鑑開中學高考複習回歸課本學習輔導材料
一集合與簡易邏輯
1.集合元素要注意元素的互異性，
若集合，，，則實數= -1
2.是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
集合，，且，則
3.對於含有個元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為滿足集合m有____7__個。
4.理解集合的意義――抓住集合的代表元素。
設集合，集合n＝，則
5.復合命題真假的判斷。「或命題」的真假特點是「一真即真，要假全假」；「且命題」的真假特點是「一假即假，要真全真」；「非命題」的真假特點是「真假相反」。
如在下列說法中：⑴「且」為真是「或」為真的充分不必要條件；⑵「且」為假是「或」為真的充分不必要條件；⑶「或」為真是「非」為假的必要不充分條件；⑷「非」為真是「且」為假的必要不充分條件。其中正確的是___⑴⑶____
6.四種命題及其相互關係。若原命題是「若p則q」，則逆命題為「若q則p」；否命題為「若﹁p 則﹁q」 ；逆否命題為「若﹁q 則﹁p」。
提醒：（1）在寫出乙個含有「或」、「且」命題的否命題時，要注意「非或即且，非且即或」；（2）要注意區別「否命題」與「命題的否定」：否命題要對命題的條件和結論都否定，而命題的否定僅對命題的結論否定；（4）對於條件或結論是不等關係或否定式的命題，一般利用等價關係「」判斷其真假，若應是真命題
7.充要條件。關鍵是分清條件和結論（劃主謂賓），由條件可推出結論，條件是結論成立的充分條件；由結論可推出條件，則條件是結論成立的必要條件。
從集合角度解釋，若，則a是b的充分條件；若，則a是b的必要條件；若a=b，則a是b的充要條件。
8. 一元二次不等式的解集（聯絡圖象）。尤其當和時的解集你會正確表示嗎？設,是方程的兩實根，且，則其解集如下表：
如解關於的不等式：。
當時，；當時，或；當時，；當時，；當時，
9.一元二次方程根的分布理論。方程在上有兩根、在上有兩根、在和上各有一根的充要條件分別是什麼？
（、、）。
如方程的一根大於0且小於1，另一根大於1且小於2，則的取值範圍是______（，1）
10.二次方程、二次不等式、二次函式間的聯絡你了解了嗎？二次方程的兩個根即為二次不等式的解集的端點值，也是二次函式的圖象與軸的交點的橫座標
若關於的不等式的解集為，其中，則關於的不等式的解集為_____
二、函式
11.對映：注意 ①第乙個集合中的元素必須有象；②一對一，或多對一。若，，，則到的對映有 81 個，到的對映有 64個
12. 函式: ab是特殊的對映。特殊在定義域a和值域b都是非空數集！據此可知函式影象與軸的垂線至多有乙個公共點，但與軸垂線的公共點可能沒有，也可能有任意個。
13．求函式定義域的常用方法（在研究函式問題時要樹立定義域優先的原則）：
根據解析式要求如偶次根式的被開方大於零，分母不能為零，對數中且，
如（1）函式的定義域是____(答：)（2）函式的定義域是，，則函式的定義域是答：)；（3）設函式，①若的定義域是r，求實數的取值範圍；②若的值域是r，求實數的取值範圍（答：①；②）
14.復合函式的定義域：若已知的定義域為,其復合函式的定義域由不等式解出即可；若已知的定義域為,求的定義域，相當於當時，求的值域（即的定義域）。
（1）若函式的定義域為，則的定義域為__（答：）；（2）若函式的定義域為，則函式的定義域為_____（答：[1,5]）
15.求函式值域（最值）的方法：
（1）配方法――二次函式（二次函式在給出區間上的最值有兩類：一是求閉區間上的最值；二是求區間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。求二次函式的最值問題，勿忘數形結合，注意「兩看」：
一看開口方向；二看對稱軸與所給區間的相對位置關係），如（1）求函式的值域（答：[4,8]）；（2）當時，函式在時取得最大值，則的取值範圍是___（答：）；
（2）換元法――通過換元把乙個較複雜的函式變為簡單易求值域的函式，其函式特徵是函式解析式含有根式或三角函式公式模型，如（1）的值域為_____（答：）；（2）的值域為_____（答：）（令，。
運用換元法時，要特別要注意新元的範圍）；（3）的值域為____（答：）；
（3）函式有界性法――直接求函式的值域困難時，可以利用已學過函式的有界性，來確定所求函式的值域，最常用的就是三角函式的有界性，如求函式，，的值域（答：、（0,1）、）；
（4）單調性法――利用一次函式，反比例函式，指數函式，對數函式等函式的單調性，如求的值域為______（答：）；
（5）數形結合法――函式解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離、直線斜率、等等，如（1）已知點在圓上，求及的取值範圍（答：、）；
（6）導數法――一般適用於高次多項式函式，如求函式，的最小值。（答：－48）
提醒：求函式的定義域、值域時，你按要求寫成集合形式了嗎？
16.分段函式：在求分段函式的值時，一定首先要判斷屬於定義域的哪個子集，然後再代相應的關係式；分段函式的值域應是其定義域內不同子集上各關係式的取值範圍的並集。
如設函式，則使得的自變數的取值範圍是___（答：）
17. 求函式解析式的常用方法：
（1）代換（配湊）法――已知形如的表示式，求的表示式。如（1）若，則函式=_____（答：）；（2）若函式是定義在r上的奇函式，且當時，，那麼當時答：）.
