第一章二次根式（徐旺紅老師整理）
知識點一： 二次根式的概念
二次根式的定義：形如（a≥0）的代數式叫做二次根式。
注：在二次根式中，被開放數可以是數，也可以是單項式、多項式、分式等代數式，但必須注意：因為負數沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知識點二：取值範圍
1. 二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當a≧0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數大於或等於零即可。
2. 二次根式無意義的條件：因負數沒有算術平方根，所以當a﹤0時，沒有意義。
知識點三：二次根式（）的非負性
（）表示a的算術平方根，也就是說，（）是乙個非負數，即0（）。
注：因為二次根式（）表示a的算術平方根，而正數的算術平方根是正數，0的算術平方根是0，所以非負數（）的算術平方根是非負數，即0（），這個性質也就是非負數的算術平方根的性質，和絕對值、偶次方類似。這個性質在解答題目時應用較多，如若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。
知識點四：二次根式（）的性質
（）文字語言敘述為：乙個非負數的算術平方根的平方等於這個非負數。
注：二次根式的性質公式（）是逆用平方根的定義得出的結論。上面的公式也可以反過來應用：若，則，如：，.
知識點五：二次根式的性質
文字語言敘述為：乙個數的平方的算術平方根等於這個數的絕對值。
注：1、化簡時，一定要弄明白被開方數的底數a是正數還是負數，若是正數或0，則等於a本身，即；若a是負數，則等於a的相反數-a,即；
2、中的a的取值範圍可以是任意實數，即不論a取何值，一定有意義；
3、化簡時，先將它化成，再根據絕對值的意義來進行化簡。
知識點六：與的異同點
1、不同點：與表示的意義是不同的，表示乙個正數a的算術平方根的平方，而表示乙個實數a的平方的算術平方根；在中，而中a可以是正實數，0，負實數。但與都是非負數，即，。
因而它的運算的結果是有差別的，，而
2、相同點：當被開方數都是非負數，即時，=；時，無意義，而.
知識點七: 最簡二次根式：必須同時滿足下列條件：
⑴被開方數中不含開方開的盡的因數或因式； ⑵被開方數中不含分母； ⑶分母中不含根式。滿足這三個條件的二次根式稱為最簡二次根式。
知識點八: 同類二次根式：
化成最簡二次根式後，被開方數相同的幾個二次根式稱為同類二次根式。
知識點九: 二次根式的運算：
（1）因式的外移和內移：如果被開方數中有的因式能夠開得盡方，那麼，就可以用它的算術根代替而移到根號外面；如果被開方數是代數和的形式，那麼先解因式，變形為積的形式，再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的正因式平方後移到根號裡面．
（2）二次根式的加減法：需要先把二次根式化簡，然後把被開方數相同的二次根式（即同類二次根式）的係數相加減，被開方數不變。
注意：對於二次根式的加減，關鍵是合併同類二次根式，通常是先化成最簡二次根式，再把同類二次根式合併．但在化簡二次根式時，二次根式的被開方數應不含分母，不含能開得盡的因數．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開方數相乘（除），所得的積（商）仍作積（商）的被開方數並將運算結果化為最簡二次根式．
二次根式的乘法：
二次根式的除法：
注意：乘、除法的運算法則要靈活運用，在實際運算中經常從等式的右邊變形至等式的左邊，同時還要考慮字母的取值範圍，最後把運算結果化成最簡二次根式．
強調：二次根式具有雙重非負性。
（4）二次根式的混合運算：
先乘方（或開方），再乘除，最後加減，有括號的先算括號裡面的；能利用運算律或乘法公式進行運算的，可適當改變運算順序進行簡便運算．
注意：進行根式運算時，要正確運用運算法則和乘法公式，分析題目特點，掌握方法與技巧，以便使運算過程簡便．二次根式運算結果應盡可能化簡．另外，根式的分數必須寫成假分數或真分數，不能寫成帶分數．例如不能寫成．
（5）有理化因式：
一般常見的互為有理化因式有如下幾類：
①與； ②與；
③與； ④與．
說明：利用有理化因式的特點可以將分母有理化．
（6）分母有理化：
分母有理化也稱為有理化分母。就是將分母含有根號的代數式變成分母不含根號的代數式，這個過程叫做分母有理化。
(1)形如： 或
(2)形如： 或
7.關於具有雙重根號的二次根式。
如：,二.重點和難點：
重點：二次根式的運算。
難點：1.混合運算以及應用。
2.二次根式的內移和外移。
3.二次根式的大小比較。
【難點指導】
1、如果是二次根式，則一定有；當時，必有；
2、當時，表示的算術平方根，因此有；反過來，也可以將乙個非負數寫成的形式；
3、表示的算術平方根，因此有，可以是任意實數；
4、區別和的不同：
中的可以取任意實數，中的只能是乙個非負數，否則無意義．
5、簡化二次根式的被開方數，主要有兩個途徑：
（1）因式的內移：因式內移時，若，則將負號留在根號外．即：．
（2）因式外移時，若被開數中字母取值範圍未指明時，則要進行討論．即：
6、二次根式的比較：
（1）若，則有；（2）若，則有．
