中考衝刺：代幾綜合問題—知識講解（基礎）
【中考展望】
代幾綜合題是初中數學中覆蓋面最廣、綜合性最強的題型．近幾年的中考壓軸題多以代幾綜合題的形式出現．解代幾綜合題一般可分為「認真審題、理解題意；探求解題思路；正確解答」三個步驟,解代幾綜合題必須要有科學的分析問題的方法．數學思想是解代幾綜合題的靈魂，要善於挖掘代幾綜合題中所隱含的重要的轉化思想、數形結合思想、分類討論的思想、方程（不等式）的思想等，把實際問題轉化為數學問題，建立數學模型，這是學習解代幾綜合題的關鍵．
題型一般分為：（1）方程與幾何綜合的問題；（2）函式與幾何綜合的問題；（3）動態幾何中的函式問題；（4）直角座標系中的幾何問題；（5）幾何圖形中的**、歸納、猜想與證明問題.
題型特點：一是以幾何圖形為載體，通過線段、角等圖形尋找各元素之間的數量關係，建立代數方程或函式模型求解；二是把數量關係與幾何圖形建立聯絡，使之直觀化、形象化．以形導數，由數思形，從而尋找出解題捷徑. 解代幾綜合題要靈活運用數形結合的思想進行數與形之間的相互轉化，關鍵是要從題目中尋找這兩部分知識的結合點，從而發現解題的突破口.
【方法點撥】
方程與幾何綜合問題是中考試題中常見的中檔題，主要以一元二次方程根的判別式、根與係數的關係為背景，結合代數式的恒等變形、解方程（組）、解不等式（組）、函式等知識．其基本形式有：求代數式的值、求引數的值或取值範圍、與方程有關的代數式的證明．
函式型綜合題主要有：幾何與函式結合型、座標與幾何、方程與函式結合型問題，是各地中考試題中的熱點題型．主要是以函式為主線，建立函式的圖象，結合函式的性質、方程等解題．解題時要注意函式的圖象資訊與方程的代數資訊的相互轉化．例如函式圖象與x軸交點的橫座標即為相應方程的根；點在函式圖象上即點的座標滿足函式的解析式等．
函式是初中數學的重點，也是難點，更是中考命題的主要考查物件，由於這類題型能較好地考查學生的函式思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化思想，能較全面地反映學生的綜合能力，有較好的區分度，因此是各地中考的熱點題型．
幾何綜合題考查知識點多、條件隱晦，要求學生有較強的理解能力，分析能力，解決問題的能力，對數學知識、數學方法有較強的駕馭能力，並有較強的創新意識與創新能力．
1． 幾何型綜合題，常以相似形與圓的知識為考查重點，並貫穿其他幾何、代數、三角等知識，以證明、計算等題型出現．
2． 幾何計算是以幾何推理為基礎的幾何量的計算，主要有線段和弧長的計算，角的計算，三角函式值的計算，以及各種圖形面積的計算等．
3． 幾何論證題主要考查學生綜合應用所學幾何知識的能力．
4． 解幾何綜合題應注意以下幾點：
（1） 注意數形結合，多角度、全方位觀察圖形，挖掘隱含條件，尋找數量關係和相等關係；
（2） 注意推理和計算相結合，力求解題過程的規範化；
（3） 注意掌握常規的證題思路，常規的輔助線作法；
（4） 注意靈活地運用數學的思想和方法．
【典型例題】
型別一、方程與幾何綜合的問題
1．如圖所示，在梯形abcd中，ad∥bc（bc＞ad），∠d＝90°，bc＝cd＝12，∠abe＝45°，若ae＝10，則ce的長為
【思路點撥】
過b作da的垂線交da的延長線於m，m為垂足，延長dm到g，使mg=ce，連線bg．求證△bec≌△bgm，△abe≌△abg，設ce=x，在直角△ade中，根據ae2=ad2+de2求x的值，即ce的長度．
【答案與解析】
解：過b作da的垂線交da的延長線於m，m為垂足，延長dm到g，使mg=ce，連線bg，
∴∠amb=90°，
∵ad∥cb，∠dcb=90°，
∴∠d=90°，
∴∠amb=∠dcb=∠d=90°，
∴四邊形bcdm為矩形．
∵bc=cd，
∴四邊形bcdm是正方形，
∴bc=bm，且∠ecb=∠gmb，mg=ce，
∴rt△bec≌rt△bgm．
∴bg=be，∠cbe=∠gbm，
∵∠cbe+∠eba+∠abm=90°，且∠abe=45°
∴∠cbe+∠abm=45°
∴∠abm+∠gbm=45°
∴∠abe=∠abg=45°，
∴△abe≌△abg，ag=ae=10．
設ce=x，則am=10-x，
ad=12-（10-x）=2+x，de=12-x，
在rt△ade中，ae2=ad2+de2，
∴100=（x+2）2+（12-x）2，
即x2-10x+24=0；
解得：x1=4，x2=6．
故ce的長為4或6．
【總結昇華】
本題考查了直角三角形中勾股定理的運用，考查了全等三角形的判定和性質，本題中求證△abe≌△abg，從而說明ag=ae=10是解題的關鍵．
型別二、函式與幾何問題
2．如圖，二次函式y =（x-2）2+m的圖象與y軸交於點c，點b是點c關於該二次函式圖象的對稱軸對稱的點．已知一次函式y=kx+b的圖象經過該二次函式圖象上點a（1，0）及點b．
（1）求二次函式與一次函式的解析式；
（2）根據圖象，寫出滿足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值範圍．
【思路點撥】
（1）將點a（1，0）代入y=（x-2）2+m求出m的值，根據點的對稱性，將y=3代入二次函式解析式求出b的橫座標，再根據待定係數法求出一次函式解析式；
