第7講直線與圓錐曲線的位置關係
a級基礎演練(時間：30分鐘滿分：55分)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1．(2013·濰坊一模)直線4kx－4y－k＝0與拋物線y2＝x交於a，b兩點，若|ab|＝4，則弦ab的中點到直線x＋＝0的距離等於
ab．2cd．4
解析直線4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直線4kx－4y－k＝0過拋物線y2＝x的焦點.設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則|ab|＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，則弦ab的中點的橫座標是，弦ab的中點到直線x＋＝0的距離是＋＝.
答案 c
2．(2012·台州質檢)設斜率為的直線l與橢圓＋＝1(a>b>0)交於不同的兩點，且這兩個交點在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個焦點，則該橢圓的離心率為
( )．
abcd.
解析由於直線與橢圓的兩交點a，b在x軸上的射影分別為左、右焦點f1，f2，故|af1|＝|bf2|＝，設直線與x軸交於c點，又直線傾斜角θ的正切值為，結合圖形易得tan θ＝＝＝，故|cf1|＋|cf2|＝＝|f1f2|＝2c，整理並化簡得b2＝(a2－c2)＝ac，即(1－e2)＝e，解得e＝.
答案 c
3．(2012·臨沂二模)拋物線y2＝2px與直線2x＋y＋a＝0交於a，b兩點，其中點a的座標為(1,2)，設拋物線的焦點為f，則|fa|＋|fb|的值等於
a．7b．3c．6d．5
解析點a(1,2)在拋物線y2＝2px和直線2x＋y＋a＝0上，則p＝2，a＝－4，f(1,0)，則b(4，－4)，故|fa|＋|fb|＝7.
答案 a
4．(2013·寧波十校聯考)設雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為f1，f2，離心率為e，過f2的直線與雙曲線的右支交於a，b兩點，若△f1ab是以a為直角頂點的等腰直角三角形，則e2
a．1＋2b．4－2
c．5－2d．3＋2
解析如圖，設|af1|＝m，則|bf1|＝m，|af2|＝m－2a，|bf2|＝m－2a，∴|ab|＝|af2|＋|bf2|＝m－2a＋m－2a＝m，得m＝2a，又由|af1|2＋|af2|2＝|f1f2|2，可得m2＋(m－2a)2＝4c2，即得(20－8)a2＝4c2，∴e2＝＝5－2，故應選c.
答案 c
二、填空題(每小題5分，共10分)
5．橢圓＋y2＝1的弦被點平分，則這條弦所在的直線方程是________．
解析設弦的兩個端點為a(x1，y1)，b(x2，y2)，
則x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.
∵a，b在橢圓上，∴＋y＝1，＋y＝1.
兩式相減得：＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
即＝－，
∵x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，
∴＝－，即直線ab的斜率為－.
∴直線ab的方程為y－＝－，
即該弦所在直線的方程為2x＋4y－3＝0.
答案 2x＋4y－3＝0
6．(2013·東北三省聯考)已知橢圓c：＋＝1(a>b>0)，f(，0)為其右焦點，過f垂直於x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2，則橢圓c的方程為________．
解析由題意，得
解得∴橢圓c的方程為＋＝1.
答案 ＋＝1
三、解答題(共25分)
7．(12分)在平面直角座標系xoy中，直線l與拋物線y2＝4x相交於不同的a，b兩點．
(1)如果直線l過拋物線的焦點，求·的值；
(2)如果·＝－4，證明：直線l必過一定點，並求出該定點．
(1)解由題意：拋物線焦點為(1,0)，
設l：x＝ty＋1，代入拋物線y2＝4x，
消去x得y2－4ty－4＝0，設a(x1，y1)，b(x2，y2)，
則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2
＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
(2)證明設l：x＝ty＋b，代入拋物線y2＝4x，
消去x得y2－4ty－4b＝0，
設a(x1，y1)，b(x2，y2)，
則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.
令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，
∴直線l過定點(2,0)．
∴若·＝－4，則直線l必過一定點．
8．(13分)給出雙曲線x2－＝1.
(1)求以a(2,1)為中點的弦所在的直線方程；
(2)若過點a(2,1)的直線l與所給雙曲線交於p1，p2兩點，求線段p1p2的中點p的軌跡方程；
(3)過點b(1,1)能否作直線m，使得m與雙曲線交於兩點q1，q2，且b是q1q2的中點？這樣的直線m若存在，求出它的方程；若不存在，說明理由．
解 (1)設弦的兩端點為p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，則兩式相減得到2(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
所以直線斜率k＝＝4.
故求得直線方程為4x－y－7＝0.
(2)設p(x，y)，p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，
按照(1)的解法可得
由於p1，p2，p，a四點共線，
得由①②可得＝，整理得2x2－y2－4x＋y＝0，檢驗當x1＝x2時，x＝2，y＝0也滿足方程，故p1p2的中點p的軌跡方程是2x2－y2－4x＋y＝0.
(3)假設滿足題設條件的直線m存在，按照(1)的解法可得直線m的方程為y＝2x－1.
考慮到方程組無解，
因此滿足題設條件的直線m是不存在的．
b級能力突破(時間：30分鐘滿分：45分)
一、選擇題(每小題5分，共10分)
1．(2013·皖南八校聯考)已知直線l：y＝k(x－2)(k>0)與拋物線c：y2＝8x交於a，b兩點，f為拋物線c的焦點，若|af|＝2|bf|，則k的值是
abc．2d.
解析法一據題意畫圖，作aa1⊥l′，bb1⊥l′，bd⊥aa1.
