11-12學年度第二學期
（第七周）
河源鎮九年一貫制學校
時間： 2023年4月11日
地點： 初中部備課室
課題： 勾股定理複習
主備人： 金鑫
分工情況：組長：張忠
組員：金鑫、王鵬影
四、集體備課流程
1、主備人發言
勾股定理是反映自然界基本規律的一條重要結論，它有著悠久的歷史，在數學發展中起過重要作用，在現實世界中也有著廣泛的應用，勾股定理的發現．驗證和應用蘊涵著豐富的文化價值．勾股定理從邊的角度進一步刻畫了直角三角形的特徵，通過對勾股定理的學習，學生對直角三角形有了更進一步的認識和理解．
為了使學生更好地認識勾股定理和它的逆定理，更好地運用他的解決實際生活中的問題，通過回顧已學過的知識，加強對勾股定理及逆定理的理解和應用．
在本章，數形結合的思想有較多的體現，教學中應更進一步地滲透這種思想，讓學生更進一步體驗從代數表示聯想到有關的幾何圖形，由幾何圖形聯想到有關的代數表示，這有助於學生認識數學的內在聯絡．
勾股定理和逆定理在現實世界中有著較為廣泛的應用。在本小結中應讓學生更進一步體會它們在解決問題中的作用，認識現實世界中蘊涵著豐富的數學資訊．進一步介紹有關勾股定理的歷史，體現其文化價值．這一定理又導致了無理數的產生——數學歷史上的第一次數學危機．
三維目標
一、知識與技能
1．對直角三角形的特殊性質全面地進行總結．
2．讓學生回顧本章的知識，同時重溫這些知識尤其是勾股定理的獲得和驗證的過程；體會勾股定理及其逆定理的廣泛應用．
3．了解勾股定理的歷史．
二、過程與方法
1．體會在結論獲得和驗證過程中的數形結合的思想方法．
2．在回顧與思考的過程中，提高學生解決問題，反思問題的能力，鼓勵學生具有創新精神．
三、情感態度與價值觀
1．在反思和交流的過程中，體驗學習帶來的無盡的樂趣．
2．通過對勾股定理歷史的了解，培養學生的愛國主義精神，體驗科學給人類帶來的力量．
教學重點
1．回顧並思考勾股定理及其逆定理獲得和驗證的過程；總結直角三角形邊、角之間分別存在的關係．
2．體會勾股定理及其逆定理在生活中的廣泛應用．
教學難點
1．勾股定理及其逆定理的廣泛應用．
2．建立本章的知識框架圖，
教學過程
一、引入新課
勾股定理，我們把它稱為世界第一定理．它的重要性，通過這一章的學習已深有體驗．首先，勾股定理是數形結合的最典型的代表；其次，了解勾股定理歷史的同學知道，正是由於勾股定理的發現，導致無理數的發現，引發了數學的第一次危機，這一點，我們將在《實數》一章裡講到．第三，勾股定理中的公式是第乙個不定方程，有許許多多的數滿足這個方程，也是有完整解答的最早的不定方程，由此由它引導出各式各樣的不定方程，最為著名的就是費馬大定理，直到2023年，數學家懷爾斯才將它證明．
勾股定理是我們數學史的奇蹟，我們已經比較完整地研究了這個先人給我們留下來的寶貴的財富，這節課，我們將通過回顧與思考中的幾個問題更進一步了解勾股定理的歷史，勾股定理的應用．
二、回顧與思考
問題1：直角三角形的邊、角之間分別存在著什麼關係?
師：在上一學期我們已對直角三角形有所涉及，而這一章我們又重點研究了直角三角形的性質．現在我們來回答問題1，從直角三角形的邊、角的特殊性角度全面地進行總結．
生：從邊的關係來說，當然就是勾股定理；從角的關係來說，由於直角三角形中有乙個特殊的角即直角，所以直角三角形的兩個銳角互餘．
生：我認為直角三角形作為乙個特殊的三角形，如果又有乙個銳角是30°，那麼30°的角所對的直角邊是斜邊的一半．
師：很好．我們的學習就應該是乙個不斷總結、概括、創新的過程．隨著以後的學習，你會發現，直角三角形還有它更吸引人的地方．下面我們來看第2個問題．
問題2：舉例說明，如何判斷乙個三角形是直角三角形．
生：判斷乙個三角形是直角三角形可以從角、邊兩個方面去判斷．
例如：①在△abc中，∠b＝75°，∠c＝15°，根據三角形的內角和定理，可得∠a＝90°．根據定義可判斷△abc是直角三角形．
②在△abc中．∠a＝∠b＝∠c，由三角形的內角和定理可知∠a＋2∠a＋3∠a＝180°，所以∠a＝30°，∠b＝2∠a＝60°，∠c＝3∠a＝90°，△abc是直角三角形．
上面兩個例子都是從定義即從角出發去判斷乙個三角形是直角三角形．
生：我來說一下從邊如何去判斷乙個三角形是直角三角形吧．其實從邊來判斷直角三角形它的理論依據就是判定直角三角形的條件(即勾股定理的逆定理)．
例如：①△abc的三條邊分別為a＝7，b＝25，c＝24，而a2＋c2＝72＋242＝625＝252＝b2，，即a2＋c2＝b2，根據勾股定理的逆定理可知△abc是直角三角形．但這裡要注意的是b所對的角∠b＝90°．
②△abc三條邊的比為a:b:c＝5:
12:13，則可設a＝5k，b＝12k，c＝13k，a2＋b2＝25k2＋144k2＝169k2，c2＝(13k)2＝169k2，所以，a2＋b2＝c2，△abc是直角三角形．
師：同學們對我們所學知識能很靈活地運用．在談到應用這些知識的同時，我們不妨重溫一下勾股定理的獲得和驗證的過程，體會驗證過程中的數形結合的思想和方法，對於我們將來學習和研究數學會大有益處．
生：勾股定理獲得是從一些特例猜想得到的．我們在方格紙上任意畫出乙個直角三角形，使它的每個頂點都在方格紙的交點上，然後以它的每個邊為邊長在外部長出三個正方形，我們通過討論、計算、數格仔的方法得到了三個正方形的面積，並且發現以斜邊為邊長的正方形的面積等於那兩個以直角邊為邊長的正方形的面積和，我們設直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，大正方形的面積是c2，兩個小正方形的面積為a2、b2，由上面的關係，我們猜想，是不是所有的直角三角形都有a2＋b2＝c2這個結論呢?
