課題§8．2．1 特殊平行四邊形(一)
教學目標
(一)教學知識點
1．能用綜合法來證明矩形的性質定理和判定定理以及相關結論．
2．能運用矩形的性質進行簡單的證明與計算．
(二)能力訓練要求
1．經歷探索、猜想、證明的過程，進一步發展推理論證能力．
2．能夠用綜合法證明矩形的性質定理和判定定理以及相關結論．
3．進一步體會證明的必要性以及計算與證明在解決問題中的作用
4．體會證明過程中所運用的歸納概括以及轉化等數學思想方法．
(三)情感與價值觀要求
通過學習矩形的性質，讓學生從矩形與平行四邊形的區別與聯絡中，體會特殊與一般的關係，滲透集合的思想，培養學生的辯證唯物主義觀念．
教學重點
矩形的性質的證明．
教學難點
矩形的性質的證明以及它與平行四邊形的從屬關係．
教學方法
啟發引導歸納式教學法
教學過程
ⅰ. 自學指導：自學p82-84，明確矩形的性質的證明以及它與平行四邊形的從屬關係．
ⅱ． 解決問題：
[師]上兩節課我們**了平行四邊形的性質定理及判定定理．下面我們來共同回憶總結：
[師生共析](學生總結，教師補充)
已加乙個四邊形是平行四邊形，則有：
對邊平行
對邊相等
對角相等
鄰角互補
對角線互相平分
從兩組對邊分別平行
邊兩組對邊分別相等的四邊邊形是
看一組對邊平行且相等平行四邊形
從角看：兩組對角分別相等
從對角線看：對角線互相平分
[師]了解了平行四邊形後，你還了解哪些特殊的平行四邊形?
[生]特殊的平行四邊形有矩形、菱形和正方形．
[師]還記得它們與平行四邊形的關係嗎?能用一張圖來表示它們之間的關係嗎?
[生]有乙個角是直角的平行四邊形是矩形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；而有一組鄰邊相等並且有乙個角是直角的平行四邊形是正方形．由此看來，矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，它們都是有特殊性質的平行四邊形．正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且也是特殊的矩形、特殊的菱形．所以可用下圖來表示它們之間的關係：
(隨學生的敘述，教師**投影，使學生進一步了解它們的關係)
[師]它們既然是平行四邊形，就具有平行四邊形的性質．又因為它們是特殊的平行四邊形，所以它們又具有各自的獨特性質．
今天我們先來研究矩形的特殊性質．
[師]前面我們已**過矩形的性質，還記得嗎?
[生]矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等．
[師]很好，那你能證明它們嗎?
[生]能．
[師]好，大家先來獨自證明，然後與同伴交流你的證明思路．
[生甲]已知四邊形abcd是矩形．
求證：∠a＝∠b＝∠c＝∠d＝90°．
證明：∵四邊形abcd是//四邊形，
∴∠a＝90°，四邊形abcd是．
∴∠a=∠c，∠b＝∠d
∠a+∠d＝180°．
∴∠b＝∠c：∠d＝∠a＝90°．
[生乙]已知矩形abcd，求證：ac＝db．
證明：在矩形abcd中，
∵∠abc＝∠dcb＝90°，(矩形的四個角都是直角)
ab＝dc，(平行四邊形的對邊相等)
bc＝cb，
∴△abc≌dcb．
∴ac=db．
[師]很好，我們證明矩形的第乙個性質時，用到了矩形的定義及平行四邊形的性質；證明第二個性質時，用到了矩形的第乙個性質、平行四邊形的性質及全等三角形．我們通過邏輯推理證得了矩形的這兩個性質，把它們稱為定理．即
定理：矩形的四個角都是直角．
∵矩形abcd，
∴∠a=∠b＝∠c=∠d＝90°．
定理：矩形的對角線相等．
∵四邊形abcd是矩形，
∴ac＝db．
[師]接下來，我們來想一想，議一議．
如圖，設矩形的對角線ac與bd的交點為e，那麼be是rt△abc中一條怎樣的特殊線段?它與ac有什麼大小關係?為什麼?
[生]因為四邊形abcd是矩形，所以四邊形abcd也是平行四邊形．因此，對角線ac與bd互相平分．即ae＝ec，be＝de．又因為四邊形abcd是矩形，所以ac＝bd，因此be= bd＝ac．故be是rt△abc的斜邊ac上的中線，它與ac的大小關係為be＝ac．
[師]很好，那你能用一句話概括你所得到的結論嗎?
[生]直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半．
[師]這個結論是由矩形的性質得到的，因此我們可以把它稱之為推論．那你能用推理的方法來證明它嗎?
