方案設計型問題
一、考法分析
方案設計型問題是指應用數學基礎知識建模的方法，來按題目所呈現的要求進行計算，論證，選擇，判斷，設計的一種數學試題。縱觀近年來各地的中考試題，涉及方案設計與應用的試題大量湧現，它在考查學生數學創新應用能力方面可謂獨樹一幟，新穎別緻．本文從歷年中考試題中，篩選出與之有關的部分題目，對其方案設計型別進行歸類**，以供參考．
二、例題分析
（一）、利用方程（組）進行方案設計
例１ 「利海」通訊器材商場，計畫用60000元從廠家購進若幹部新型手機，以滿足市場需求，已知該廠家生產三種不同型號的手機，出廠價分別為：甲種型號手機每部1800元，乙種型號手機每部600元，丙種型號手機每部1200元．
（１）若商場同時購進其中兩種不同型號的手機共40部，並將60000元恰好用完，請你幫助商場計算一下如何購買．
（２）若商場同時購進三種不同型號的手機共40部，並將60000元恰好用完，並且要求乙種型號手機的購買數量不少於6部且不多於8部，請你求出商場每種型號手機的購買數量．
解：（１）設甲種型號手機要購買ｘ部，乙種型號手機購買ｙ部，丙種型號手機購買ｚ部，根據題意，得：
①ｘ＋ｙ＝401800 ｘ＋600ｙ＝60000，解得
ｘ＝30ｙ＝10
②ｘ＋ｚ＝401800 ｘ＋1200ｚ＝60000，解得
ｘ＝20ｚ＝20
③ｙ＋ｚ＝40600 ｙ＋1200ｚ＝60000，解得
ｙ＝－20 ｚ＝60（不合題意捨去）
答：有兩種購買方案：甲種手機購買30部，乙種手機購買10部；甲種手機購買20部，乙種手機購買20部．
（２）根據題意，得：
ｘ＋ｙ＋ｚ＝401800 ｘ＋600ｙ＋1200 ｚ＝60000 6≤ｙ≤8
解得ｘ＝26 ｙ＝6 ｚ＝8或ｘ＝27 ｙ＝7 ｚ＝6或ｘ＝28 ｙ＝8 ｚ＝4
答：若甲種型號手機購買26部手機，則乙種型號手機購買6部，丙種型號手機購買８部；若甲方型號手機購買27部，則乙種型號手機購買7部，丙種型號手機購買6部；若甲方型號手機購買28部，則乙種型號手機購買8部，丙種型號手機購買4部．
例2某校組織360名師生去參觀三峽工程建設，如果租用甲種客車若干輛，則剛好坐滿；若租用乙種客車可少租1輛，且餘40個空座位。
（1）已知甲種客車比乙種客車少20個座位，求甲、乙兩種客車各有多少座位？
（2）已知甲種客車租金是每輛400元，乙種客車租金是每輛480元，這次參觀同時租用這兩種客車，其中甲種客車比乙種客車少租1輛，所用租金比單獨租用任何一種客車要節省，按這種方案需用租金多少元？
解 （1）設甲種客車有x個座位，則乙種客車有（x＋20）個座位，
依題意，得。
整理，得 x2＋600x－7200＝0
解得 x1＝60，x2＝－120（不合題意，捨去）
答：甲種客車有60個座位，乙種客車有80個座位。
（2）設租用甲種客車y輛，則租用乙種客車（y＋1）輛，由於單獨租用甲種客車需6輛，單獨租用乙種客車需5輛，租金都是2400元，依題意，得
400y＋480（y＋1）＜2400
∴ y＜，y的正整數值（車輛數）為1或2，
當y＝1時，y＋1＝2，則60×1＋80×2＝220＜360，不合題意。
當y＝2時，y＋1＝3，則60×2＋80×3＝360。
此時租金為400×2＋480×2＝2240（元）。
