中考衝刺：幾何綜合問題—知識講解（基礎）
【中考展望】
幾何綜合題是中考試卷中常見的題型，大致可分為幾何計算型綜合題與幾何論證型綜合題，它主要考查學生綜合運用幾何知識的能力.這類題型在近幾年全國各地中考試卷中占有相當的分量，不僅有選擇題、填空題、幾何推理計算題以及代數與幾何的綜合計算題,還有更注重考查學生分析問題和解決問題能力的**性的問題、方案設計的問題等等.主要特點是圖形較複雜，覆蓋面廣、涉及的知識點較多，題設和結論之間的關係較隱蔽，常常需要新增輔助線來解答.
幾何綜合題的呈現形式多樣，如摺疊型別、**型、開放型、運動型、情景型等，背景鮮活，具有實用性和創造性，考查方式偏重於考查考生分析問題、**問題、綜合應用數學知識解決實際問題的能力.
以幾何為主的綜合題常常在一定的圖形背景下研究以下幾個方面的問題：
1、證明線段、角的數量關係（包括相等、和、差、倍、分及比例關係等）；
2、證明圖形的位置關係（如點與線、線與線、線與圓、圓與圓的位置關係等）；
3、幾何計算問題；
4、動態幾何問題等.
【方法點撥】
一、幾何計算型綜合問題，常常涉及到以下各部分的知識：
1、與三角形有關的知識；
2、等腰三角形，等腰梯形的性質；
3、直角三角形的性質與三角函式；
4、平行四邊形的性質；
5、全等三角形，相似三角形的性質；
6、垂徑定理，切線的性質，與正多邊形有關的計算；
7、弧長公式與扇形面積公式.
二、幾何論證型綜合題的解答過程，要注意以下幾個方面：
1、注意圖形的直觀提示，注意觀察、分析圖形，把複雜的圖形分解成幾個基本圖形，通過
新增輔助線補全或構造基本圖形；
2、注意分析挖掘題目的隱含條件、發展條件，為解題創造條件打好基礎，要由已知聯想經
驗，由未知聯想需要，不斷轉化條件和結論來探求思路，找到解決問題的突破點；
3、要運用轉化的思想解決幾何證明問題，運用方程的思想解決幾何計算問題，還要靈活運用
數學思想方法如數形結合、分類討論、轉化、方程等思想來解決問題.
【典型例題】
型別一、動態幾何型問題
1．如圖，在矩形abcd中，ab=12cm，bc=6cm，點p沿ab邊從點a開始向點b以2cm/s的速度移動；點q沿da邊從點d開始向點a以1cm/s的速度移動.如果p、q同時出發，用t(s)表示移動的時間（0≤t≤6），那麼：
⑴當t為何值時，△qap為等腰直角三角形？
⑵求四邊形qapc的面積；提出乙個與計算結果有關的結論；
⑶當t為何值時，以點q、a、p為頂點的三角形與△abc相似？
【思路點撥】⑴中應由△qap為等腰直角三角形這一結論，需補充條件aq=ap，由aq=6－t，ap=2t，可求出t的值；
⑵中四邊形qapc是乙個不規則圖形，其面積可由矩形面積減去△dqc與△pbc的面積求出；
⑶中由於題目中未給出三角形的相似對應方式，因此需分類討論.
【答案與解析】
解：（1）對於任何時刻t，ap=2t，dq=t，qa=6-t．
當qa=ap時，△qap為等腰直角三角形，即6-t=2t，解得：t=2（s），
所以，當t=2s時，△qap為等腰直角三角形．
（2）在△qac中，qa=6-t，qa邊上的高dc=12，
∴s△qac=qadc=（6-t）12=36-6t．
在△apc中，ap=2t，bc=6，
∴s△apc=apbc=2t6=6t．
∴s四邊形qapc=s△qac+s△apc=（36-6t）+6t=36（cm2）．
由計算結果發現：在p、q兩點移動的過程中，四邊形qapc的面積始終保持不變．（也可提出：p、q兩點到對角線ac的距離之和保持不變）
（3）根據題意，可分為兩種情況，在矩形abcd中：
①當時，△qap∽△abc，則有：
，解得t=1.2（s），
即當t=1.2s時，△qap∽△abc；
②當時，△paq∽△abc，則有：
，解得t=3（s），
即當t=3s時，△paq∽△abc；
所以，當t=1.2s或3s時，以點q、a、p為頂點的三角形與△abc相似．
【總結昇華】本題是動態幾何題，同時也是一道**題．要求學生具有一定的發現、歸納和表達能力，這就要求我們通過計算分析，抓住其本質，揭示出變中不變的規律．四邊形qapc的面積也可由△qac與△cap的面積求出，；⑶中考查了分類討論的數學思想，結論具有一定的開放性.
2．如圖，在梯形中，，，，，梯形的高為4．動點從點出發沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動．設運動的時間為（秒）．
（1）當時，求的值；
（2）試**：為何值時，為等腰三角形．
【思路點撥】（1）m，n在動，意味著bm,mc以及dn,nc都是變化的.但是我們發現，和這些動態的條件密切相關的條件dc,bc長度都是給定的，而且動態條件之間也是有關係的.所以當題中設定mn//ab時，就變成了乙個靜止問題.
