中考衝刺：觀察、歸納型問題—知識講解（基礎）
【中考展望】
主要通過觀察、實驗、歸納、模擬等活動，探索事物的內在規律，考查學生的邏輯推理能力，一般以解答題為主．歸納猜想型問題在中考中越來越被命題者所注重.
這類題要求根據題目中的圖形或者數字，分析歸納，直觀地發現共同特徵，或者發展變化的趨勢，據此去**估計它的規律或者其他相關結論，使帶有猜想性質的推斷盡可能與現實情況相吻合，必要時可以進行驗證或者證明，以此體現出猜想的實際意義.
【方法點撥】
觀察、歸納猜想型問題對考生的觀察分析能力要求較高，經常以填空等形式出現，解題時要善於從所提供的數字或圖形資訊中，尋找其共同之處，這個存在於個例中的共性，就是規律.其中蘊含著「特殊——一般——特殊」的常用模式，體現了總結歸納的數學思想，這也正是人類認識新生事物的一般過程.相對而言，猜想結論型問題的難度較大些，具體題目往往是直觀猜想與科學論證、具體應用的結合，解題的方法也更為靈活多樣：
計算、驗證、模擬、比較、測量、繪圖、移動等等，都能用到.
考查知識分為兩類：①是數字或字母規律探索型問題；②是幾何圖形中規律探索型問題．
1．數式歸納
題型特點：通常給定一些數字、代數式、等式或不等式，然後觀察猜想其中蘊含的規律，歸納出用某一字母表示的能揭示其規律的代數式或按某些規律寫出後面某一項的數或式子．
解題策略：一般是先寫出數或式的基本結構，然後通過橫比(比較同一等式中不同部分的數量關係)或縱比(比較不同等式間相同位置的數量關係)找出各部分的特徵，改寫成要求的格式．
2．圖形變化歸納
題型特點：觀察給定圖形的擺放特點或變化規律，歸納出下乙個圖形的擺放特點或變化規律，或者能用某一字母的代數式揭示出圖形變化的個數、面積、周長等規律特點．
解題策略：多方面、多角度進行觀察比較得出圖形個數、面積、周長等的通項，再分別取n＝1，2，3…代入驗證，都符合時即為正確結論．
【典型例題】
型別一、數式歸納
1．試觀察下列各式的規律，然後填空：；；
；…；則【思路點撥】
根據前幾個等式的規律，不難得出…．
【答案與解析】
答案：.
【總結昇華】
此題歸納方法很多，注意每行數字的變化規律和符號規律．
舉一反三：
【變式1】觀察下列各式：
(x－1)(x＋1)＝x2－1；
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1；
(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1；
… … …
(1)根據規律填空 (x－1)(xn＋xn－1＋…＋x＋1
(2)根據規律計算 2100＋299＋298+297+…+22+2 +1＝ .
【答案】(1) xn＋1－1；(2) 2101－1.
【變式2】按一定規律排列的一列數依次為： 按此規律排列下去，這列數中的第5個數是 ，第n個數是
【答案】
型別二、圖形變化歸納
2．如圖所示，是乙個裝飾物品連續旋轉閃爍所成的三個圖形，照此規律閃爍，下乙個呈現出來的圖形是( )
abcd
【思路點撥】
題目中裝飾物品旋轉閃爍所成的三個圖形的規律是，陰影部分從左到右是順時針每隔乙個格閃爍一次.
【答案與解析】
解：根據本題圖形圓中兩個陰影的位置不斷變化的規律(每閃爍一次都向順時針方向轉動2個格)可得答案為b．
【總結昇華】
找到圖形的變化規律是解題的關鍵.
舉一反三：
【變式1】如圖是今年元宵花燈展中一款五角星燈連續旋轉閃爍所成的三個圖形，照此規律閃爍，下乙個呈現出來的圖形是（ ）
abcd．
【答案】a.
3．若圖1中的線段長為1，將此線段三等分，並以中間的一段為邊作等邊三角形，然後去掉這一段，得到圖2，再將圖2中的每一段作類似變形，得到圖3，按上述方法繼續下去得到圖4，則圖4中的折線的總長度為（ ）
a.2 b. c. d.
