《 §24.1.5（補充）與圓有關的角的綜合 》教學設計
教學設計：洪建明
學習目標
1、熟練掌握弧、弦、圓心角、圓周角直接按的關係及圓心角、圓周角定理及相關推論；
2、理解並能靈活運用弧、弦、圓心角、圓周角之間的關係進行角的轉換和計算。
一、導學**
知識概述
一、圓心角：
1的角叫圓心角.
2、圓心角定理：在中，相等的圓心角所對的相等，所對的也相等；
3、圓心角定理推論：
在同圓或等圓中，兩個 、兩條 、兩條 、兩條弦的中有一組量相等，其餘各組量都相等。
二、圓周角
1、頂點在 ，兩條邊的角叫做圓周角．
2、圓周角定理：一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的 ．
3、圓周角定理的推論：
推論1：同弧或等弧所對的圓周角 ；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧 ．
推論2： (或 )所對的圓周角等於90°；90°的圓周角所對的弦是 ．
4、圓內接四邊形的性質定理：圓內接四邊形的對角 ．
推論：圓內接四邊形的任何乙個外角等於它的 ．
二、精講多動
一、加深理解
1、對圓周角的理解
①如圖，∠aob與∠acb是對的圓心角與圓周角，故有：∠acb＝ ∠aob，反之∠aob＝ ∠acb．
②定理的作用是勾通圓心角，圓周角之間的數量關係．
2、對圓周角定理的兩個推論的理解(1)推論1：
①是圓中證角相等最常用的方法之一．
②若將推論1中的「同弧或等弧」改為「同弦或等弦」結論就不成立了．因為一條弦所對的圓周角有兩種可能，一般情況不相等(如圖中的∠1與∠2)．
③推論1中「相等的圓周角所對的弧也相等」的前提條件是「在同圓或等圓中」，離開這個前提條件，
結論不成立(如圖中的)．
④聯絡圓心角定理推論可得：在同圓或等圓中，
(2)推論2應用廣泛，一般地，如果題目中有直徑時，往往作出直徑上的圓周角——直角；如果需要直角或證明垂直時，也往往作出直徑即可解決問題，推論也是證明弦是直徑常用的辦法．
3、對圓的內接四邊形定理的理解
(1)「內對角」是圓內接四邊形的專用名詞，是指與四邊形的乙個外角相鄰的內角的對角．
(2)定理的另乙個含義是對角和相等(都為180°)．
(3)定理是證明與圓有關的兩角相等或互補關係的重要依據．
(4)使用定理時，要注意觀察圖形，不要弄錯四邊形的外角和它的內對角的位置．
二、解題方法技巧點撥
1、圓心角和圓周角之間的換算
例1、已知：如圖，ab為⊙o的直徑，弦cd交ab於p，且∠apd＝60°，∠cob＝30°，求∠abd的度數．
例2、如圖，△abc中，ab＝ac，∠a＝80°，以ab為直徑的半圓交ac於d，交bc於e．求所對圓心角的度數．
點評：(1)輔助線ae，構造了「直徑上的圓周角是直角」的基本圖形，因此在關於直徑的問題中，常添輔助線使之構成直角三角形．即有直徑，得直角.
(2)本題還有副產品be＝ec，你注意了嗎？該副產品有時很有用．
仿解：如圖，bc為半圓o的直徑，點f是弧bc上一動點（點f不與b、c重合），a是弧bf上的中點，設∠fbc＝α, ∠acb＝β.
⑴當α＝50°時，求β的度數。
⑵猜想α與β之間的關係，並給與證明。
2、 圓內角、圓外角、圓周角之間的運算題
圓內角：角的頂點在圓內的角叫做圓內角．
圓外角：角的頂點在圓外，並且兩邊都和圓相交的角．
例3、如圖，圓的弦ab、cd延長線交於p點，ad、bc交於q點，∠p＝28°，
∠aqc＝92°，求∠abc的度數．
分析：圓內角和圓外角都是通過圓周角建立聯絡，故圓內角∠aqc與圓外角∠p可通過圓周角∠abc(∠adc)與∠a(∠c)建立起聯絡。
點評：⑴圓內角與圓外角都通過圓周角建立聯絡．
⑵同弧對的圓內角、圓外角、圓周角之間的大小關係是：圓內角＞圓周角＞圓外角．
⑶圓內角等於它所對弦對的圓周角與它對頂角所對的弧對的周角之和．(如圖，
∠aqc＝∠abc＋∠a)．
⑷圓外角等於它所截兩條弧所對的圓周角之差(如圖，∠p＝∠abc－∠a)．
3、與圓周角有關的證明
例4、如圖，△abc內接於⊙o，ae⊥bc於d，交⊙o於e，af為⊙o的直徑．
⑴求證：∠baf＝∠cae．
(2) 求證：ab·ac＝ad·af；
(3)若過o作on⊥ab於n，則on與ce之間有何數量關係？
例5、如圖，ab是△abc外接圓o的直徑，d為⊙o上一點，且de⊥cd交bc於e，
求證：eb·cd＝de·ac．
例6、如圖，△abc是⊙o的內接三角形，⊙o的直徑bd交ac於e，
af⊥bd於f，延長af交bc於g．求證：ab2＝bg·bc．
例7、已知：⊙o1的圓心o1在⊙o2上，且兩圓交於a、b兩點，o1d為⊙o2的弦，交⊙o1於c，求證：o1c2＝o1e·o1d．
點評：在圓中有弧中點時，常用以下三種輔助線．
①過弧中點作半徑；②連等弧對的圓心角和圓周角；③連等弧對的弦．
4、與圓的內接四邊形的有關計算問題
例8、如圖，已知ab是半圓o的直徑，∠bac＝40°，d是ac上任意一點，那麼∠d的度數是________．
仿解：如圖，ab是⊙o的直徑，bc是弦，od⊥bc於e，交弧bc於d．
(1)請寫出四個不同型別的正確結論；
(2)若bc＝8，ed＝2，求⊙o的半徑．
（3）連cd，設∠bdc＝，∠abc＝，**與之間的關係式，並給給予適當的說明。
例9、已知：四邊形abcd內接於⊙o，且∠bod＝100°．求∠a的度數．（注意：此題不止一種情形）
仿解：已知⊙o中弦ab的長等於半徑長，則弦ab所對的圓周角的度數為 .
