撰稿：孫景豔審稿：趙煒
【學習目標】
1.熟練掌握分析解決實際問題的一般方法及步驟；
2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分問題的解題思路．
【要點梳理】
知識點一、用一元一次方程解決實際問題的一般步驟
列方程解應用題的基本思路為：問題方程解答．由此可得解決此類
題的一般步驟為：審、設、列、解、檢驗、答．
要點詮釋：
（1）「審」是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關係，尋找等量關係；
（2）「設」就是設未知數，一般求什麼就設什麼為x，但有時也可以間接設未知數；
（3）「列」就是列方程，即列代數式表示相等關係中的各個量，列出方程，同時注意方程兩邊是同一類量，單位要統一；
（4）「解」就是解方程，求出未知數的值；
（5）「檢驗」就是指檢驗方程的解是否符合實際意義，當有不符合的解時，及時指出，捨去即可；
（6）「答」就是寫出答案，注意單位要寫清楚．
知識點二、常見列方程解應用題的幾種型別（待續）
1．和、差、倍、分問題
（1）基本量及關係：增長量＝原有量×增長率，
現有量＝原有量+增長量，現有量＝原有量-降低量．
（2）尋找相等關係：抓住關鍵詞列方程，常見的關鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩餘以及倍，增長率等．
2．行程問題
（1）三個基本量間的關係： 路程=速度×時間
（2）基本型別有：
①相遇問題（或相向問題）：ⅰ．基本量及關係：相遇路程=速度和×相遇時間
尋找相等關係：甲走的路程+乙走的路程＝兩地距離．
②追及問題：ⅰ．基本量及關係：追及路程=速度差×追及時間
ⅱ．尋找相等關係：
第一， 同地不同時出發：前者走的路程＝追者走的路程；
第二， 第二，同時不同地出發：前者走的路程+兩者相距距離＝追者走的路程．
③航行問題：ⅰ．基本量及關係：順流速度=靜水速度+水流速度，
逆流速度=靜水速度－水流速度，
順水速度－逆水速度＝2×水速；
ⅱ．尋找相等關係：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮．
（3）解此類題的關鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關係或所走的路程關係，並且還常常借助畫草圖來分析．
3．工程問題
如果題目沒有明確指明總工作量，一般把總工作量設為1．基本關係式：
（1）總工作量=工作效率×工作時間；
（2）總工作量=各單位工作量之和．
4．調配問題
尋找相等關係的方法：抓住調配後甲處的數量與乙處的數量間的關係去考慮．
【典型例題】
型別一、和差倍分問題
1．旅行社的一輛汽車在第一次旅程中用去油箱裡汽油的25%，第二次旅程中用去剩餘汽油的40%，這樣油箱中剩的汽油比兩次所用的汽油少1公斤，求油箱裡原有汽油多少公斤？
【答案與解析】
解：設油箱裡原有汽油x公斤，由題意得：
x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40%
解得：x=10
答：油箱裡原有汽油10公斤.
【點評】等量關係為：油箱中剩餘汽油+1=用去的汽油.
舉一反三：
【變式】某班舉辦了一次集郵展覽，展出的郵票若平均每人3張則多24張，若平均每人4張則少26張，這個班有多少學生?一共展出了多少張郵票?