（2）方程的思想――已知條件是含有及另外乙個函式的等式，可抓住等式的特徵對等式的進行賦值，從而得到關於及另外乙個函式的方程組。如已知，求的解析式（答：）；
18. 反函式：（1）單調函式一定存在反函式，但反之不成立(如分段函式)；偶函式只有有反函式；週期函式一定不存在反函式。如函式在區間[1, 2]上存在反函式的充要條件是
（2）求反函式的步驟：①反求；②互換、；③註明反函式的定義域（原來函式的值域）。注意函式的反函式不是，而是。如設.求的反函式（答：）．
（3）反函式的性質：①反函式的定義域是原來函式的值域，反函式的值域是原來函式的定義域。
②函式的圖象與其反函式的圖象關於直線對稱，如（1）已知函式的圖象過點(1,1),那麼的反函式的圖象一定經過點_____（答：（1,3））；
（2）已知函式，則方程的解______（答：1）；
③互為反函式的兩個函式具有相同的單調性和奇函式性。如已知是上的增函式，點在它的圖象上，是它的反函式，那麼不等式的解集為___（2,8）
④設的定義域為a，值域為b，則有， ，
但（兩函式定義域不一定相同）。
19.函式的奇偶性。
（1）特徵：定義域必須關於原點對稱！確定奇偶性時，必先判定函式定義域是否關於原點對稱。
（2）確定函式奇偶性的常用方法（若所給函式的解析式較為複雜，應先化簡，再判斷其奇偶性）：
①定義法：如判斷函式的奇偶性____（答：奇函式）。
②利用函式奇偶性定義的等價形式：或（）。如判斷的奇偶性___.（答：偶函式）
③影象法：奇函式的圖象關於原點對稱；偶函式的圖象關於軸對稱。
（3）函式奇偶性的性質：
①奇函式在關於原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性完全相同；偶函式在關於原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性恰恰相反.
②如果奇函式有反函式，那麼其反函式一定還是奇函式.
③若為偶函式，則.如若定義在r上的偶函式在上是減函式，且=2，則不等式的解集為___（答：）
④若奇函式定義域中含有0，則必有.故是為奇函式的既不充分也不必要條件。如若為奇函式，則實數＝____（答：1）.
⑤復合函式的奇偶性特點是：「內偶則偶，內奇同外」.
⑥既奇又偶函式有無窮多個（，定義域是關於原點對稱的任意乙個數集）
20.函式的單調性。
（1）確定函式的單調性或單調區間的常用方法：
①在解答題中常用：定義法（取值――作差――變形――定號）、導數法
②在選擇填空題中還可用數形結合法、特殊值法等等，特別要注意
型函式的圖象和單調性在解題中的運用：增區間為，減區間為.如（1）若函式在區間（－∞，4] 上是減函式，那麼實數的取值範圍是______(答：
）)；（2）已知函式在區間上為增函式，則實數的取值範圍_____（答：）
③復合函式法：特點是同增異減，如函式的單調遞增區間是_______（1,2）
（2）特別提醒：求單調區間時，一是勿忘定義域；二是在多個單調區間之間不一定能新增符號「」和「或」；三是單調區間應該用區間表示，不能用不等式表示．
（3）你注意到函式單調性與奇偶性的逆用了嗎?.如已知奇函式是定義在上的減函式,若，求實數的取值範圍。（答：）
21. 常見的圖象變換
①是把函式的圖象沿軸向左平移個單位得到的。如設的影象與的影象關於直線對稱，的影象由的影象向右平移1個單位得到，則為答：)
②(的圖象是把函式的圖象沿軸向右平移個單位得到的。如要得到的影象，只需作關於_____軸對稱的影象，再向____平移3個單位而得到(答：；右)；
③+的圖象是把函式助圖象沿軸向上平移個單位得到的；
④+的圖象是把函式助圖象沿軸向下平移個單位得到的；如將函式的圖象向右平移2個單位後又向下平移2個單位,所得圖象如果與原圖象關於直線對稱,那麼
⑤函式的圖象是把函式的圖象沿軸伸縮為原來的得到的。
22. 函式的對稱性。
1.曲線關於點的對稱曲線的方程為。如若函式與的圖象關於點（-2，3）對稱，則＝______（答：）
2.形如的影象是雙曲線，其兩漸近線分別直線
(由分母為零確定)和直線(由分子、分母中的係數確定)，對稱中心是點。
3.的圖象先保留原來在軸上方的圖象，作出軸下方的圖象關於軸的對稱圖形，然後擦去軸下方的圖象得到；
4.的圖象先保留在軸右方的圖象，擦去軸左方的圖象，然後作出軸右方的圖象關於軸的對稱圖形得到。如作出函式及的圖象；
23. 函式的週期性。（1）模擬「三角函式影象」得：
①若影象有兩條對稱軸，則週期為；
②若有兩個對稱中心，則週期為；
③如果函式的影象有乙個對稱中心和一條對稱軸，則函式必是週期函式，且一週期為；
如已知定義在上的函式是以2為週期的奇函式，則方程在上至少有個實數根（答：5）
（2）由週期函式的定義得：
①函式滿足，則是週期為2的週期函式；
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