剖析 本題是考查學生對實際問題的資料處理和計算能力，重在讀懂題目，理解題意和弄清數量關係，通過閱讀將實際問題分析，抽象，轉化為相關的代數式，進而列出方程或不等式，最終解答數學問題。
（二）、利用不等式進行方案設計
例1光華農機租賃公司共有50臺聯合收割機，其中甲型20臺，乙型30臺，現將這50臺聯合收割機派往ａ、ｂ兩地區收割小麥，其中30台派往ａ地區，20台派往ｂ地區．
兩地區與該農機租賃公司商定的每天的租賃**見下表：每台甲型收割機的租金每台乙型收割機的租金ａ地區1800元1600元ｂ地區1600元1200元
（１）設派往ａ地區ｘ臺乙型聯合收割機，租賃公司這50臺聯合收割機一天獲得的租金為ｙ（元），求ｙ與ｘ間的函式關係式，並寫出ｘ的取值範圍．
（２）若使農機租賃公司這50臺聯合收割機一天獲得的租金總額不低於79600元，說明有多少種分派方案，並將各種方案設計出來．
（３）如果要使這50召聯合收割機每天獲得的租金最高，請你為光華農機租賃公司提出一條合理建議．
解：（１）若派往ａ地區的乙型收割機為ｘ臺，則派往ａ地區的甲型收割機為（３０－ｘ）臺；派往ｂ地區的乙型收割機為（３０－ｘ）臺，派往ｂ地區的甲型收割機為（ｘ－１０）臺．
的取值範圍是是正整數）
（２）由題意得
解不等式，得ｘ≥２８，由於１０≤ｘ≤３０，
∴ｘ取２８，２９，３０這三個值
∴有３種不同分配方案．
①當ｘ＝２８時，即派往ａ地區甲型收割機２臺，乙型收割機２８臺；派往ｂ地區甲型收割機１８臺，乙型收割機２臺．
②當ｘ＝２９時，即派往ａ地區甲型收割機１臺，乙型收割機２９臺；派往ｂ地區甲型收割機１９臺，乙型收割機１臺．
③當ｘ＝３０時，即３０臺乙型收割機全部派往ａ地區；２０臺甲型收割機全部派往ｂ地區．
（３）由於一次函式的值ｙ是隨著ｘ的增大而增大，所以，當ｘ＝３０時，ｙ取得最大值，如果要使農機租賃公司這５０臺聯合收割機每天獲得租金最高，只需ｘ＝３０，此時
建議農機租賃公司交３０臺乙型收割機全部派往ａ地區；２０臺甲型收割機全部派往ｂ地區，可使公司獲得的租金最高．
例2某園林的門票每張10元，一次使用，考慮到人們的不同需求，也為了吸引更多的遊客，該園林保留原來的售票方法外，還推出了一種「購買個人年票」的售票方法（個人年票從購買日起，票可供持票者使用一年），年票分a、b、c三類：a類年票每張120元，持票者進入園林時，無需再購買門票；b類年票每60元，持票者進入園林時，需再購買門票，每次2元；c類門票每張40元，持票者進入園林時，需再購買門票，每次3元。
（1）如果你只選擇一種購買門票的方式，並且你計畫在一年中用80元花在該園林的門票上，試通過計算，找出可使進入該園林的次數最多的購票方式。
（2）求一年中進入該園林至少超過多少次，購買a類年票比較合算。
解 （1）不可能選a類年票。
若選b類年票，則＝10（次）；
若選c類年票，則＝13.3（次）；
若不購買年票，則＝8（次）。
所以計畫用80元花在該園林的門票上時，選購買c類年票進入園林的次數最多，為13次較合算．
（2）設至少超過x次時，購買a類年票比較合算。
則，解之得
所以一年中進入該園林至少超過30次，購買a類年票比較合算。
（三）、利用函式進行方案設計
例1某市的ａ縣和ｂ縣春季育苗，急需化肥分別為９０噸和６０噸，該市的ｃ縣和ｄ縣分別儲存化肥１００噸和５０噸，全部調配給ａ縣和ｂ縣，已知ｃ、ｄ兩縣運化肥到ａ、ｂ兩縣的運費（元／噸）如下表所示．出發地運費ｃｄ目的地
