專題四方案設計型問題
型別一通過計算比較進行方案設計
(2017·山東煙台中考)今年，我市某中學響應****「足球進校園」的號召，開設了「足球大課間」活動，現需要購進100個某品牌的足球供學生使用．經調查，該品牌足球2023年單價為200元，2023年單價為162元．
(1)求2023年到2023年該品牌足球單價平均每年降低的百分率；
(2)選購期間發現該品牌足球在兩個文體用品商場有不同的**方案：
試問去哪個商場購買足球更優惠？
【分析】(1)設2023年到2023年該品牌足球單價平均每年降低的百分率為x，根據2023年及2023年該品牌足球的單價，即可得出關於x的一元二次方程，解之取其小於1的值即可得出結論；
(2)根據兩**的**方案，分別求出在兩**購買100個該品牌足球的總費用，比較後即可得出結論．
【自主解答】
1．(2018·四川綿陽中考)有大小兩種貨車，3輛大貨車與4輛小貨車一次可以運貨18噸，2輛大貨車與6輛小貨車一次可以運貨17噸．
(1)請問1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運貨多少噸？
(2)目前有33噸貨物需要運輸，貨運公司擬安排大小貨車共計10輛，全部貨物一次運完．其中每輛大貨車一次運貨花費130元，每輛小貨車一次運貨花費100元，請問貨運公司應如何安排車輛最節省費用？
型別二利用方程進行方案設計
(2018·黑龍江齊齊哈爾中考)某抗戰紀念館館長找到大學生團幹部小張，聯絡青年志願者在週日參與活動，活動累計56個小時的工作時間，需要每名男生工作5個小時，每名女生工作4個小時，小張可以安排學生參加活動的方案共有( )
a．1種b．2種c．3種d．4種
【分析】設安排女生x人，安排男生y人，由「累計56個小時的工作時間」列出方程求得正整數解．
【自主解答】
2．(2018·黑龍江龍東地區中考)為獎勵消防演練活動中表現優異的同學，某校決定用1 200元購買籃球和排球，其中籃球每個120元，排球每個90元，在購買資金恰好用盡的情況下，購買方案有( )
a．4種 b．3種 c．2種 d．1種
型別三利用不等式進行方案設計
(2018·湖南婁底中考)「綠水青山，就是金山銀山」．某旅遊景區為了保護環境，需購買a，b兩種型號的垃圾處理裝置共10臺．已知每台a型裝置日處理能力為12噸；每台b型裝置日處理能力為15噸；購回的裝置日處理能力不低於140噸．
(1)請你為該景區設計購買a，b兩種裝置的方案；
(2)已知每台a型裝置**為3萬元，每台b型裝置**為4.4萬元．廠家為了**產品，規定貨款不低於40萬元時，則按9折優惠；問：採用(1)設計的哪種方案，使購買費用最少，為什麼？
【分析】(1)設購買a種裝置x臺，則購買b種裝置(10－x)臺，根據購回的裝置日處理能力不低於140噸列出不等式，求出解集，再根據x為正整數求解即可；
(2)分別求出各方案實際購買費用，比較即可求解．
【自主解答】
此類題型利用方程、不等式的相關知識，建立相應的數學模型，找到方程(組)的解和不等式(組)的解集，確定未知數的具體數值．未知數有幾個值，即有幾種方案．有時結合函式應用，進行方案最優化設計．
3．(2018·山東濟寧中考)「綠水青山就是金山銀山」，為保護生態環境，a，b兩村準備各自清理所屬區域養魚網箱和捕魚網箱，每村參加清理人數及總開支如下表：
(1)若兩村清理同類漁具的人均支出費用一樣，求清理養魚網箱和捕魚網箱的人均支出費用各是多少元；
(2)在人均支出費用不變的情況下，為節約開支，兩村準備抽調40人共同清理養魚網箱和捕魚網箱，要使總支出不超過102 000元，且清理養魚網箱人數小於清理捕魚網箱人數，則有哪幾種分配清理人員方案？
型別四利用函式進行方案設計
(2018·天津中考)某游泳館每年夏季推出兩種游泳付費方式，方式一：先購買會員證，每張會員證100元，只限本人當年使用，憑證游泳每次再付費5元；方式二：不購買會員證，每次游泳付費9元．
設小明計畫今年夏季游泳次數為x(x為正整數)．
(1)根據題意，填寫下表：
(2)若小明計畫今年夏季游泳的總費用為270元，選擇哪種付費方式，他游泳的次數比較多？
(3)當x＞20時，小明選擇哪種付費方式更合算？並說明理由．
【分析】(1)根據題意可以將**中空缺的部分補充完整；
(2)根據題意可以求得當費用為270元時，兩種方式下的游泳次數；
(3)根據題意可以計算出x在什麼範圍內，哪種付費更合算．
【自主解答】
函式方案設計是指由題目提供的背景材料或圖表資訊，先確定函式表示式，再利用函式圖象的性質獲得解決問題的具體方法．解決此類問題的難點主要是正確確定函式表示式，關鍵還要熟悉函式的性質及如何通過不等式確定函式自變數的取值範圍．
4．(2017·天津中考)用a4紙影印檔案，在甲影印店不管一次影印多少頁，每頁收費0.1元．在乙影印店影印同樣的檔案，一次影印頁數不超過20時，每頁收費0.12元；一次影印頁數超過20時，超過部分每頁收費0.
