24章相似三角形知識點過關 2012.11
知識點1.．相似圖形的含義
把形狀相同的圖形叫做相似圖形。（即對應角相等、對應邊的比也相等的圖形）
（1）兩個圖形相似，其中乙個圖形可以看做由另乙個圖形放大或縮小得到．
（2）全等形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同．
（3）判斷兩個圖形是否相似，就是看這兩個圖形是不是形狀相同，與其他因素無關．
1、下列各**形：①兩個平行四邊形；②兩個圓；③兩個矩形；④有乙個內角80°的兩個等腰三角形；⑤兩個正五邊形；⑥有乙個內角是100°的兩個等腰三角形，其中一定是相似圖形的是填序號)．
知識點2．比例線段
1.兩條線段的比的概念：兩條線段的比就是兩條線段長度的比
例1、 已知線段a=2cm, b=6mm, 求=
分析：求即求與長度的比，與的單位不同，先統一單位，再求比．
1、若x:y=6:5，則下列等式中不正確的是（ ）.
a. b. c. d.
2、比例尺=圖上距離／實際距離
. 例2、 已知：a、b兩地的實際距離是80千公尺，在某地圖上測得這兩地之間的距離為1cm，則該地圖的比例尺為________。
現量得該地圖上太原到北京的距離為6.4cm，則兩地的實際距離為用科學記數法表示）。相距50千公尺的c、d兩地在該地圖上的距離為
3、對於四條線段a,b,c,d ，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即（或a:b=c:d）那麼這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．
解讀：（1）四條線段a,b,c,d成比例，記作（或a:b=c:d），不能寫成其他形式，即比例線段有順序性．
（2）在比例式（或a:b=c:d）中，比例的項為a,b,c,d，其中a,d為比例外項，b,c為比例內項，d是第四比例項．
(3)通常四條線段a,b,c,d的單位應一致，但有時為了計算方便，a和b統一為乙個單位，c和d統一為另乙個單位也可以，因為整體表示兩個比相等．
例4．已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=dm，求c的長度．
分析：由a,b,c,d成比例，寫出比例式a:b=c:d，再把所給各線段a,b,,d統一單位後代入求c．
例2. 下列4條線段中，不能成比例的是________。
解：先按從小到大的順序排列後，再用兩內項積與兩外項積比較
3、下列四組線段中，a、b、c、d能成比例線段的是（ ）
4、比例的基本性質：如果，那麼ad=bc
a. a:b=m:n b. a:m=b:n c. a:m=n:b d. a:n=b:m
a. mnc. m=nd. |m|=|n|
知識點3．相似多邊形的性質
1. 對應角相等，對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應邊的比叫做相似比。
2. 相似多邊形的周長比等於相似比，面積比等於相似比的平方，對應線段比等於相似比。
（1）正確理解相似多邊形的定義，明確「對應」關係．
（2）明確相似多邊形的「對應」來自於書寫，且要明確相似比具有順序性．
例5．若四邊形abcd的四邊長分別是4，6，8，10，與四邊形abcd相似的四邊形a1b1c1d1的最大邊長為30，則四邊形a1b1c1d1的最小邊長是多少？
（2）下列判斷正確的是（ ）
a. 兩個平行四邊形一定相似b. 兩個矩形一定相似
c. 兩個菱形一定相似d. 兩個正方形一定相似
（3）下列各圖形中，一定相似的是（ ）
a. 兩個平行四邊形b. 兩個直角三角形
c. 底角相等的兩個等腰梯形d. 有乙個角為60o的兩個菱形
（5）已知四邊形abcd~四邊形a』b』c』d』，且ab：bc：cd：da=7：6：5：4，若四邊形a』b』c』d』周長為44，則a』bb』cc』dd』a
（2）兩個相似三角形對應邊上的高的比為4：9，它們的周長比為面積比為
（3）兩個相似多邊形地塊的相似比為3：4，面積差為28m2，則它們的面積分別為
知識點4．相似三角形的概念
1.相似三角形的定義：對應角相等、對應邊成比例的三角形叫做相似三角形。
2.相似比相似三角形的對應邊的比，叫做相似三角形的相似比。
△abc∽△a′b′c′,如果bc=3, b′c′=2,那麼△a′b′c′與 △abc的相似比為_
注意：①相似比是有順序的，比如△abc∽△a1b1c1，相似比為k,若△a1b1c1∽△abc，則相似比為。②若兩個三角形的相似比為1，則這兩個三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊情況。
若兩個三角形全等，則這兩個三角形相似；若兩個三角形相似，則這兩個三角形不一定全等．
知識點5．相似三角的判定方法
（1） 定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似；
（2）平行於三角形一邊的直線截其他兩邊（或其他兩邊的延長線）所構成的三角形與原三角形相似．
de∥bc，則△ade∽△abc
（3）如果乙個三角形的兩角分別與另乙個三角形的兩角對應相等，那麼這兩個三角形相似．