設直線l的傾斜角為θ，|af|＝2|bf|＝2r，
則|aa1|＝2|bb1|＝2|ad|＝2r，
所以有|ab|＝3r，|ad|＝r，
則|bd|＝2r，k＝tan θ＝tan∠bad＝＝2.
法二直線y＝k(x－2)恰好經過拋物線y2＝8x的焦點f(2,0)，由可得ky2－8y－16k＝0，因為|fa|＝2|fb|，所以ya＝－2yb.則ya＋yb＝－2yb＋yb＝，所以yb＝－，ya·yb＝－16，所以－2y＝－16，即yb＝±2.又k>0，故k＝2.
答案 c
2．(2012·瀋陽二模)過雙曲線－＝1(a>0)的右焦點f作一條直線，當直線斜率為2時，直線與雙曲線左、右兩支各有乙個交點；當直線斜率為3時，直線與雙曲線右支有兩個不同交點，則雙曲線離心率的取值範圍是
a．(，5) b．(，) c．(1，) d．(5,5)
解析令b＝，c＝，則雙曲線的離心率為e＝，雙曲線的漸近線的斜率為±.
據題意，2<<3，如圖所示．
∵＝，∴2<<3，
∴5∴答案 b
二、填空題(每小題5分，共10分)
3．(2013·揭陽模擬)過橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左頂點a且斜率為1的直線與橢圓的另乙個交點為m，與y軸的交點為b，若|am|＝|mb|，則該橢圓的離心率為________．
解析由題意知a點的座標為(－a,0)，l的方程為y＝x＋a，∴b點的座標為(0，a)，故m點的座標為，代入橢圓方程得a2＝3b2，∴c2＝2b2，∴e＝.
答案 4．已知曲線－＝1(a·b≠0，且a≠b)與直線x＋y－1＝0相交於p，q兩點，且·＝0(o為原點)，則－的值為________．
解析將y＝1－x代入－＝1，得(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0.設p(x1，y1)，q(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝.·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(1－x1)·(1－x2)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1.
所以－＋1＝0，即2a＋2ab－2a＋a－b＝0，即b－a＝2ab，所以－＝2.
答案 2
三、解答題(共25分)
5．(12分)(2012·上海)在平面直角座標系xoy中，已知雙曲線c1：2x2－y2＝1.
(1)過c1的左頂點引c1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積．
(2)設斜率為1的直線l交c1於p、q兩點．若l與圓x2＋y2＝1相切，求證：op⊥oq.
(3)設橢圓c2：4x2＋y2＝1.若m、n分別是c1、c2上的動點，且om⊥on，求證：o到直線mn的距離是定值．
(1)解雙曲線c1：－y2＝1，左頂點a，漸近線方程：y＝±x.
不妨取過點a與漸近線y＝x平行的直線方程為
y＝，即y＝x＋1.
解方程組得
所以所求三角形的面積為s＝|oa||y|＝.
(2)證明設直線pq的方程是y＝x＋b.
因為直線pq與已知圓相切，故＝1，即b2＝2.
由得x2－2bx－b2－1＝0.
設p(x1，y1)、q(x2，y2)，則
又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，所以
·＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2
＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0.
故op⊥oq.
(3)證明當直線on垂直於x軸時，
|on|＝1，|om|＝，則o到直線mn的距離為.
當直線on不垂直於x軸時，設直線on的方程為y＝kx，
則直線om的方程為y＝－x.
由得所以|on|2＝.
同理|om|2＝.
設o到直線mn的距離為d，
因為(|om|2＋|on|2)d2＝|om|2|on|2，
所以＝＋＝＝3，即d＝.
綜上，o到直線mn的距離是定值．
6．(13分)(2012·臨沂二模)在圓x2＋y2＝4上任取一點p，過點p作x軸的垂線段，d為垂足，點m**段pd上，且|dp|＝|dm|，點p在圓上運動．
(1)求點m的軌跡方程；
(2)過定點c(－1,0)的直線與點m的軌跡交於a，b兩點，在x軸上是否存在點n，使·為常數，若存在，求出點n的座標；若不存在，請說明理由．
解 (1)設p(x0，y0)，m(x，y)，則x0＝x，y0＝y.
2019屆高考數學知識點總複習教案不等關係與不等式
第七篇不等關係與不等式 a級基礎演練 時間 30分鐘滿分 55分 一 選擇題 每小題5分，共20分 1 2011 浙江 若a，b為實數，則 0 的 a 充分而不必要條件b 必要而不充分條件 c 充分必要條件d 既不充分也不必要條件 解析當00，則有a 若b 0，則a 0，從而有b 故 0 的充分條件...
2019屆高考數學知識點總複習教案基本不等式
第4講基本不等式 a級基礎演練 時間 30分鐘滿分 55分 一 選擇題 每小題5分，共20分 1 2013 寧波模擬 若a 0，b 0，且a 2b 2 0，則ab的最大值為 ab 1c 2d 4 解析 a 0，b 0，a 2b 2，a 2b 2 2，即ab 當且僅當a 1，b 時等號成立 答案 a ...
高考數學知識點複習指導
鑑開中學高考複習回歸課本學習輔導材料 一集合與簡易邏輯 1.集合元素要注意元素的互異性，若集合，則實數 1 2.是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。集合，且，則 3.對於含有個元素的有限集合，其子集 真子集 非空子集 非空真子集的個數依次為滿足集合m有 7 個。4.理解集合的意義 抓住集合的代...