（１）設ｃ縣運到ａ縣的化肥為ｘ噸，求總運費ｗ（元）與ｘ（噸）的函式關係式，並寫出自變數ｘ的取值範圍．
（２）求最低總運費，並說明運費最低時的運送方案．
解：（１）由ｃ縣運往ａ縣的化肥為ｘ噸，則ｃ縣運往ｂ縣的化肥為（１００－ｘ）噸，ｄ縣運ａ縣的化肥為（９０－ｘ）噸，ｄ縣運往ｂ縣的化肥為（ｘ－４０）噸，依題意
（２）∵ｗ隨著ｘ的減小而減小
當ｘ＝４０時，ｗ最小元）
運費最低時，ｘ＝４０，故
運送方案為：ｃ縣的１００噸化肥４０噸運往ａ縣，６０噸運往ｂ縣，ｄ縣的５０噸化肥全部運往ａ縣．
例2某校辦工廠生產了一批新產品，現有兩種銷售方案。
方案一：在這學期開學時售出該批產品，可獲利30000元，然後將該批產品的成本（生產該批產品支出的總費用）和已獲利30000進行再投資。到這學期結束時再投資又可獲利4.8%；
方案二：在這學期結束時售出該批產品，可獲利35940元，但要付成本的0.2%的作保管費。
（1）該批產品的成本為x元，方案一獲利y1元，方案二的獲利為y2元，分別求出y1、y2與x的函式關係式；
（2）當該批產品的成本是多少元時，方案一與方案二的獲利一樣的？
（3）就成本x元，討論該方案一好、還是方案二好。
解 ：（1）y1＝30000＋（30000＋x）×4.8%；
y2＝35940－0.2%·x
即 y1＝31440＋0.048x； y2＝35940－0.002x。
（2）令y1＝y2，則31440＋0.048x＝35940－0.002x。
解得 x＝90000
答：當該批產品的成本是90000元時，方案一與方案二的獲利一樣的。
（3）令y1＞y2，即31440＋0.048x＞35940－0.002x。
解得 x＞90000，
令y1＜y2，即31440＋0.048x＜35940－0.002x。
解得 x＜90000，
答：當產品成本大於90000元時，選擇方案一好。當產品成本小於90000元時，選擇方案二好。
剖析 ：分類討論是一種重要的教學思想方法，本題是市場方案設計分類，所以它更具有鮮明的時代特色。
（四）、通過計算比較進行方案設計
例４居民樓的採光是人們購買樓房時關心的乙個重要問題，冬至是一年中太陽光相對地球北半球位置最低的時刻，只要此時樓房的最低層能採到陽光，一年四季整座樓均能受到陽光的照射，寧夏地區冬至時陽光與地面所成的角約為３０°，如圖所示，現有ａ、ｂ、ｃ、ｄ四種設計方案提供的居民樓的高ｈ（公尺）與樓間距ｌ（公尺）的資料，如下表所示，僅就圖中居民樓乙的採光問題，你認為哪種方案設計較為合理，並說明理由．
解：根據題意：
設計合理的樓房應滿足
∵對於ａ方案
對於ｂ方案
對於ｃ方案
對於ｄ方案
∴ｃ方案設計較為合理．
三、練習
1、遼南素以「蘋果之鄉」著稱，某鄉組織20輛車裝運a、b、c三種蘋果到外地銷售，按規定每輛車只裝同一種蘋果，且必須裝滿。每種蘋果不少於2車。
（1）設有x輛車裝運a種蘋果，用y輛車裝運b種蘋果，根據下表提供的資訊求y與x之間的函式關係式，並求出x的取值範圍；
（2）設此外銷活動的利潤為w（百元），求w與x之間的函式關係式以及最大利潤，並安排相應的車輛分配方案。
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