知識梳理
技巧歸納
【技巧1】 巧用概率問題中的思想方法
數學思想和方法是數學的血液和精髓，是解決數學問題的有利**，是數學的靈魂．
一、樣本估計總體思想
【例1】乙個口袋中裝有10個紅球和若干個黃球．在不允許將球倒出來數的前提下，為估計口袋中黃球的個數，小明採用了如下的方法：每次先從口袋中摸出10個球，求出其中紅球數與10的比值，再把球放回口袋中搖勻．不斷重複上述過程20次，得到紅球數與10的比值的平均數為0.4．根據上述資料，估計口袋中大約有個黃球．
【解析】隨機20次摸出10個球中，其紅球個數所佔比值的平均數近似的等於袋中紅球總數的佔袋中總球數的比值，所以紅球總數與袋中總球數的比值≈0.4即10∶袋中總球數≈0.4，可得袋中總球數≈25．黃球個數≈25－10＝15
【答案】 15
二、方程思想
【變式引申1】不透明的口袋裡裝有紅、黃、藍三種顏色的小球（除顏色外其餘都相同），其中紅球有個，藍球有個，現從中任意摸出乙個是紅球的概率為．
(1)求袋中黃球的個數；
(2)第一次摸出乙個球（不放回），第二次再摸乙個小球，請用畫樹狀圖或列表法求兩次摸到都是紅球的概率；
(3)若規定摸到紅球得分，摸到黃球得分，摸到藍球得分，小明共摸次小球（每次摸個球，摸後放回）得分，問小明有哪幾種摸法？
【分析】(1)設口袋中紅球的個數為未知數,根據白球的概率=列方程求解;
(2) 通過列表或畫樹狀圖來計算兩次都摸到紅球的概率;
(3) 設小明摸到紅球有次，摸到黃球有次，則摸到藍球有次，根據摸到三種球的分數和=20列出關於x、y的二元一次方程,然後討論二元一次方程組的自然數解的個數來確定摸法種數.
【解】(1)設袋中有黃球個,由題意得,解得,故袋中有黃球個；
(2) ∵
∴．(3)設小明摸到紅球有次，摸到黃球有次，則摸到藍球有次，由題意得
，即∴∵、、均為自然數
∴當時，；當時，；當時，．
綜上：小明共有三種摸法：摸到紅、黃、藍三種球分別為次、次、次或次、次、次或次、次、次．
三、分類討論思想
【變式引申2】已知關於x的不等式ax＋3＞0（其中a≠0）．
（1）當a＝－2時，求此不等式的解，並在數軸上表示此不等式的解集；
（2）小明準備了十張形狀、大小完全相同的不透明卡片，上面分別寫有整數－10、－9、－8、－7、－6、－5、－4、－3、－2、－1，將這10張卡片寫有整數的一面向下放在桌面上．從中任意抽取一張，以卡片上的數作為不等式中的係數a，求使該不等式沒有正整數解的概率．
【分析】(1)當a＝－2時,不等式ax＋3＞0為-2x＋3＞0,解之得x＜
(2)當a取－10、－9、－8、－7、－6、－5、－4、－3、－2、－1時分別計算ax＋3＞0的解集,只有當a=－1, －2時,不等式有正整數解,取其它值時,不等式沒有正整數解,所以該不等式沒有正整數解的概率是=.
【解】(1)x＜在數軸上正確表示此不等式的解集如圖所示.
(2)用列舉法
取a=－1，不等式ax+3＞０的解為x＜3，不等式有正整數解.
取a=－2，不等式ax+3＞０的解為x＜,不等式有正整數解.
取a=－3，不等式ax+3＞0的解為x＜1，不等多沒有正整數解.
取a=－4，不等式ax+3＞0的解為x＜,不等式沒有正整數解.
……∴整數a取－3至－10中任意乙個整數時，不等式沒有正整數解.
p（不等式沒有正整數解）==
技巧2 巧解座標系中的概率問題
【例2】如圖9-1，放在平面直角座標系中的正方形abcd的邊長為4，現做如下實驗：拋擲一枚均勻的正四面體骰子(如圖9-2，它有四個頂點，各頂點數分別是1、2、3、4)．每個頂點朝上的機會是相同的，連續拋擲兩次，將骰子朝上的點數作為直角座標系中點p的座標(第一次的點數為橫座標，第二次的點數為縱座標)．
⑴求點p落在正方形面上(含邊界，下同)的概率．
⑵將正方形abcd平移數個單位，是否存在一種平移，使點p落在正方形面上的概率為，若存在，指出其中的一種平移方式，若不存在，說明理由．
【分析】首先可以確定本題屬於「兩步試驗」的概率模型，進而可以借助樹狀圖或列表法求取隨機事件的概率；題（2）具有較強的開放性，給同學們提供了乙個很好的探索空間，探索正方形平移的依據是題（1）中所得到的16個點的座標應有4個點落在平移後的正方形位置上．
【解】（1）用列表法的得出所有可能的結果，如下表：
由表知，該遊戲共有16種結果，其中落在正方形面上（含邊界）的結果有9種，所以點p落在正方形面上（含邊界）的概率為．
（2）這種平移方式是存在的，而且不惟一．如可將正方形abcd先向右平移5個單位，再向上平移2個單位，如圖9-3所示，此時落在正方形面上（含邊界）的結果有4種：（4，1）（4，2）（4，3）（4，4），所以此時點p落在正方形面上（含邊界）的概率恰好為；也可以將正方形abcd先向右平移2個單位，再向上平移5個單位，如圖9-4所示，此時落在正方形面上（含邊界）的結果有四種：（1，4）（2，4）（3，4）（4，4），也符合題意．
.中考名題賞析
【例3】(2010·山西) 哥哥與弟弟玩乙個遊戲：三張大小、質地都相同的卡片上分別標有數字1,2,3，將標有數字的一面朝下，哥哥從中任意抽取一張，記下數字後放回洗勻，然後弟弟從中任意抽取一張，計算抽得的兩個數字之和，如果和為奇數，則弟弟勝；如果和為偶數，則哥哥勝．該遊戲對雙方填「公平」或「不公平」）
【解析】概率的計算．p（奇數）＝，p（偶數）＝.因為p（奇數）＞p（偶數），所以不公平.