abc∽△a′b′c′
（4）如果乙個三角形的兩條邊分別與另乙個三角形的兩條邊對應成比例，並且夾角相等，那麼這兩個三角形相似．
abc∽△a′b′c′
（5）如果乙個三角形的三條邊分別與另乙個三角形的三條邊對應成比例，那麼這兩個三角形相似．
abc∽△a′b′c′
【典型例題】
例1 判斷
①所有的等腰三角形都相似
②所有的直角三角形都相似
③所有的等邊三角形都相似
④所有的等腰直角三角形都相似
例2、ｒt △abc的斜邊ab上有一動點ｐ（不與點a、b重合 ），
過ｐ點作直線截△abc，使截得的三角形與△abc相似，則滿足這樣條件的直線共有多少條，請你畫出來。
【基礎練習】
（1）如圖1，當時，△abc∽ △ade
（2）如圖2，當時， △abc∽ △aed。
（3）如圖3，當時， △abc∽ △acd。
知識點6．相似三角形的性質
（1） 對應角相等，對應邊的比相等；相似三角形的對應邊的比，叫做相似比
（2） 對應高的比，對應中線的比，對應角平分線的比都等於相似比；
（3） 相似三角形周長之比等於相似比；面積之比等於相似比的平方．
例1．如圖，已知△ade∽△abc，ad=8，bd=4，bc=15，ec=7
（1） 求de、ae的長；
例2、1、如果△abc∽△a′b′c′，相似比為k (k≠1)，則k的值是（ ）
a．∠a：∠a′ b．a′b′：ab c．∠b：∠b′ d．bc：b′c′
2、若△abc∽△a′b′c′，∠a=40°，∠c=110°，則∠b′等於（ ）
a．30° b．50° c．40° d．70°
3、三角形三邊之比3：5：7，與它相似的三角形最長邊是21cm，另兩邊之和是（ ）a．15cm b．18cm c．21cm d．24cm
4.如果兩個相似三角形的面積之比為1:9,則它們對應邊的比為對應高的比為 。周長的比為
知識點7 中位線
一、三角形中位線的定義
鏈結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。三角形有三條邊，所以三角形的中位線應該有三條
二、三角形中位線的性質
三角形的中位線平行於第三邊，並且等於第三邊的一半。
位置關係：可以證明兩條直線平行。
數量關係：可以證明線段的倍分關係。
1、順次鏈結任意四邊形各邊中點所得的圖形是_____.
2、順次鏈結對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得的圖形是_____.
3、順次鏈結對角線相等的四邊形各邊中點所得的圖形是_____.
（1）在△abc中，三邊長ab=10cm，bc=8cm，ac=7cm，則三條中位線的長之和為
（2）如果三角形三條中位線長分別為3cm、4cm、6cm，則這個三角形的周長為a.13cm b.26cm c.24cm d.6.5cm
3、三角形的重心
三角形三條邊上的中線交於一點，這個點就是三角形的重心。
重心與一邊中點的連線是對應中線長的1/3。
三角形重心到三角形頂點的距離等於它到對邊中點距離的2倍。
1、在△abc中，ad是bc邊上的中線，g是重心，如果ag=6，那麼線段dg的長為（ ）
a.2 b.3c.6 d. 12
四、梯形中位線
連線梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線。
梯形中位線平行於兩底，並且等於兩底和的一半。
梯形的面積，
s梯形=×中位線長度的2倍×高=中位線長度×高
1、乙個等腰梯形的周長是80cm，如果它的中位線與腰長相等，它的高是12cm，求這個梯形的面積。
知識點8 位似圖形
1、位似圖形
1、位似圖形是針對兩個圖形而言的； 2、位似圖形是相似圖形； 3、位似圖形上的每組對應點所在直線都必須經過同一點，即位似中心。
二、位似圖形的性質
位似圖形是特殊的相似圖形，因此它具有相似圖形的一切性質．如對應角相等，對應邊成比例，對應高、角平分線、周長的比都等於相似比，面積比等於相似比的平方等。
相似三角形
1.如圖，在正三角形abc中，d e分別在ac ab上，且 ae be，則有 a aed bed b aed cbd c aed abd d bad bcd 2 已知 如圖，ade acd abc，圖中相似三角形共有 a 1對 b 2對 c 3對 d 4對 3 如圖，平行四邊形abcd中，m是bc的...
相似三角形
一 選擇題 1 2012涼山州 已知 則的值是 a b c d 考點 比例的性質 分析 先設出b 5k，得出a 13k，再把a，b的值代入即可求出答案 解答 解 令a，b分別等於13和5，a 13，故選d 點評 此題考查了比例的性質 此題比較簡單，解題的關鍵是注意掌握比例的性質與比例變形 2 201...
相似三角形
對應角相等 對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。如果三邊分別對應a,b,c和a，b，c 那麼 a a b b c c 即三邊邊長對應比例相同。判定定理1 如果乙個三角形的兩個角與另乙個三角形的兩個角對應相等,那麼這兩個三角形相似 aa 判定定理2 如果兩個三角形的兩組對應邊成比例，並且對應的夾角...