ⅰ複習提問
1、 極座標系和直角座標系有什麼區別？學校老師課堂如何講解極座標引數方程的？
2、 如何把極座標系轉化為直角座標系？
答：將極座標的極點o作為直角座標系的原點，將極座標的極軸作為直角座標系x軸的正半軸。如果點p在直角座標系下的座標為（x，y），在極座標系下的座標為, 則有下列關係成立：
3、 引數方程表示什麼曲線？
4、 圓(x-a)2+(y-b)2=r2的引數方程是什麼？
5、 極座標系的定義是什麼？
答：取乙個定點o，稱為極點，作一水平射線ox，稱為極軸，在ox上規定單位長度，這樣就組成了乙個極座標系設op=，又∠xop=.和的值確定了，則p點的位置就確定了。
叫做p點的極半徑，叫做p點的極角，叫做p點的極座標（規定寫在前，寫在後）。顯然，每一對實數決定平面上乙個點的位置
6、引數方程的意義是什麼？
ⅱ 題型與方法歸納
1、 題型與考點（1）
2）3)2、解題方法及步驟
（1）、引數方程與普通方程的互化
化引數方程為普通方程的基本思路是消去引數，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式（三角的或代數的）消去法；化普通方程為引數方程的基本思路是引入引數，即選定合適的引數，先確定乙個關係（或，再代入普通方程，求得另一關係（或）.一般地，常選擇的引數有角、有向線段的數量、斜率，某一點的橫座標（或縱座標）
例1、方程表示的曲線是（ ）
a. 雙曲線 b.雙曲線的上支 c.雙曲線的下支 d.圓
解析：注意到t與互為倒數，故將引數方程的兩個等式兩邊分別平方，再相減，即可消去含的項，即有，又注意到 ，可見與以上引數方程等價的普通方程為.顯然它表示焦點在軸上，以原點為中心的雙曲線的上支，選b
練習1、與普通方程等價的引數方程是（ ）（為能數）
解析：所謂與方程等價，是指若把引數方程化為普通方程後不但形式一致而且的變化範圍也對應相同，按照這一標準逐一驗證即可破解.
對於a化為普通方程為；
對於b化為普通方程為；
對於c化為普通方程為;
對於d化為普通方程為.
而已知方程為顯然與之等價的為b.
練習2、設p是橢圓上的乙個動點，則的最大值是 ，最小值為
分析：注意到變數的幾何意義，故研究二元函式的最值時，可轉化為幾何問題.若設，則方程表示一組直線，（對於取不同的值，方程表示不同的直線），顯然既滿足，又滿足，故點是方程組的公共解，依題意得直線與橢圓總有公共點，從而轉化為研究消無後的一元二次方程的判別式問題.
解析：令，對於既滿足，又滿足，故點是方程組的公共解，依題意得，由，解得：，所以的最大值為，最小值為.
（2）、極座標與直角座標的互化
利用兩種座標的互化，可以把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題，這二者互化的前提條件是（1）極點與原點重合；（2）極軸與軸正方向重合；（3）取相同的單位長度.設點p的直角座標為，它的極座標為，則 ；若把直角座標化為極座標，求極角時，應注意判斷點p所在的象限（即角的終邊的位置），以便正確地求出角.
例2、極座標方程表示的曲線是（ ）
a. 圓 b. 橢圓 c. 雙曲線的一支 d. 拋物線
分析：這類問題需要將極座標方程轉化為普通方程進行判斷.
解析：由，化為直角座標系方程為，化簡得.顯然該方程表示拋物線，故選d.
練習1、已知直線的極座標方程為，則極點到該直線的距離是
解析：極點的直角座標為，對於方程，可得化為直角座標方程為，因此點到直線的距離為
練習2、極座標方程轉化成直角座標方程為（ ）
a． b． c． d．
分析：極座標化為直解座標只須結合轉化公式進行化解.
解析：，因此選c.
練習3、點的直角座標是，則點的極座標為（ ）
a． b． c． d．
解析：都是極座標，因此選c.
（3）、引數方程與直角座標方程互化
例題3：已知曲線的引數方程為（為引數），曲線的極座標方程為．
（1）將曲線的引數方程化為普通方程，將曲線的極座標方程化為直角座標方程；
（2）曲線，是否相交，若相交請求出公共弦的長，若不相交，請說明理由．
解：（1）由得
∴曲線的普通方程為
∵∴∵∴，即∴曲線的直角座標方程為
（2）∵圓的圓心為，圓的圓心為
∴∴兩圓相交
設相交弦長為，因為兩圓半徑相等，所以公共弦平分線段
∴∴∴公共弦長為
練習1、座標系與引數方程.
已知曲線c：為引數，0≤<2π)，
（ⅰ）將曲線化為普通方程；
（ⅱ）求出該曲線在以直角座標系原點為極點，軸非負半軸為極軸的極座標系下的極座標方程．
解析：（ⅰ）
（ⅱ）（4）利用引數方程求值域
例題4、在曲線：上求一點，使它到直線：的距離最小，並求出該點座標和最小距離。
解：直線c2化成普通方程是x+y-2-1=0
設所求的點為p（1+cos,sin)
則c到直線c2的距離d=
sin(+)+2|
當時，即=時，d取最小值1
此時，點p的座標是（1-，-）
練習1、在平面直角座標系xoy中，動圓（r）的圓心為，求的取值範
解：由題設得（為引數， r於是
所以.練習2、已知曲線的極座標方程是，設直線的引數方程是（為引數）．
（ⅰ）將曲線的極座標方程轉化為直角座標方程；
（ⅱ）設直線與軸的交點是，曲線上一動點，求的最大值.