師：這位同學的思路很好．勾股定理又是如何驗證的呢?
生：先是又找了幾個特例驗證，發現這個結論正確。但我們不可能把所有的直角三角形都拿來驗證，僅此說明它正確，又不可信．接下來．我們就用先人的方法——拼圖，從一般意義上證明了勾股定理：
取四個全等的直角三角形，將它們拼擺，得到乙個以斜邊為邊長的正方形，通過用兩種方法表示拼出的整個圖形的面積，找到相等關係，從而得到勾股定理．
師：在我們的數學史上，好多結論的發現都是這樣乙個過程，都是從幾個或大量的特例中發現規律，大膽猜想出結論，然後以前面的理論作為基礎，證明猜想，乙個偉大的成果就誕生了．掌握這種研究數學的方法，大膽創新，刻苦鑽研，說不一定你就是未來的商高，第二個趙爽．
問題3：請你舉生活中的乙個例項，並運用勾股定理解決它．[**:學§科§網]
生：例如：颱風是一種自然災害，它以颱風中心為圓心在周圍數十千公尺範圍內形成氣旋風暴，有極強的破壞力．如下圖，據氣象觀測，距沿海城市a的正南方向260千公尺b處有一颱風中心，沿bc的方向以15千公尺／時的速度向d移動，已知ad是城市a距颱風中心的距離最短，且ad＝100千公尺，求颱風中心經過多長時間從b點移到d點?
[**:學科網zxxk]
解：根據題意可知ad⊥bc．[**:學科網zxxk]
在rt△abd中，ab＝260千公尺，ad＝100千公尺，ab2＝ad2＋bd2，所以bd2＝ab2－ad2＝2602－1002＝2402，bd＝240千公尺．則颱風中心經過240千公尺÷15千公尺／時＝16(小時)從b點移到d點．
生：例如：乙個長為10公尺的梯子斜靠在牆上．梯子的頂端距地面的垂直高度為8公尺，梯子的頂端下滑2公尺後，底端將水平滑動2公尺嗎?試說明理由．
解：根據題意，可知：下圖中ab＝de＝10公尺，ac＝8公尺，ad＝2公尺，所以dc＝8－2＝6公尺．
在rt△abc中，bc2＝ab2－ac2＝102－82＝36，bc＝6公尺，在rt△cde中，ce2＝dc2－cd2＝102－62＝82，ce＝8公尺，則be＝ce－cb＝8－6＝2公尺．
所以頂端向下滑動2公尺，底端也水平滑動2公尺．
師：我們從學習這一章開始，就讓同學們通過各種渠道收集勾股定理史料．現在我們就來介紹一下你們收集到的有關勾股定理的史料吧．
問題4：你了解勾股定理的史料嗎?
回在上古時代，人類雖然「愚昧無知」，但是，當他們仰望蒼穹時，也會引起無窮無盡的遙想，經常有人提出這樣的問題：天有多高?[**
要是從天地的形成來解釋，也是有數的，據說，天和地原先是混沌的一團，像個大雞蛋，後來降生乙個神，叫盤古，由他來開天闢地．據說「天日高一丈，地日厚一丈，盤古日長一丈，如此萬八千歲……」盤古的身子每天長高一丈，一萬八千年後，這個頂天立地的大漢有多高，天也就是多高了．
雖然人們竭力探索通往天庭的路徑，但希望是渺茫的。
約在西元前12世紀，周朝政治家姬旦(即周公)首先考慮到確定「天高」的問題．當時，他要搞一番建設事業，需要廣泛的科學技術的知識，也涉及測量問題，於是，他就把知名的學者商高找來，問道：「聽說你的數學造詣很深，請你談談，古代伏羲是怎樣確定天球的度數的?沒有台階走上天庭，也沒有辦法用尺子量測大地，那麼，怎麼知道天高地廣的數呢?
」這就是數學史上有名的「周公問數」．這段話記載在《周髀算經》的首頁．
昔者，周公問於商高曰：「竊聞乎大夫善數也，請問古者包犧立周天歷度，夫天不可階而公升，地不可得尺寸而度，請問數安從出?」
《骨髀算經》問世至今已經兩千年了．它所寫的周公則是距今三千年以前的古人．他居然能夠提這樣大膽的設想——測天量地，實在難能可貴．不過，被問者商高也不含糊，當即胸有成竹地作出合乎科學道理的回答．
商高認為：「數之法出自圓方。」於是他聯想到存在於矩之中的微妙內在關係：「故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五．」從此建立了直角三角形中的三邊關係，即勾、股、弦構成
三、四、五的關係．
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