（2）根據圖象和a、b的交點座標可直接求出滿足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值範圍．
【答案與解析】
解：（1）將點a（1，0）代入y=（x-2）2+m得，
（1-2）2+m=0，
1+m=0，
m=－1，則二次函式解析式為y=（x-2）2-1．
當x=0時，y=4-1=3，
故c點座標為（0，3），
由於c和b關於對稱軸對稱，在設b點座標為（x，3），
令y=3，有（x-2）2-1=3，解得
x=4或x=0．
則b點座標為（4，3）．
設一次函式解析式為y=kx+b，將a（1，0）、b（4，3）代入y=kx+b中，得
，解得，
則一次函式解析式為y=x-1；
（2）∵a、b座標為（1，0），（4，3），
∴當kx+b≥（x-2）2+m時，1≤x≤4．
【總結昇華】
本題考察了待定係數法求二次函式,一次函式函式解析式以及數形結合法解不等式.求出b點座標是解題的關鍵．
舉一反三：
【變式】如圖，二次函式的圖象與x軸交於a、b兩點，其中a點座標為（－1，0），點c（0，5）、d（1，8）在拋物線上，m為拋物線的頂點．
（1）求拋物線的解析式．
（2）求△mcb的面積．
【答案】
解：(1)設拋物線的解析式為，根據題意，得
， 解之，得．
∴所求拋物線的解析式為．
（2）∵c點的座標為（0，5）．∴oc＝5．令，則，解得．
∴b點座標為（5，0）．∴ob＝5．∵，∴頂點m座標為（2，9）．
過點m作mn⊥ab於點n，則on＝2，mn＝9．
∴.型別
三、動態幾何中的函式問題
3．如圖，在平面直角座標系中，已知點a（-2，-4），ob=2，拋物線y=ax2+bx+c經過點a、o、b三點．
（1）求拋物線的函式表示式；
（2）若點m是拋物線對稱軸上一點，試求am+om的最小值；
（3）在此拋物線上，是否存在點p，使得以點p與點o、a、b為頂點的四邊形是梯形？若存在，求點p的座標；若不存在，請說明理由．
【思路點撥】
（1）把a、b、o的座標代入到y=ax2+bx+c得到方程組，求出方程組的解即可；
（2）根據對稱求出點o關於對稱軸的對稱點b，連線ab,根據勾股定理求出ab的長，就可得到am+om的最小值.
（3）①若ob∥ap，根據點a與點p關於直線x=1對稱，由a（-2，-4），得出p的座標；②若oa∥bp，設直線oa的表示式為y=kx，設直線bp的表示式為y=2x+m，由b（2，0）求出直線bp的表示式為y=2x-4，得到方程組，求出方程組的解即可；③若ab∥op，設直線ab的表示式為y=kx+m，求出直線ab，得到方程組求出方程組的解即可.
【答案與解析】
解：（1）由ob=2，可知b（2，0），
將a（-2，-4），b（2，0），o（0，0）三點座標代入拋物線y=ax2+bx+c，得
解得：∴拋物線的函式表示式為y=
（2）由y==可得，拋物線的對稱軸為直線x=1，且對稱軸x=1是線段ob的垂直平分線，連線ab交直線x=1於點m，m點即為所求．
∴mo=mb，則mo+ma=ma+mb=ab,
作ac⊥x軸，垂足為c，則|ac|=4，|bc|=4，∴ab=,
∴mo+ma的最小值為.
答：mo+ma的最小值為.
（3）①如圖1，若ob∥ap，此時點a與點p關於直線x=1對稱，由a（-2，-4），得p（4，-4），則得梯形oapb
② 如圖2，若oa∥bp，
設直線oa的表示式為y=kx，由a（-2，-4）得，y=2x．
設直線bp的表示式為y=2x+m，由b（2，0）得，0=4+m，即m=-4，
∴直線bp的表示式為y=2x-4.
由解得x1=-4，x2=2（不合題意，捨去）,
當x=-4時，y=-12，∴點p（-4，-12），則得梯形oapb．
③ 如圖3，若ab∥op，設直線ab的表示式為y=kx+m，則
[}]解得
∴ab的表示式為y=x-2．
∵ab∥op，
∴直線op的表示式為y=x．
由得x2=0，解得x=0，（不合題意，捨去），此時點p不存在．
綜上所述，存在兩點p（4，-4）或p（-4，-12）,使得以點p與點o、a、b為頂點的四邊形是梯形．
【總結昇華】
本題主要考查對梯形，解二元二次方程組，解一元二次方程，二次函式的性質，用待定係數法求一次函式的解析式等知識點的理解和掌握，綜合運用性質進行計算是解此題的關鍵．
舉一反三：
【變式】如圖，直線與x軸、y軸的交點分別為b、c，點a的座標是（-2，0）．
（1）試說明△abc是等腰三角形；
（2）動點m從a出發沿x軸向點b運動，同時動點n從點b出發沿線段bc向點c運動，運動的速度均為每秒1個單位長度．當其中乙個動點到達終點時，他們都停止運動．設m運動t秒時，△mon的面積為s．
① 求s與t的函式關係式；
② 設點m**段ob上運動時，是否存在s＝4的情形？若存在，求出對應的t值；若不存在，請說明理由；
③在運動過程中，當△mon為直角三角形時，求t的值．
【答案】
（1）證明：y=
∵當x=0時，y=4；
當y=0時，x=3，
∴b（3，0），c（0，4），
∵a（-2，0），
由勾股定理得：bc=
∵ab=3-（-2）=5，
∴ab=bc=5，
∴△abc是等腰三角形；
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