帶餘除法是整除問題中最常見的問題，它的性質是處理整除的基礎．絕大多數整數是不能被整除的，按餘數進行分類討論，是處理整除問題的重要方法．本講主要是例講處理方法．
一、帶餘除法的基本知識
1．帶餘除法：並不是任意乙個整數都能被乙個不等於0的整數整除的．對任意一對整數、
，總存在唯一一對、，使得，其中；當時，即稱為「帶餘」．
例如：105被8除，得商13，餘數1．
2．餘數分類：乙個整數被2除時，餘數只能是0和1這兩種可能，因此，可以把所有整數按照被2除的餘數分成兩類，一類整數是被2除餘數為0，另一類整數是被2除餘數是1，即任一整數都可以寫成或的形式（是整數）．
又如，乙個整數被3除時，餘數只能是0，1和2這三種可能，因此，所有整數可以分成、、這三類形式．
同樣，任何乙個整數除以乙個非0的任意整數，都可以得乙個商和餘數，即，這裡的只可能取0，1，2，…，這個值；所有整數可以按照這個餘數進行分類．
3．同餘：兩個整數和被除時餘數相同，則稱和對模同餘，記作．
帶餘除法、餘數分類和同余是解決整數問題的利器．
二、典型例題
例1．用乙個兩位數除708，餘數為43，求這個兩位數．
例2．乙個自然數分別去除75、125、201都有餘數，三個餘數的和是31，求這三個餘數中最小的乙個餘數．
例3．在大於2005的自然數中，被56除后，商與餘數相等的數共有多少個？求這些數的總和．
例4．求證：對任何正整數和，在、、、這四個數中，一定有乙個能被3整除．
例5．若2836、4582、5164、6522四個整數都被同乙個正整數相除，所得的餘數相同，但不為0，求除數和餘數．
例6．個空格排成一行，第一格中放入一粒棋子，兩人下棋，每步可向前放1、2或3格，兩個個人交替走，以先到最後一格者為勝，問是先走者還是後走者必勝？怎樣取勝？
例7．若干圓形紙片，每個均分成4個相同的扇形，用紅、黃兩種顏色分別塗滿各扇形；問從這些圓形彩色紙片中至少取出多少張，才能確保有兩張紙片塗色相同？
例8．一副撲克牌有54張，最少要抽取幾張牌，才能使其中至少有2張牌有相同的點數？
例9．兩條直線相交，將四個交角中較小的乙個稱為兩條直線的「交角」．如圖是條直線，它們兩兩相交的示意圖，交角只能是、、、、、，問：的最大值是多少？
例10．試證明：任給5個整數，必能從其中選出3個，使得它們的和能被3整除．
例11．在已知一列數1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相鄰若干數之和能被11整除分為一組，問這樣的陣列共有多少？
例12．求證：大於11的整數都能寫成兩個合數之和．
例13．設，其中均為整數，求證：．
例14．若為質數，求證：
例15．乙個正方體，每條稜上可以標記上1個1到12的自然數，要求每條稜上的自然數都不同．在每個頂點處，相鄰有3個自然數，這3個自然數可以依大到小排列出乙個新的自然數．例如：下圖點處，排列出的自然數是1272．問：能否有一種標記的方式，使得到的8個自然數都能被3整除．
例16．求的個位和十位數字．
例17．可否把右圖中的圓圈塗紅色或藍色．使得在同一條線段
上的紅色圓圈個數都是奇數？若可以，請給出一種塗法．
若不可以，請說明理由．
例18．在1～2014的所有的整數中，有多少個使和被7除有相同的餘數？
綜合練習
1．一數被10除，餘9；被9除，餘8；被8除，餘7；…；被2除，餘1；此數為
2．除以13，餘數是
3．若三個整數1059、1417和2312，每個數各除以，且餘數都是，其中是大於1的整數，
則等於4．若為任意整數，則除以9的餘數可能是
5．70個數排成一排，除了兩頭的兩個數之外，每個數的3倍都恰好等於它前後兩個數的和；這排數最左邊的幾個數是0，1，3，8，21，…；則最右邊乙個數被6除餘數是
6．設，用除，所得的餘數是
7．求使，，都是質數的所有的的值．
8．求證：若，則或．
9．若和都是質數，求證：也是質數．
10．下圖是乙個3行10列的長方形，每個小方格均塗有黑色或白色，問能否找到兩列，它們的塗色方式完全相同，請說明理由．
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