【答案】
解：設這個班有x名學生，根據題意得：
3x+24＝4x-26
解得：x＝50
所以3x+24＝3×50+24＝174
答：這個班有50名學生，一共展出了174張郵票．
型別二、行程問題
1.車過橋問題
2. 某橋長1200m，現有一列勻速行駛的火車從橋上通過，測得火車從上橋到完全過橋共用了50s，而整個火車在橋上的時間是30s，求火車的長度和速度．
【思路點撥】正確理解火車「完全過橋」和「完全在橋上」的不同含義．
【答案與解析】
解：設火車車身長為xm，根據題意，得：
，解得：x＝300，
所以．答：火車的長度是300m，車速是30m/s．
【點評】火車「完全過橋」和「完全在橋上」是兩種不同的情況，借助線段圖分析如下(注：a點表示火車頭)：
(1)火車從上橋到完全過橋如圖(1)所示，此時火車走的路程是橋長+車長．
(2)火車完全在橋上如圖(2)所示，此時火車走的路程是橋長－車長．由於火車是勻速行駛的，所以等量關係是火車從上橋到完全過橋的速度＝整個火車在橋上的速度．
舉一反三：
【變式】某要塞有步兵692人，每4人一橫排，各排相距1公尺向前行走，每分鐘走86公尺，通過長86公尺的橋，從第一排上橋到排尾離橋(如圖所示)需要幾分鐘？
【答案】
解：設從第一排上橋到排尾離橋需要x分鐘，列方程得：
，解得：x＝3
答：從第一排上橋到排尾離橋需要3分鐘．
2.相遇問題（相向問題）
3．小李騎自行車從a地到b地，小明騎自行車從b地到a地，兩人都勻速前進.已知兩人在上午8時同時出發，到上午10時，兩人還相距36千公尺，到中午12點，兩人又相距36千公尺.求a、b兩地間的路程.
【答案與解析】
解：設a、b兩地間的路程為x千公尺，由題意得：
解得： 108．
答：a、b兩地間的路程為108千公尺.
【點評】根據「勻速前進」可知a、b的速度不變，進而a、b的速度和不變.利用速度和=小李和小明前進的路程和／時間可得方程．
舉一反三：
【高畫質課堂：實際問題與一元一次方程(一)388410二次相遇問題】
【變式】甲、乙兩輛汽車分別從a、b兩站同時開出，相向而行，途中相遇後繼續沿原路線行駛，在分別到達對方車站後立即返回，兩車第二次相遇時距a站34km，已知甲車的速度是70km/h，乙車的速度是52km/h，求a、b兩站間的距離.
【答案】
解：設a、b兩站間的距離為x km，由題意得：
解得：x=122
答： a、b兩站間的距離為122km.
3.追及問題（同向問題）
4．一輛卡車從甲地勻速開往乙地，出發2小時後，一輛轎車從甲地去追這輛卡車，轎車的速度比卡車的速度每小時快30千公尺，但轎車行駛一小時後突遇故障，修理15分鐘後，又上路追這輛卡車，但速度減小了，結果又用兩小時才追上這輛卡車，求卡車的速度．
【答案與解析】
解：設卡車的速度為x千公尺/時，由題意得：
解得：x=24
答：卡車的速度為24千公尺/時．
【點評】採用「線示」分析法，畫出示意圖．利用轎車行駛的總路程等於卡車行駛的總路程來列方程，理清兩車行駛的速度與時間．
4.航行問題（順逆風問題）
5．(武昌區聯考)盛夏，某校組織長江夜遊，在流速為2.5千公尺/時的航段，從a地上船，沿江而下至b地，然後溯江而上到c地下船，共乘船4小時．已知a、c兩地相距10千公尺，船在靜水中的速度為7.5千公尺/時，求a、b兩地間的距離．
【思路點撥】由於c的位置不確定，要分類討論：（1）c地在a、b之間；（2）c地在a地上游．
【答案與解析】
解：設a、b兩地間的距離為x千公尺．
(1)當c地在a、b兩地之間時，依題意得．
解這個方程得：x＝20(千公尺)
(2)當c地在a地上游時，依題意得：
解這個方程得：
答：a、b兩地間的距離為20千公尺或千公尺．
【點評】這是航行問題，本題需分類討論，採用「線示」分析法畫出示意圖(如下圖所示)，然後利用「共乘」4小時構建方程求解．
5.環形問題
6．環城自行車賽，最快的人在開始48分鐘後遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的3倍，環城一周是20千公尺，求兩個人的速度.
【答案與解析】
解；設最慢的人速度為x千公尺/時，則最快的人的速度為x千公尺/時， 由題意得:
x×-x×=20
解得：x=10
答：最快的人的速度為35千公尺/時，最慢的人的速度為10千公尺/時.