解：（1）曲線的極座標方程可化為：
又 .
所以，曲線的直角座標方程為：
. （2）將直線的引數方程化為直角座標方程得：
令得即點的座標為
又曲線為圓，圓的圓心座標為，半徑，
則 ∴
（5）直線引數方程中的引數的幾何意義
例5、已知直線經過點,傾斜角，
①寫出直線的引數方程;
②設與圓相交與兩點，求點到兩點的距離之積.
解 （1）直線的引數方程為，即
（2）把直線代入，
得，，則點到兩點的距離之積為
練習1、求直線（）被曲線所截的弦長.
解：將方程，分別化為普通方程：
， （6）、引數方程與極座標的簡單應用
引數方程和極座標的簡單應用主要是：求幾何圖形的面積、曲線的軌跡方程或研究某些函式的最值問題.
例6、已知的三個頂點的極座標分別為,判斷三角形abc的三角形的形狀，並計算其面積.
分析：判斷△abc的形狀，就需要計算三角形的邊長或角，在本題中計算邊長較為容易，不妨先計算邊長.
解析：如圖，對於，
又，由餘弦定理得：
，，，，，，所以ab邊上的高,
練習1、如圖，點a在直線x=5上移動，等腰△opa的頂角∠opa為120°（o，p，a按順時針方向排列），求點p的軌跡方程.
解析：取o為極點，正半軸為極軸，建立極座標系，則直線的極座標方程為，設a（，），p，因點a在直線上， 為等腰三角形，且，以及
，把<2>代入<1>，得點p的軌跡的極座標方程為： .
1．把方程化為以引數的引數方程是（ ）
a． b． c． d．
解析：d ，取非零實數，而a，b，c中的的範圍有各自的限制
2．曲線與座標軸的交點是（ ）
a． b． c． d．
解析：b 當時，，而，即，得與軸的交點為；
當時，，而，即，得與軸的交點為
3．直線被圓截得的弦長為（ ）
ab． c． d．
解析：b ，把直線代入
得，弦長為
4．若點在以點為焦點的拋物線上，
則等於（ ）
a． b． c． d．
解析：c 拋物線為，準線為，為到準線的距離，即為
5．已知曲線上的兩點對應的引數分別為，，那麼
解析： 顯然線段垂直於拋物線的對稱軸。即軸，
6．圓的引數方程為，則此圓的半徑為
解析： 由得故半徑為5
7．分別在下列兩種情況下，把引數方程化為普通方程：
（1）為引數，為常數；（2）為引數，為常數；
解：（1）當時，，即；
當時，而，即（2）當時，，，即；
當時，，，即；
當時，得，即得即。
8．過點作傾斜角為的直線與曲線交於點，
求的值及相應的的值
解：設直線為，代入曲線並整理得
則所以當時，即，的最小值為，此時
9．引數方程表示什麼曲線？
解：顯然，則
即得，即
ⅳ 溫故強化
1．下列在曲線上的點是（ ）
a． b． c． d．
解析：b 轉化為普通方程：，當時，
2．將引數方程化為普通方程為（ ）
a． b． c． d．
解析：c 轉化為普通方程：，但是
3. 若a，b，則|ab其中o是極點）
解析：在極座標系中畫出點a、b，易得
4．直線被圓截得的弦長為
解析： 直線為，圓心到直線的距離，弦長的一半為，得弦長為
5. 直線（t為引數）上任一點p到的距離為
解析：所求距離為2|t|（把直線的引數方程化為標準形式）
6. 的軌跡方程為
解析：設
由重心座標公式，得：
消參，得點g的軌跡方程為
7. 若方程
解析：將方程兩邊同乘以，化為：
8. 求橢圓
解析：（先設出點p的座標，建立有關距離的函式關係）
9．在橢圓上找一點，使這一點到直線的距離的最小值。
解析：設橢圓的引數方程為，
當時，，此時所求點為。
10．求直線和直線的交點的座標，及點
與的距離。
解析：將代入得，
得，而，得
極座標與引數方程經典題型
座標系與引數方程 一 極座標系 一 知識梳理 1.平面上點的極座標 注 1 平面上乙個點的極座標並不是唯一的。2 對於，通常情況下，認為。只有的事先說明的情況下會有。2.極座標與直角座標的關係 3.曲線的極座標方程 1 直線的極座標方程 根據題中所給的條件，再結合構建三角形。進而能推出關於的關係式。...
座標系與引數方程
知識要點 1 極座標系的概念，極座標系中點的表示 在平面內取乙個定點o，o點出發的一條射線ox，乙個長度單位及計算角度的正方向 通常取逆時針方向 合稱為乙個極座標系 o稱為極點，ox稱為極軸 設m是平面內任意一點，極點o與點m的距離 om 叫做點m的極徑，記作 以極軸ox為始邊，射線om為終邊的角x...
座標系與引數方程總結
極座標系 1 eg1 已知點m的極座標為，下列所給出的四個座標中不能表示點m的座標的是 2在極座標系中,已知求a,b兩點的距離 3 在極座標系中與圓相切的一條直線方程為 ab cd 4 曲線和的交點座標 引數方程 解題方法 去掉引數 一 曲線的引數方程的定義 在取定的座標系中，如果曲線上任意一點的座...