【思路點撥】
當n=2時，折線的長度為：1+=；當n=3時，折線的長度為：+×=；當n=4時，折線的長度為：+×=，從而可求出折線的總長度．
【答案與解析】
解：由題意得：當n=2時，折線的長度為：1+=；
當n=3時，折線的長度為：+×=；
當n=4時，折線的長度為：+×=．
故選d．
【總結昇華】
此題考查的知識點是圖形數字的變化類問題，同時考查學生分析歸納問題的能力，其關鍵是讀懂題意，找出規律．
型別三、數值、數量結果歸納
4．在平面直角座標系xoy中，我們把橫、縱座標都是整數的點叫做整點．已知點a（0，4），點b是x軸正半軸上的整點，記△aob內部（不包括邊界）的整點個數為m．當m=3時，點b的橫座標的所有可能值是 ；當點b的橫座標為4n（n為正整數）時，m用含n的代數式表示）．
【思路點撥】
根據題意畫出圖形，再找出點b的橫座標與△aob內部（不包括邊界）的整點m之間的關係即可求出答案．
【答案與解析】
解：如圖：
當點b在（3，0）點或（4，0）點時，△aob內部（不包括邊界）的整點為（1，1）（1，2）（2，1），共三個點，所以當m=3時，點b的橫座標的所有可能值是3或4；
因為△aob內部（不包括邊界）的整點個數=[（點b的橫座標-1）×（點a的縱座標-1）-3]÷2，
所以當點b的橫座標為4n（n為正整數）時，m=[（4n-1）×（4-1）-3]÷2=6n-3；
故答案為：3或4，6n-3．
【總結昇華】此題考查了點的座標，關鍵是根據題意畫出圖形，找出點b的橫座標與△aob內部（不包括邊界）的整點m之間的關係，考查數形結合的數學思想方法．
【變式】如圖，用火柴棍拼成一排正方形圖形，如果圖形中含有1、2、3或4個正方形，分別需要多少根火柴棍？如果圖形中含有n個正方形，需要多少根火柴棍？
【答案】
1個正方形：4根；
2個正方形：7根；
3個正方形：10根；
4個正方形：13根；
n個正方形：（3n+1）根.
型別四、數形歸納
5．在一平直河岸同側有a，b兩個村莊，a，b到的距離分別是3 km和2 km，ab＝a km(a＞1)．現計畫在河岸上建一抽水站p，用輸水管向兩個村莊供水．
方案設計
某班數學興趣小組設計了兩種鋪設管道方案：如圖①所示是方案一的示意圖，設該方案中管道長度為d1 (km)，且(km)(其中bp⊥l於點p)；如圖②所示是方案二的示意圖，設該方案中管道長度為d2，且(km)(其中點a′與點a關於對稱，a′b與交於點p)．
觀察計算
(1)在方案一中，d1＝________km(用含a的式子表示)；
(2)在方案二中，組長小宇為了計算d2的長，作了如圖③所示的輔助線，請你按小宇同學的思路計算，d2＝________km(用含a的式子表示)．
探索歸納
(1)①當a＝4時，比較大小：d1________d2(填「＞」、「＝」或「＜」)；
②當a＝6時，比較大小：d1________d2(填「＞」、「＝」或「＜」)；
(2)請你參考方框中的方法指導，就a(當a＞1時)的所有取值情況進行分析，要使鋪設的管道長度較短，應選擇方案一還是方案二?
【思路點撥】
觀察計算：
（1）由題意可以得知管道長度為d1=pb+ba（km），根據bp⊥於點p得出pb=2，故可以得出d1的值為a+2．
（2）由條件根據勾股定理可以求出kb的值，由軸對稱可以求出′k的值，在rt△kba′由勾股定理可以求出a′b的值就是管道長度．
探索歸納：
（1）①把a=4代入d1=a+2和d2=就可以比較其大小；
②把a=6代入d1=a+2和d2=就可以比較其大小；
（2）分類進行討論當d1＞d2，d1=d2，d1＜d2時就可以分別求出a的範圍，從而確定選擇方案．
【答案與解析】
解：觀察計算
(1)a+2；(2)．
探索歸納
(1)①＜；②＞．
(2)．
①當4a-20＞0，即a＞5時，，
∴．∴；
②當4a-20＝0，即a＝5時，，
∴．∴d1＝d2；
③當，即a＜5時，，
∴．∴．
綜上可知：當a＞5時，選方案二；
當a＝5時，選方案一或方案二；
當l＜a＜5時，選方案一．
【總結昇華】
本題根據課本中所熟知的背景，打破原有的條條框框，開展**性學習，最後通過科學的計算，推導出新的結論，即當1＜a＜5時選方案一，體現了平時教學中，學生開展課題學習，培養質疑精神的可貴．
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