，鏈結oa，oe.
ad是∠bac的平分線，
be=ce，
oe⊥bc.
e+∠bde=900.
oa=oe，
e=∠1.
pa=pd，
pad=∠pda.
又∵∠pda=∠bde,
1+∠pad=900
即oa⊥pa.
pa與⊙o相切
說明：此題是通過證明兩角互餘，證明垂直的，解題中要注意知識的綜合運用.
例3 如圖，ab=ac，ab是⊙o的直徑，⊙o交bc於d，dm⊥ac於m
求證：dm與⊙o相切.
證明一：鏈結od.
∵ab=ac，
b=∠c.
∵ob=od，
1=∠b.
1=∠c.
∴od∥ac.
∵dm⊥ac，
∴dm⊥od.
∴dm與⊙o相切
證明二：鏈結od，ad.
ab是⊙o的直徑，
ad⊥bc.
又∵ab=ac,
1=∠2.
∵dm⊥ac，
2+∠4=900
oa=od，
1=∠3.
3+∠4=900.
即od⊥dm.
dm是⊙o的切線
說明：證明一是通過證平行來證明垂直的.證明二是通過證兩角互餘證明垂直的，解題中注意充分利用已知及圖上已知.
例4 如圖，已知：ab是⊙o的直徑，點c在⊙o上，且∠cab=300，bd=ob，d在ab的延長線上.
求證：dc是⊙o的切線
證明：鏈結oc、bc.
∵oa=oc，
∴∠a=∠1=∠300.
boc=∠a+∠1=600.
又∵oc=ob，
obc是等邊三角形.
ob=bc.
ob=bd，
ob=bc=bd.
oc⊥cd.
dc是⊙o的切線.
說明：此題是根據圓周角定理的推論3證明垂直的，此題解法頗多，但這種方法較好.
例5 如圖，ab是⊙o的直徑，cd⊥ab，且oa2=od·op.
求證：pc是⊙o的切線.
證明：鏈結oc
∵oa2=od·op，oa=oc，
∴oc2=od·op，
.又∵∠1=∠1，
∴△ocp∽△odc.
∴∠ocp=∠odc.
∵cd⊥ab，
∴∠ocp=900.
∴pc是⊙o的切線.
說明：此題是通過證三角形相似證明垂直的
例6 如圖，abcd是正方形，g是bc延長線上一點，ag交bd於e，交cd於f.
求證：ce與△cfg的外接圓相切.
分析：此題圖上沒有畫出△cfg的外接圓，但△cfg是直角三角形，圓心在斜邊fg的中點，為此我們取fg的中點o，鏈結oc，證明ce⊥oc即可得解.
證明：取fg中點o，鏈結oc.
abcd是正方形，
∴bc⊥cd，△cfg是rt△
∵o是fg的中點，
∴o是rt△cfg的外心.
∵oc=og，
∴∠3=∠g，
∵ad∥bc，
∴∠g=∠4.
ad=cd，de=de，
∠ade=∠cde=450，
∴△ade≌△cde（sas）
4=∠1，∠1=∠3.
2+∠3=900,
1+∠2=900.
即ce⊥oc.
∴ce與△cfg的外接圓相切
二、若直線l與⊙o沒有已知的公共點，又要證明l是⊙o的切線，只需作oa⊥l，a為垂足，證明oa是⊙o的半徑就行了，簡稱：「作垂直；證半徑」
例7 如圖，ab=ac，d為bc中點，⊙d與ab切於e點.
求證：ac與⊙d相切.
證明一：鏈結de，作df⊥ac，f是垂足.
∵ab是⊙d的切線，
de⊥ab.
df⊥ac，
deb=∠dfc=900.
ab=ac，
b=∠c.
又∵bd=cd，
bde≌△cdf（aas）
∴df=de.
∴f在⊙d上.
∴ac是⊙d的切線
證明二：鏈結de，ad，作df⊥ac，f是垂足.
ab與⊙d相切，
de⊥ab.
ab=ac，bd=cd，
1=∠2.
de⊥ab，df⊥ac，
de=df.
f在⊙d上.
ac與⊙d相切.
說明：證明一是通過證明三角形全等證明df=de的，證明二是利用角平分線的性質證明df=de的，這類習題多數與角平分線有關.
例8 已知：如圖，ac，bd與⊙o切於a、b，且ac∥bd，若∠cod=900.
求證：cd是⊙o的切線.
證明一：鏈結oa，ob，作oe⊥cd，e為垂足.
ac，bd與⊙o相切，
ac⊥oa，bd⊥ob.
ac∥bd，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.
∵∠cod=900，
2+∠3=900，∠1+∠4=900.
4+∠5=900.
1=∠5.
rt△aoc∽rt△bdo.
oa=ob，
又∵∠cao=∠cod=900，
∴△aoc∽△odc，
1=∠2.
又∵oa⊥ac，oe⊥cd,
oe=oa.
e點在⊙o上.
cd是⊙o的切線.
證明二：鏈結oa，ob，作oe⊥cd於e，延長do交ca延長線於f.
ac，bd與⊙o相切，
ac⊥oa，bd⊥ob.
ac∥bd，
f=∠bdo.
又∵oa=ob，
aof≌△bod（aas）
of=od.
cod=900，
cf=cd，∠1=∠2.
又∵oa⊥ac，oe⊥cd，
oe=oa.
e點在⊙o上.
cd是⊙o的切線.
證明三：鏈結ao並延長，作oe⊥cd於e，取cd中點f，鏈結of.
ac與⊙o相切，
ac⊥ao.
ac∥bd，
ao⊥bd.
bd與⊙o相切於b，
ao的延長線必經過點b.
ab是⊙o的直徑.
ac∥bd，oa=ob，cf=df，
of∥ac，
1=∠cof.
cod=900，cf=df，
2=∠cof.
1=∠2.
oa⊥ac，oe⊥cd，
oe=oa.
e點在⊙o上.
cd是⊙o的切線
說明：證明一是利用相似三角形證明∠1=∠2，證明二是利用等腰三角形三線合一證明∠1=∠2.證明三是利用梯形的性質證明∠1=∠2，這種方法必需先證明a、o、b三點共線.
以上介紹的是證明圓的切線常用的兩種方法供同學們參考.
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