09元．
設在同一家影印店一次影印檔案的頁數為x(x為非負整數)．
(1)根據題意，填寫下表：
(2)設在甲影印店影印收費y1元，在乙影印店影印收費y2元，分別寫出y1，y2關於x的函式關係式；
(3)當x＞70時，顧客在哪家影印店影印花費少？請說明理由．
型別五有關圖形的方案設計型問題
在數學活動課上，王老師發給每位同學一張半徑為6個單位長度的圓形紙板，要求同學們：
(1)從帶刻度的三角板、量角器和圓規三種作圖工具中任意選取作圖工具，把圓形紙板分成面積相等的四部分；
(2)設計的整個圖案是某種對稱圖形．
王老師給出了方案一，請你用所學的知識再設計兩種方案，並完成下面的設計報告．
【分析】根據圓的面積公式以及軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義分別分析得出即可．
【自主解答】
圖形方案設計題，它擺脫了傳統的簡單作圖，把對作圖的技能的考查放在乙個實際生活的大背景下，從而考查了學生的綜合創新能力，給同學們的創造性思維提供了廣闊的空間與平台．此類題常利用某些規則的圖形，如等腰三角形、菱形、矩形、圓等，利用圖形的性質，或利用軸對稱和中心對稱等，拼出符合某些條件的圖形．
5．(2018·山東德州中考)再讀教材：
寬與長的比是(約為0.618)的矩形叫做**矩形，**矩形給我們以協調、勻稱的美感，世界各國許多著名的建築，為取得最佳的視覺效果，都採用了**矩形的設計．下面，我們用寬為2的矩形紙片摺疊**矩形．(提示：mn＝2)
第一步，在矩形紙片一端，利用圖1的方法折出乙個正方形，然後把紙片展平；
第二步，如圖2，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平；
第三步，折出內側矩形的對角線ab，並把ab折到圖3中所示的ad處；
第四步，展平紙片，按照所得的點d摺出de，使de⊥nd，則圖4中就會出現**矩形．
問題解決：
(1)圖3中ab＝ (保留根號)；
(2)如圖3，判斷四邊形badq的形狀，並說明理由；
(3)請寫出圖4中所有的**矩形，並選擇其中乙個說明理由．
實際操作：
(4)結合圖4，請在矩形bcde中新增一條線段，設計乙個新的**矩形，用字母表示出來，並寫出它的長和寬．
參***
型別一【例1】 (1)設2023年到2023年該品牌足球單價平均每年降低的百分率為x，根據題意得200×(1－x)2＝162，
解得x＝0.1＝10%或x＝1.9(捨去)．
答：2023年到2023年該品牌足球單價平均每年降低的百分率為10%.
(2)100×＝≈91(個)，
在a**需要的費用為162×91＝14 742(元)，
在b**需要的費用為162×100×＝14 580(元)．
14 742＞14 580.
答：去b商場購買足球更優惠．
變式訓練
1．解：(1)設1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運貨x噸和y噸．根據題意可得
解得答：1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運貨4噸和1.5噸．
(2)設貨運公司擬安排大貨車m輛，則安排小貨車(10－m)輛．
根據題意可得4m＋1.5(10－m)≥33，
解得m≥7.2，令m＝8，
大貨車運費高於小貨車，故用大貨車少費用就小．
則安排方案為大貨車8輛，小貨車1輛．
型別二【例2】 設安排女生x人，安排男生y人．
依題意得4x＋5y＝56，則x＝.
當y＝4時，x＝9.
當y＝8時，x＝4.
當y＝0時，x＝14.
即安排女生9人，安排男生4人；
安排女生4人，安排男生8人；
安排女生14人，安排男生0人．
共有3種方案．故選c.
變式訓練
2．b型別三【例3】 (1)設購買a種裝置x臺，則購買b種裝置(10－x)臺．
根據題意得12x＋15(10－x)≥140，
解得x≤3.
∵x為非負整數，
∴x＝0，1，2，3，
∴該景區有四種設計方案：
方案一：購買a種裝置0臺，b種裝置10臺；
方案二：購買a種裝置1臺，b種裝置9臺；
方案三：購買a種裝置2臺，b種裝置8臺；
方案四：購買a種裝置3臺，b種裝置7臺．
(2)各方案購買費用分別為：
方案一：3×0＋4.4×10＝44＞40，實際付款：44×0.9＝39.6(萬元)；
方案二：3×1＋4.4×9＝42.6＞40，實際付款：42.6×0.9＝38.34(萬元)；
方案三：3×2＋4.4×8＝41.2＞40，實際付款：41.2×0.9＝37.08(萬元)；
方案四：3×3＋4.4×7＝39.8＜40，實際付款：39.8萬元．
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