【點評】這是環形路上的追及問題，距離差為環城一周20千公尺.相等關係為：最快的人騎的路程-最慢人騎的路程=20千公尺.
舉一反三：
【變式】兩人沿著邊長為90m的正方形行走，按a→b→c→d→a…方向，甲從a以65m/min的速度，乙從b以72m/min的速度行走，如圖所示，當乙第一次追上甲時，在正方形的哪一條邊上?
【答案】
解：設乙追上甲用了x分鐘，則有：
72x-65x＝3×90
（分）答：乙第一次追上甲時走了(m) 此時乙在ad邊上
型別三、工程問題
7．乙個蓄水池有甲、乙兩個進水管和乙個丙排水管，單獨開甲管6小時可注滿水池；單獨開乙管8小時可注滿水池，單獨開丙管9小時可將滿池水排空，若先將甲、乙管同時開放2小時，然後開啟丙管，問開啟丙管後幾小時可注滿水池?
【答案與解析】
解：設再過x小時可把水注滿．由題意得：
解得：．
答：開啟丙管後小時可把水放滿．
【點評】相等關係：甲、乙開2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1．
舉一反三：
【變式】收割一塊水稻田，若每小時收割4畝，預計若干小時完成，收割後，改用新式農機，工作效率提高到原來的倍，因此比預計時間提早1小時完成，求這塊水稻田的面積．
【答案】
解：設這塊水稻田的面積為x畝，由題意得：
解得：．
答：這塊水稻田的面積為36畝．
型別四、配套問題（比例問題、勞動力調配問題）
8．某工程隊每天安排120個工人修建水庫，平均每天每個工人能挖土5 m3或運土3 m3，為了使挖出的土及時被運走，問：應如何安排挖土和運土的工人?
【答案與解析】
解：設安排x人挖土，則運土的有(120-x)人，依題意得：
5x＝3(120-x)，
解得x＝45．
120-45＝75(人)．
答：應安排45人挖土，75人運土．
【點評】用引數表示挖土數與運土數，等量關係：挖土與運土的總立方公尺數應相等．
舉一反三：
【高畫質課堂：實際問題與一元一次方程(一) 388410 配製問題】
【變式】某商店選用a、b兩種**分別是每千克28元和每千克20元的糖果混合成雜拌糖果後**，為使這種雜拌糖果的售價是每千克25元，要配製這種雜拌糖果100千克，問要用這兩種糖果各多少千克？
【答案】
解：設要用a種糖果x千克，則b種糖果用(100-x)千克.依題意，得：
28x+20(100-x)=25×100
解得：x=62.5.
實際問題與一元一次方程
實際問題與一元一次方程 第一課時 教學設計 學科 數學 姓名 單位 xx六中 聯絡 x 1 教學目標 1 知識技能 1 通過 一元一次方程的教學讓學生掌握怎樣列一元一次方程來解決實際問題。2 掌握一元一次方程的方法的同時明白進價 售價 盈利 虧損等知識。2 教學思考 通過 一元一次方程教學培養學生的...
實際問題與一元一次方程
3.4 實際問題與一元一次方程 1 基礎檢測 1 一商店把彩電按標價的9折 仍可獲利20 若該彩電的進價是2400元，則彩電的標價為 元 2 一家商店將某種服裝按成本價提高40 後標價，又以8折 即按標價的80 優惠賣出 銷售，結果每件服裝仍可獲利15元，則這種服裝每件的成本價是 元 3 某藥店經營...
一元一次方程與實際問題
實際問題與一元一次方程 一.行程問題 1 從甲地到乙地公共汽車原需行駛7小時，開通高速公路後，路近了30千公尺，而車速平均每小時增加了30千公尺，只需4小時即可到達，求甲 乙兩地之間高速公路的長度。2 小王每天去體育場晨練，都見到一位田徑隊的叔叔也在鍛鍊，兩人沿400公尺跑道跑步，每次總是小王跑2圈...