課時作業(五十六)
一、選擇題
1．定義一種運算「*」：對於自然數n滿足以下運算性質：
(ⅰ)1]( )
a．n b．n＋1
c．n－1 d．n2
答案 a
解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1]
2．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，則a2011＝( )
a．3 b．－3
c．6 d．－6
答案 a
解析 ∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3……
∴是以6為週期的週期數列
又2011＝6×335＋1，∴a2011＝a1＝3.選a.
3．因為對數函式y＝logax(a>0，且a≠1)是增函式，
而y＝logx是對數函式，所以y＝logx是增函式，
上面的推理錯誤的是( )
a．大前提 b．小前提
c．推理形式 d．以上都是
答案 a
解析 y＝logax是增函式這個大前提是錯誤的，從而導致結論錯誤．選a
4．(2011·南京質檢)把正整數按一定的規則排成了如圖所示的三角形數表．設aij(i，j＝n*)是位於這個三角形數表中從上往下數第i行，從左往右數第j個數，如a42＝8.若aij＝2009，則i與j的和為( )
a.105 b．106
c．107 d．108
答案 c
解析由三角形數表可以看出其奇數行為奇數列，偶數行為偶數列，2009＝2×1005－1，所以2009為第1005個奇數，又前31個奇數行內數的個數的和為961，前32個奇數行內數的個數的和為1024，故2009在第32個奇數行內，所以i＝63，因為第63行的第乙個數為2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.
5．設f(x)＝，又記f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1，2，…，則f2009(x)等於( )
a．－ b．x
c. d.
答案 d
解析計算：f2(x)＝f()＝＝－，f3(x)＝f(－)＝＝，f4(x)＝＝x，f5(x)＝f1(x)＝，歸納得f4k＋1(x)＝，k∈n*，從而f2009(x)＝.
6．(2011·皖南八校)已知整數的數對列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…則第60個數對是( )
a．(3,8) b．(4,7)
c．(4,8) d．(5,7)
答案 d
解析觀察可知橫座標和縱座標之和為2的數對有1個，和為3的數對有2個，和為4的數對有3個，和為5的數對有4個，依此類推和為n＋1的數對有n個，多個數對的排序是按照橫座標依次增大的順序來排的，由＝60n(n＋1)＝120，n∈z，n＝10時，＝55個數對，還差5個數對，且這5個數對的橫、縱座標之和為12，它們依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，
∴第60個數對是(5,7)．
7．(2011·蘇北四市調研)某紡織廠的乙個車間技術工人m名(m∈n*)，編號分別為1,2,3，…，m，有n臺(n∈n*)織布機，編號分別為1,2,3，…，n，定義記號aij：若第i名工人操作了第j號織布機，規定aij＝1，否則aij＝0，則等式a41＋a42＋a43＋…＋a4n＝3的實際意義是( )
a．第4名工人操作了3臺織布機
b．第4名工人操作了n臺織布機
c．第3名工人操作了4臺織布機
d．第3名工人操作了n臺織布機
答案 a
解析 a41＋a42＋a43＋…＋a4n＝3中的第一下標4的意義是第四名工人，第二下標1,2，…，n表示第1號織布機，第2號織布機，……，第n號織布機，根據規定可知這名工人操作了三颱織布機．
二、填空題
8．已知1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，則第5個等式為推廣到第n個等式為注意：按規律寫出等式的形式，不要求計算結果)
答案 1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5；1－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1·n2＝(－1)n＋1·(1＋2＋3＋…＋n)
解析根據前幾個等式的規律可知，等式左邊的各數是自然數的平方，且正負相間，等式的右邊是自然數之和且隔項符號相同，由此可推得結果．
9．(2011·湖北八校)已知扇形的圓心角為2α(定值)，半徑為r(定值)，分別按圖1、圖2作扇形的內接矩形，若按圖1作出的矩形的面積的最大值為r2tan α，則按圖2作出的矩形的面積的最大值為________．
答案 r2tan
解析 將圖1沿水平邊翻摺作出如圖所示的圖形，內接矩形的最大面積s＝2·r2·tan α＝r2·tan α，所以圖2中內接矩形的面積的最大值為r2tan.
10．(2011·衡水濰坊)已知＝2，＝3，＝4，…，若＝6，(a，t均為正實數)，模擬以上等式，可推測a，t的值，則a＋t
答案 41
解析根據題中所列的前幾項的規律可知其通項應為＝n，所以當n＝6時a＝6，t＝35，a＋t＝41.