5、與圓的內接四邊形有關的證明問題
例10、如圖，已知：ab是⊙o的直徑，弦cd⊥ab於e，g是上任意一點，ag、dc的延長線交於f．求證：∠fgc＝∠agd．
點評：圓內接四邊形的性質是溝通圓外角和圓內角的橋梁，此題的關鍵是新增輔助線，構造圓內接四邊形．
變式：①此題條件不變，問dg·cg是否與ag·fg相等．
②是否有ac2＝ag·af成立？
6、巧妙構造四點共圓解題.
例11、在等腰△abc中，ac＝bc，∠c＝1000，點p在△abc的外部，並且pc＝bc，求∠apb的度數。
思路點撥：由題中的條件ac＝bc＝pc，聯想到圓的定義，畫出以點c為圓心，ac為半徑的圓，巧妙地構造出圓心角∠acb＝1000， 圓周角∠apb＝500問題，使此題得以突破與解決。
三、優選精練
★窗體頂端
1、下列命題中，錯誤的是( )
a．90°的圓角所對的弦一定是直徑； b．相等的圓周角所對的弦長也相等；
c．圓周角等於其所對弧的度數的一半； d．同弧所對的圓周角也相等
2、如圖，已知直線bc切⊙o於點c，pd為⊙o的直徑，bp的延長線與cd的延長線交於點a，∠a＝28°，∠b＝26°，則∠pdc＝ .
3、如圖所示，p為等邊三角形abc外接圓上一點，則∠apb的度數是
4、如圖，⊙o1和⊙o2相交於a、b，分別過a、b作兩條直線與⊙o1交於c、e，與⊙o2交於e、f，如∠adf＝100°，那麼∠ace＝ .
第2題圖第3題圖第4題圖第5題圖
5、如圖，四邊形oadc中， a、d、c三點在以o為圓心的圓周上，延長ao交⊙o於b點，已知∠boc＝20°，那麼∠adc
6、（2009肇慶）9．如圖 4，⊙o是正方形 abcd的外接圓，點 p 在⊙o上，則∠apb等於
第6題圖第7題圖第8題圖第9題圖
7、如圖，ab是⊙o的直徑，c是圓上一點，作弦cd⊥ab，當c在半圓上移動時，∠ocd的平分線交圓周於一點e，此點( )
a．是的中點； b．是的3等分點；c．距點b和c等遠； d．距點a和c等遠
8、如圖，⊙o的內接四邊形abcd的對角線交於p,已知ab＝bc，求證：△abd∽△dpc。
9、如圖，半圓的半徑為2cm，點c、d三等分半圓，求陰影部分面積.
★★10、（07年重慶）已知，如圖：ab為⊙o的直徑，ab＝ac，bc交⊙o於點d，ac交⊙o於點e，∠bac＝。給出以下五個結論：
∠ebc＝； bd＝dc； ae＝2ec；劣弧是劣弧的2倍；⑤ae＝bc。其中正確結論的序號是
11、如圖，量角器外沿上有a、b兩點，它們的讀數分別是70°、40°，則∠1的度數為
12、（2023年海南） 如圖8, ab是⊙o的直徑，點c在⊙o上，∠bac＝30°，點p**段ob上運動.設∠acp＝x，則x的取值範圍是
13、（07年廣西柳州、北海）如圖所示，ab＝ac，ab為⊙o的直徑，ac、bc分別交⊙o 於e、d，鏈結ed、be．
（1）試判斷de與bd是否相等，並說明理由；
（2）如果bc＝6，ab＝5，求be的長．
14、(2009南充市)如圖8，半圓的直徑ab＝10，點c在半圓上，bc=6．
（1）求弦ac的長；
（2）若p為ab的中點，pe⊥ab交ac於點e，求pe的長．
15、（2009黃岡市）如圖，已知ab是⊙o的直徑，點c是⊙o上一點，鏈結bc，ac，過點c作直線cd⊥ab於點d，點e是ab上一點，直線ce交⊙o於點f，鏈結bf，與直線cd交於點g．求證：
16、(2023年衢州）如圖，ad是⊙o的直徑．
(1) 如圖①，垂直於ad的兩條弦b1c1，b2c2把圓周4等分，則∠b1的度數是 ，∠b2的度數是 ；
(2) 如圖②，垂直於ad的三條弦b1c1，b2c2，b3c3把圓周6等分，分別求∠b1，∠b2，∠b3的度數；
(3) 如圖③，垂直於ad的n條弦b1c1，b2c2，b3 c3，…，bncn把圓周2n等分，請你用含n的代數式表示∠bn的度數(只需直接寫出答案)．
17、（2008陝西）如圖，在rt△abc中，∠acb＝90°，ac＝5，cb＝12，ad是△abc的角平分線．過a、c、d三點的圓與斜邊ab交於點e，連線de．
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