說明：一般情況下，可將根號外的因式都移到根號裡面去以後再比較大小．
考點題型：
1．分式概念（選擇、填空）（3－4分）
2．利用分式性質進行約分、通分（選擇、填空）（8—10分）
3．分式的運算（選擇、填空、解答）
4．分式的化簡、求值（選擇、填空、解答）（3-10分）
5．二次根式的概念和性質（選擇、填空）（4分）
6．二次根式的化簡與求值（選擇、填空、解答）（3-8分）
第二章一元二次方程（蒲玲愛老師整理）
一、教材內容
1．本單元教學的主要內容．
一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程應用題．
2．本單元在教材中的地位與作用．
一元二次方程是在學習《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基礎之上學習的，它也是一種數學建模的方法．學好一元二次方程是學好二次函式不可或缺的，是學好高中數學的奠基工程．應該說，一元二次方程是本書的重點內容．
二、教學重點
1．一元二次方程及其它有關的概念．
2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．
3．利用實際問題建立一元二次方程的數學模型，並解決這個問題．
三、教學難點
1．一元二次方程配方法、十字相乘法解題．
2．用公式法解一元二次方程時的討論．
3．建立一元二次方程實際問題的數學模型；方程解與實際問題解的區別．
四、教學關鍵
1．分析實際問題如何建立一元二次方程的數學模型．
2．用配方法解一元二次方程的步驟．
3．解一元二次方程公式法的推導．
五、知識點：
1. 定義：形如的方程叫做一元二次方程，其中，a 叫做二次項係數，bx叫做一次項，b叫做一次項係數，c叫做常數項。
例：若方程是關於x的一元二次方程，則（ ）
a． b．m=2 c．m= —2 d．
2.一元二次方程的解法：
（1）直接開平方法；（2）因式分解分（提公因式法、乘法公式法、十字相乘法）；（3）配方法；（4）求根公式法;（5）換元法。
例：按要求解方程
（1）用配方法解方程：x2 —4x+1=0 （2）用公式法解方程：3x2+5(2x+1)=0
3.一元二次方程根的判別式：△= .
△>0,方程有兩個不相等的實數根；△=0 ，方程有兩個相等的實數根；△<0，方程無實數根。
例1．如果關於x的方程ax 2+x–1= 0有實數根，則a的取值範圍是（ ）
a．a＞– b．a≥– c．a≥–且a≠0 d．a＞–且a≠0
例2．若t是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關係是（ ）
a.△=m b. △>m c. △4.韋達定理：
例1：（8分）設x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的兩個實根，當m為何值
時，x12+x22有最小值？並求這個最小值。
例2：若乙個三角形的三邊長均滿足方程x2-6x+8=0，則此三角形的周長為 _______
5.可化為一元二次方程的分式方程。（分式方程要驗根）
例：；例：.某商店如果將進價為每件8元的某種商品按每件10元**，每天可銷售100件。
為了增加利潤，該商店決定提高售價，但該商品單價每提高1元，銷售量要減少10件。問當售價定為多少時，才能使每天的利潤最大？並求最大利潤。
7、一元二次方程和二次函式之間的關係
例1. 當m為何值時，拋物線與x軸有兩個交點，有乙個交點，無交點。
例2. 已知二次函式與x軸有兩個交點，求m的取值範圍。
8、一元二次方程應用題
例1.．如圖，ao=ob=50cm，oc是一條射線，oc⊥ab，乙隻螞蟻由a以2cm/s速度向b爬行，同時另乙隻螞蟻由o點以3cm/s的速度沿oc方向爬行，幾秒鐘後，兩隻螞蟻與o點組成的三角形面積為450cm2？
六、易錯點分析：
易錯點一：（概念）
1) 判斷方程是否為一元二次方程時，忽略二次項係數不為「0」.
如：下列關於x的方程中，是一元二次方程的有--------
① ax2+bx+c = 0x2+ 3／x -5=0
③ 2x2-x-3 = 0x2-2+x3 = 0
2) 注意本單元在學習概念時，注意聯絡實際，加深對概念的理解與應用，避免就概念理解概念。
如：已知關於x的方程（m-n）x2 + mx+n=0，(m≠0),你認為：
①當m和n滿足什麼關係時，該方程為一元二次方程？
②當m和n滿足什麼關係時，該方程為一元一次方程？
3) 沒有化成一般形式，混淆a、b、c.
易錯點二：（解法）
（1） 因式分解法沒注意方程沒有寫成a*b=0形式。
如，解方程（x-1）(x-3)=8, 誤解為 x1=1, x2=3.
(2) 用公式法解方程時，沒有化為一般式，造成符號錯誤或混淆a、b、c。
浙教版八下數學知識點 版
浙教版八下數學各章節知識點及重難點 第一章二次根式 林海老師整理 知識點一 二次根式的概念 二次根式的定義 形如 a 0 的代數式叫做二次根式。注 在二次根式中，被開放數可以是數，也可以是單項式 多項式 分式等代數式，但必須注意 因為負數沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，等是二次根式，而，...
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