【答案】不公平
【點評】遇到是否公平這類題，關鍵是求出概率.本題難度中等，只要細心，很容易拿分．
【例4】(2010·江蘇南通) 小沈準備給小陳打**，由於保管不善，**本上的小陳手機號碼中，有兩個數字已模糊不清．如果用x、y表示這兩個看不清的數字，那麼小陳的手機號碼為139x370y580（手機號碼由11個數字組成），小沈記得這11個數字之和是20的整數倍．
（1）求x+y的值；
（2）求小沈一次撥對小陳手機號碼的概率．
【分析】（1）依條件可列出不定方程，注意x+y是乙個整體，進而討論求解.（2）由於x和y分別都是0到9的正整數，於是通過分類可求解.
【解】（1）因為（n為正整數）
雙因為所以所以即所以，，所以
（2）因為，且所以有，這5種情況，因此，一次撥對小陳手機號的概率為0.2.
【點評】本題對於學生來說有一定的難度，好在取材貼近同學們的生活，同學們也不難想象出解決問題的突破口，只是在具體求解時要注意方程思想、整體思想、分類思想方法的運用.另外，本題凸顯出中考命題對實際教學的導向作用，彰顯了中考的人文精神，為引導和促進學生和諧發展作了有益的嘗試.
【例5】(2010·四川宜賓) 某班舉行演講革命故事的比賽中有乙個**活動．活動規則是：進入最後決賽的甲、乙兩
位同學，每人只有一次**機會，在如圖所示的翻獎牌正面的4個數字中任選乙個數字，選中後可以得到該數字後面的獎品，第一人選中的數字，第二人就不能再選擇該數字．
(1)求第一位**的同學抽中文具與計算器的的概率分別是多少?
(2)有同學認為，如果．甲先抽，那麼他抽到海寶的概率會大些，你同意這種說法嗎?
並用列**或畫樹狀圖的方式加以說明．
【分析】本題是有關概率的計算問題，讀懂題意概率的計算方法有列舉、列表、樹形圖等方法，通過計算可以看到在**中先抽和後抽的概率相同，即獲獎的機會與先後沒有必然的關係．
【解】（1）第一位同學抽中文具的概率是，抽到計算器的概率是．
（2）不同意這種說法．
若是甲先抽，則抽到海寶的概率是；
若乙先抽：樹狀圖如下：
則甲抽到海寶的概率是
所以不管是甲先抽還是乙先抽，甲抽到海寶的概率相等，所以不同意這種說法．
【點評】本題涉及到基本概率的計算，通過列表或樹形圖計算出事件的概率，這是中考的乙個熱點問題，也是必考的知識點，本題考查的知識點較為單一，屬於基礎問題，難度較低．
中考**
【例6】小剛很擅長球類運動.課外活動時，足球隊、籃球隊都力邀他到自己的陣營，小剛左右為難，最後決定通過擲硬幣來確定.遊戲規則如下：
連續拋擲硬幣三次，如果三次正面朝上或三次反面朝上，則由小剛任意挑選兩球隊；如果兩次正面朝上一次正面朝下，則小剛加入足球陣營；如果兩次反面朝上一次反面朝下，則小剛加入籃球陣營.
（1）用畫樹狀圖的方法表示三次拋擲硬幣的所有結果．
（2）小剛任意挑選兩球隊的概率有多大？
（3）這個遊戲規則對兩個球隊是否公平？為什麼？
【分析】（1）連續拋擲硬幣三次，應畫樹狀圖求出所有結果，因此按照要求畫樹狀圖即可；（2）由（1）可求出任意挑選兩球隊的概率；（2）先分別求出加入足球、籃球陣營的概率，若相同則公平，不相同則不公平.
【解】（1）根據題意畫樹狀圖
（2）由樹狀圖可知，共有8種等可能的結果：
正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反.
其中三次正面朝上的或三次反面向上共2種.
所以，p（小剛任意挑選球隊）＝＝
（3）這個遊戲規則對兩個球隊公平.
八下數學《同步練習》10小結與思考
隨堂練習 1 當 時，分式有意義 當 時，分式的值為零。2 不改變分式的值，把分式的分子 分母各項係數都化為整數，得 3 計算 的結果為 a.1 b.1 c.2x y 4 下列約分中，結果正確的是 a.b.x y c.m 1 d.5 計算 12 6 解下列方程 12 課後複習 7 分式與的最簡分公分...
八下數學知識點總結
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八下數學教學計畫自己寫的
一 指導思想 本學期初中數學教研組工作繼續以蘭德學校和初中部的總體工作計畫為指導，積極倡導我校 陽光高效課堂 的 學案導學教學模式，以課堂教學改革為切入口，深入開展教法和學法的研究，探索適應新課程改革的教學模式，全面實施素質教育，全面提高教育質量，就學生的現狀努力提高一分三率，努力培養高素質創新人才...