11．設p是邊長為a的正三角形abc內的一點，p點到三邊的距離分別為h1、h2、h3，則h1＋h2＋h3＝a；模擬到空間，設p是稜長為a的正四面體abcd內的一點，則p點到四個面的距離之和h1＋h2＋h3＋h4
答案 a
解析如圖，連線ap，bp，cp，dp，則正四面體abcd可分成四個小三稜錐，根據體積相等可得，正四面體的體積為×a2×a＝×a2(h1＋h2＋h3＋h4)，所以h1＋h2＋h3＋h4＝a.
12．(2010·福建卷，文)觀察下列等式：
①cos 2α＝2cos2α－1；
②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；
③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；
④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；
⑤cos 10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.
可以推測，m－n＋p
答案 962
解析觀察等式可知，cos α的最高次的係數2,8,32,128 構成了公比為4的等比數列，故m＝128×4＝512；取α＝0，則cos α＝1，cos 10α＝1，代入等式⑤，得
1＝m－1280＋1120＋n＋p－1，即n＋p＝－350 (1)；
取α＝，則cos α＝，cos 10α＝－，代入等式⑤，得－＝m()10－1280×()8＋1120×()6＋n×()4＋p×()2－1，即n＋4p＝－200 (2)．
由(1)，(2)可得n＝－400，p＝50，∴m－n＋p＝926.
13．(09·浙江)設等差數列的前n項和為sn，則s4，s8－s4，s12－s8，s16－s12成等差數列．模擬以上結論有：設等比數列的前n項積為tn，則t4成等比數列．
答案解析對於等比數列，通過模擬，有等比數列的前n項積為tn，則t4＝a1a2a3a4，t8＝a1a2…a8，t12＝a1a2…a12，t16＝a1a2…a16，因此＝a5a6a7a8，＝a9a10a11a12，＝a13a14a15a16，而t4，，，的公比為q16，因此t4，，，成等比數列．
三、解答題
14．已知橢圓具有如下性質：若m、n是橢圓c上關於原點對稱的兩個點，點p是橢圓上的任意一點，當直線pm、pn的斜率都存在，並記為kpm、kpn時，則kpm與kpn之積是與點p位置無關的定值．試寫出雙曲線－＝1(a>0，b>0)具有的類似的性質，並加以證明．
解析雙曲線的類似的性質為：若m，n是雙曲線－＝1上關於原點對稱的兩個點，點p是雙曲線上的任意一點，當直線pm、pn的斜率都存在，並記為kpm、kpn時，kpm與kpn之積是與點p位置無關的定值．
下面給出證明：
設點m的座標為(m，n)，則點n的座標為(－m，－n)，且－＝1.
又設點p的座標為(x，y)，由kpm＝，kpn＝得
kpm·kpn＝·＝，①
將y2＝x2－b2，n2＝m2－b2代入①式，得kpm·kpn＝(定值)．
15．已知函式f(x)＝(ax－a－x)，其中a>0，且a≠1.
(1)判斷函式f(x)在(－∞，＋∞)上的單調性，並加以證明；
(2)判斷f(2)－2與f(1)－1，f(3)－3與f(2)－2的大小關係，由此歸納出乙個更一般的結論，並加以證明；
解析 (1)由已知得f′(x)＝(ax＋a－x)>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函式．
(2)f(2)－2>f(1)－1，f(3)－3>f(2)－2.
一般的結論為：f(n＋1)－(n＋1)>f(n)－n(n∈n*)．
證明過程如下：
事實上，上述不等式等價於f(n＋1)－f(n)>1>1(an＋1－1)(an－1)>0，在a>0且a≠1的條件下，(an＋1－1)(an－1)>0顯然成立，故f(n＋1)－(n＋1)>f(n)－n(n∈n*)成立．
1．觀察下列的圖形中小正方形的個數，則第6個圖中有________個小正方形．
答案 28
解析設第n個圖中小正方形個數為an，
則a1＝3，a2＝a1＋3＝6，a3＝a2＋4＝10，a4＝a3＋5＝15，a5＝a4＋6＝21，a6＝a5＋7＝28.
2．給出下列不等式：23＋53>22·5＋2·52,24＋54>23·5＋2·53,2＋5>22·5＋2·52，….請將上述不等式在左右兩端仍為兩項和的情況下加以推廣，使上述不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式為________．
答案 am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm(a，b>0，a≠b，m，n>0)
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