[生]能．
如圖，已知be是rt△abc的斜邊ac上的中線．
求證：be＝ac．
分析：要證明這個結論，可構造輔助圖形——矩形，所以可以過點a作bc的平行線，也可以延長be到d，使de=be，然後證明四邊形abcd是矩形．再利用「矩形的對角線相等且互相平分」即可證明結論．
證明：過點a作bc的平行線與be的延長線交於點d，連線cd．(如圖)
則∠dae＝∠bce．
∵be是rt△abc的斜邊ac上的中線，
∴ae＝ec．
又∵∠aed＝∠ceb，
∴△aed≌△ceb．
∴ad＝bc．
∵ad//bc．∠abc＝90°，
∴四邊形abcd是矩形．
∴ac=bd，be＝ed＝bd．
∴be＝ac．
[師]我們通過推理進一步得證了這個結論是正確的．那麼我們以後就可直接應用了．
∵be是rt△abc的ac上的中線，
∴be＝ac．
下面我們來通過乙個例題進一步熟悉掌握矩形的性質
[例題]如圖，矩形abcd的兩條對角線相交於點o，已知∠aod＝120°，ab＝2．5 cm．求矩形對角線的長．
分析：欲求對角線的長，由於∠bad＝90°或∠abc=90°，ab=4 cm，則只要再找出rt△abd中一條直角邊或乙個銳角的度數，再從已知條件∠aod＝120°出發，應用矩形的性質可知
∠adb＝30°，這樣即可求出對角線的長．
解：∵四邊形abcd是矩形，
∴ac＝bd，且oa=oc=ac，
ob＝od=bd，(矩形的對角線相等且互相平分)
∴oa＝od．
∵∠aod＝120°，
∴∠oad＝∠oda＝＝30°．
∵∠dab＝90°．(矩形的四個角都是直角)
∴bd＝2ab＝2×2．5＝5(cm)
故這個矩形的對角線的長為5 cm．
[師]同學們來想一想，還有沒有其他的方法來解這個題呢?
[師]小明認為，這個題還可以這樣想：
∠aod＝120°→∠aob=60°→oa＝ob＝ab→ac＝20a＝2×2．5＝5(cm)．
[師]你能幫小明寫出完整的解題過程嗎?
[生]解：∵四邊形abcd是矩形，
∴ac＝bd，且oa＝oc＝ac，
ob＝od＝bd．(矩形的對角線相等且互相平分)
∴oa＝ob．
∵∠aod＝120°，
∴aob＝60°．
∴oa=ob＝ab．
∴ac＝2oa＝2×2．5＝5(cm)．
[師]已知乙個四邊形是矩形，那麼就會得到一些相應的性質，如果要判定乙個四邊形是矩形，那除了根據定義判定外，還有沒有其他的方法呢?
下面我們通過做練習來證明矩形的判定定理．
ⅲ．課堂練習
課本p84隨堂練習1 2
ⅳ．課時小結
我們這節課主要研究了矩形的性質，現在來歸納：
對邊平行且相等
1．矩形四個角都是直角
對角線互相平分且相等
2．直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半．
乙個角是直角的平行四邊形
3．有三個角是直角的四邊形是矩形
對角線相等的平行四邊形
ⅴ．課後作業
課本p84,習題8．4 3
板書設計
§8．2．1 特殊平行四邊形(一)
1．2．定理：矩形的四個角都是直角．
定理：矩形的對角線相等．
證明：3．議一議：
推論：直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半．
4．例題：
備課資料
[例]摺疊矩形紙片abcd，先折出摺痕bd，再摺疊使ad邊與對角線bd重合，得摺痕dg，如圖，若ab＝2，bc＝1，求ag．
分析：摺疊性問題主要是要明確摺疊後的對稱關係，從中找出相等的條件．才能把未知逐漸轉化為已知．本題由題意可知ge＝ag，de＝ad=1．因為摺疊後出現了直角，所以利用勾股定理即可求出ag．
解：由題意知ge＝ag，de＝ad＝1，
∵ab＝2，bc＝1，
∴bd=
∴be= -1．
設ag為x，則gb＝2-x
在rt△geb中，gb2＝be2+ge2，
(2-x)2=(-1)2+x2．
解得x＝
因而ag的長為
3 2特殊的平行四邊形
教學過程 一 巧設情境引入新知 師 上節課我們學習了一類特殊的平行四邊形 矩形，我們以前還接觸過哪類特殊的平行四邊形？生 菱形 師 那什麼樣的四邊形是菱形呢？生 有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 師 因為菱形是特殊的平行四邊形，所以它不僅具有平行四邊形的所有性質，而且具有它本身獨特的性質 你還記得菱...
平行四邊形及特殊平行四邊形
一 平行四邊形 知識梳理 1 掌握平行四邊形的概念和性質 2 四邊形的不穩定性 3 掌握平行四邊形有關性質和四邊形是平行四邊形的條件 4 能用平行四邊形的相關性質和判定進行簡單的邏輯推理證明 例題精講 例題1.下列命題中錯誤的是 a 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 b 對角線相等的平行四邊形是...
平行四邊形與特殊的平行四邊形
平行四邊形的性質與判定 一 總結平行四邊形的性質與判定原理 問題1 我們學習平行四邊形的性質是從哪幾個方面來研究的？從 邊 角 線 三個方面，其中 線 指的是對角線。問題2 判定乙個四邊形是平行四邊形必須有幾個條件？必須具備兩個條件 注意判定原理5 對角線互相平分 也是兩個等量。二 總結與平行四邊形...