由此，從這些條件出發，列出方程，便可得出結果.
（2）如果在動態問題當中碰見等腰三角形，一定不要忘記分類討論，兩腰一底乙個都不能少.具體分類以後，就成了較為簡單的解三角形問題，可以輕鬆求解.
【答案與解析】
（1）由題意知，當、運動到秒時，如圖(1)，過作交於點，則四邊形是平行四邊形．
∵，．∴ ．解得．
（2）分三種情況討論：
① 當時，如圖(2)作交於，則有．
∵，∴，
∴，解得．
② 當時，如圖（3），過作於h．
則，∴．
∴．③ 當時，
則,．綜上所述，當、或時，為等腰三角形．
【總結昇華】解決動點問題，首先就是要找誰在動，誰沒動，通過分析動態條件和靜態條件之間的關係求解，但是對於大多數題目來說，都有乙個由動轉靜的拐點.
3.已知：△abc是邊長為1的等邊三角形，d是射線bc上一動點（與點b、c不重合），以ad為一邊向右側作等邊△ade，連線ce．
（1）當點d**段bc上運動時（如圖1），求證：①ec=db；②ec∥ab；
（2）當點d**段bc的延長線上運動時（如圖2），②中的結論是否仍然成立？請說明理由；
（3）當ec=2時，求△abc與△ade的面積比．
【思路點撥】（1）根據△ade與△abc都是等邊三角形，容易得到全等條件證明△cae≌△bad，再根據全等三角形的性質可以證明題目的結論；
（2）根據（1）可知d的位置對△cae≌△bad沒有影響，所以結論仍然成立，證明方法完全相同；
（3）當bd=2時，ab=bc=ac=bd，△abd是直角三角形．這樣在rt△abd解直角三角形中可以求出ad的長，然後利用相似三角形的性質解決問題．
【答案與解析】
（1）證明：
①∵△ade與△abc都是等邊三角形，
∴ac=ab，ae=ad，∠dae=∠bac=60°．
∴∠dae-∠cad=∠bac-∠cad．
即∠cae=∠bad．
∴△cae≌△bad．
∴ec=db．
②由△cae≌△bad
∴∠ace=∠b=60°．
∴∠ace=∠bac=60°．
∴ec∥ab．
（2）解：②中得到的結論仍然成立．
∵△cae≌△bad（sas）．
∴∠ace=∠b=60°．
∴∠ace=∠bac=60°．
∴ec∥ab．
（3）解：∵△cae≌△bad．
∴bd=ce=2．
∵△abc是邊長為1的等邊三角形，
∴當bd=2時，點d**段bc的延長線上，
ab=bc=ac=bd，
∴△abd是直角三角形．
在rt△abd中，ad=bdsinb=2×=．
∵△abc∽△ade．
∴△abc與△ade的面積比為1：3．
【總結昇華】本題主要是在動態的情形下考查全等三角形的性質與判定，等邊三角形的性質和相似三角形的性質等知識．
舉一反三：
【變式】△abc是等邊三角形，p為平面內的乙個動點，bp=ba，若＜∠pbc＜180°，且∠pbc平分線上的一點d滿足db=da，
（1）當bp與ba重合時（如圖1），∠bpd
（2）當bp在∠abc的內部時（如圖2），求∠bpd的度數；
（3）當bp在∠abc的外部時，請你直接寫出∠bpd的度數，並畫出相應的圖形．
【答案】（1）∠bpd= 30°；
（2）如圖3，鏈結cd．
∵ 點d在∠pbc的平分線上，
1=∠2．
abc是等邊三角形，
∴ ba=bc=ac，∠acb= 60°．
∵ bp=ba，
∴ bp=bc．
∵ bd= bd，
pbd≌△cbd．
bpd=∠3．
db=da，bc=ac，cd=cd，
bcd≌△acd．
bpd =30°．
（3）∠bpd= 30°或 150°. 型別
二、幾何計算型問題
【高畫質課堂：幾何綜合問題例1 】
4.如圖，直角三角形紙片abc中，∠acb=90°，ac=8，bc=6．摺疊該紙片使點b與點c重合，摺痕與ab、bc的交點分別為d、e.
(1) de的長為 ；
(2) 將摺疊後的圖形沿直線ae剪開，原紙片被剪成三塊，其中最小一塊的面積等於 ．
【思路點撥】（1）由題意可得：de是線段bc的垂直平分線，易證de∥ac，即de是△abc的中位線，即可求得de的長；
（2）由de∥ac，de=ac，易證△aoc∽△eod，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得oa：oe=2，然後求得△ace的面積，利用等高三角形的面積比等於對應底的比，即可求得答案．
【答案與解析】
（1）根據題意得：de⊥bc，ce=be，
∵∠acb=90°，
即ac⊥bc，
∴de∥ac，
∴ad=bd，
∴de=ac=×8=4；
（2）∵de∥ac，de=ac，
∴△aoc∽△eod，
∴oa：oe=ac：de=2，
∵ce=bc=×6=3，
∵∠acb=90°，ac=8，
∴s△ace=ceac=×3×8=12，
∴s△oce=s△ace=4，
∴s△ade+s△ode=s△abc-4-12=8，
∴其中最小一塊的面積等於4．
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